1、第3章单元检测(A卷)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1已知向量a(2，1,3)，b(4,2，x)，使ab成立的x与使ab成立的x分别为_2设a(x,4,3)，b(3,2，z)，且ab，则xz的值为_3已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.4若向量(1,0，z)与向量(2,1,2)的夹角的余弦值为，则z_.5已知a、b、c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是_(填序号)2a，ab，a2b；2b，ba，b2a；a,2b，bc；c，ac，ac.6设点C(2
2、a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)确定的平面上，则a_.7设直线a，b的方向向量是e1，e2，平面的法向量是n，则下列命题中错误的是_(写出所有错误命题的序号)b；ab；b；b.8如图所示，已知正四面体ABCD中，AEAB，CFCD，则直线DE和BF所成角的余弦值为_9二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_10若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则与的关系为_11在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱
3、AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值是_12如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是_13已知力F1(1,2,3)，F2(2,3，1)，F3(3，4,5)，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从M1(0，2，1)移到M2(3,1,2)，则合力作的功为_14若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，且ab，则x_，y_.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15(14分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB，点E
4、是棱PB的中点证明：AE平面PBC.16(14分)在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，若F是AE的中点求证：DF平面ABC.17(14分)如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值18.(16分)如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小19(16分)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面AB
5、CD，PD与底面所成的角为30.(1)若AEPD，垂足为E，求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值20.(16分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：CF平面BDE；(2)求二面角ABED的大小第3章空间向量与立体几何(A)1.，6解析若ab，则823x0，x；若ab，则2(4)(1)23x，x6.29解析a(x,4,3)，b(3,2，z)，且ab，存在实数使得ab，解得xz9.39解析l，uv，(1，3，z)(3，2,1)0，即36z0，z9.42或解析由题知，即2z25z20，得z2或.5解析a，b不共
6、线，由共线向量定理知由a，b表示出的向量与a，b共面，即、中的向量因共面不能构成空间一个基底，同理中的三向量也不能构成空间一个基底616解析(1，3,2)，(6，1,4)根据共面向量定理，设xy(x、yR)，则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.78.解析因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为BCD的垂心，所以有BCDA，ABCD.设正四面体的棱长为4，则()()0041cos 12014cos 1204，BFDE，所以异面直线DE与BF的夹角的余弦值为：cos .960解析由条件，知0，0，.|2|2|2
7、|2222624282268cos，(2)2，cos，即，120，所以二面角的大小为60.10解析v3u，vu.故.11.解析如图所示，建立坐标系，易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n(1,0,0)，所以cosn，即sin .1260解析cos ，60.1316解析合力FF1F2F3(2,1,7)，F对物体作的功即为WF(2,1,7)(3,3,1)23137116.14.解析ab，x，y.15证明如图所示，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Axyz.设D(0，a,0)，则B(，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)于是(
8、，0，)，(0，a,0)，(，a，)，则0，0.所以，即AEBC，AEPC.又因为BCPCC，所以AE平面PBC.16证明如图所示，以点B为原点，BA、BC、BE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)由中点坐标公式知F(1,0,1)(1，2,0)，(0,0,2)BE平面ABC，是平面ABC的一个法向量(1，2,0)(0,0,2)0，.又DFD平面ABC，DF平面ABC.17解因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624.所以cos，.即OA与BC所成角的余弦值为
9、.18解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.(1)(1,0,0)，(0,0,1)连结BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m,1) (m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为30.19(1)证明以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，由题意知A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)PD在底面的射影是DA，且PD与底面所成的角为30，P
10、DA30，P，AEPD，|a，E，0(a)2a0，即BEPD.(2)解由(1)知，(a，a,0)，又|a，|a，cos，异面直线AE与CD所成角的余弦值为.20(1)证明因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，1)所以(，1)，(0，1)，(，0,1)所以0110，1010.所以，即CFBE，CFDE.又BEDEE，所以CF平面BDE.(2)解由(2)知，(，1)是平面BDE的一个法向量设平面ABE的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，即所以x0，且zy.令y1，则z，所以n(0,1，)从而cosn，.因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED的大小为.