1、核心模块三 立体几何专题八 空间几何体的表面积和体积在近几年的高考题中，对于空间几何体的表面积和体积小题必有一题，难度为中档题，在 2016 年、2017 年都出现了以空间几何体为背景的应用题，考察了几何体体积的最值以及测量问题，难度为中档题.年份填空题解答题2017T6组合体的体积T18空间几何体为背景的应用题2018T10组合体的体积2019T9 长方体和三棱锥体积目标 1 空间几何体的表面积与体积例 1(1)现有一个底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为_cm.(1)3 9 解析：因为圆锥底面半径为 3 c
2、m，母线长为 5 cm，所以圆锥的高为 52324(cm)，其体积为1332412(cm3)，设铁球的半径为 r，则43r312，所以该铁球的半径是3 9 cm.(2)设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1，S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2，S2，若V1V23，则S1S2的值为_(2)3 2 解析：不妨设 V127，V29，故 V1a327，即 a3，所以 S16a254.如图所示，又 V213hr213r39，即 r3，所以 l 2r，即 S212l2r 2r29 2，所以S1S2 549 23 2.(3)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型
3、，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1 挖去四棱锥 O-EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.(3)118.8解析：长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 664144(cm3)，四边形EFGH 是菱形，面积为其对角线乘积的一半，S 菱形 EFGH126412(cm2)，四棱锥 O-EFGH 的高为 3 cm，其体积为1312312(cm3)，所以长方体 ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥 O-EFG
4、H 后所得的几何体的体积为 132 cm3,1320.9118.8(g)，所以制作该模型所需原料的质量为 118.8 g.【方法归类】1.一般地，求锥体的体积及锥高的求解是难点，等同于求顶点在底面上的射影，有时可以考虑等体积法如果是锥高已经确定的问题，此时空间的问题就转化为平面问题，主要是三角形面积的计算2.对于圆柱、圆锥的侧面、表面积、体积问题主要是利用好“高、母线、底面半径”三者之间的关系以及侧面展图求解【思维变式题组训练】1.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为 6，则该圆锥的体积等于_3 解析：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，高为 h，则由题意可得 l2r.因为 S侧rl2r
5、26，所以 r 3，l2 3，则 h l2r2 1233，所以圆锥的体积为 V13r2h13333.2.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，点 M 为棱 AA1 的中点，记三棱锥 A1-MBC的体积为 V1，四棱锥 A1-BB1C1C 的体积为 V2，则V1V2的值是_14 解析：解法 1(割补法)：设ABC 的面积为 S，三棱柱的高为 h，则 V1VA1-ABCVM-ABC13Sh13S12h16Sh，V2VABC-A1B1C1VA1-ABCSh13Sh23Sh，所以V1V2Sh6 32Sh14.解法 2(等积转换)：V1VB-A1MC12VB-A1AC12VA1-ABC，V22VA
6、1-BC1B12VB-A1B1C12VA1-ABC，所以V1V214.3.如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是_cm.4 解析：设圆柱底面的半径为 r，则 Vr26r34r33 r28，解得 r4.4.已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.4 解析：由题设条件可知，该四棱锥为正四棱锥，其高为 2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，所以圆柱底面的直径为
7、四棱锥底面对角线长的一半，即半径 r12.又因为圆柱另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，所以圆柱的高 h1，从而圆柱的体积 Vr2h1414.目标 2 空间几何体的最值问题例 2(1)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点 D 为侧棱 BB1 上的动点则当 ADDC1 最小时，三棱锥 D-ABC1 的体积为_(1)13 解析：将侧面展开如图，所以由平面几何性质可得：ADDC1AC1，当且仅当 A，D，C1 三点共线取到此时 BD1，所以 SABD12ABBD12.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，有 BB1CB，又 ABCB，易得 CB平面 A
8、BD，所以 C1B1平面 ABD，即 C1B1 是三棱锥 C1-ABD 的高，所以 VD-ABC1VC1-ABD13C1B1SABD1321213.(2)将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为 O，EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥 O-EFG 体积的最大值是_(2)4 解析：因为将矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到一个圆柱，AB3，BC2，圆柱上底面圆心为 O，EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥 O-EFG 的高为圆柱的高，即高为 AB，所以当三棱锥 O-EFG 体积取最大值时，EFG 的面积最大，当 EF 为
9、直径，且 G 在 EF 的垂直平分线上时，(SEFG)max12424,所以三棱锥 O-EFG 体积的最大值(VO-EFG)max13(SEFG)maxAB13434.例 3 将 2 张边长均为 1 分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分(1)在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；(2)在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值(1)解析：设圆锥的母线长及底面半径分别为 l，r，则142l2r，lr 2r 2，解得r5 2223，l20 2823.(2)设被完全覆盖的长方体底面边长为 x，宽为 y，高为 z，
10、则xz1，2y2z1，解得z1x，yx12.则长方体的体积：Vxyzxx12(1x)x332x212x，12x0，解得 0r 6.又 Vr2hr26r2rr(6r2)(0r 6)令 f(r)r(6r2)，所以 f(r)(63r2)令 f(r)(63r2)0，r 2.可得 f(r)在(0，2)上单调递增，在(2，6)上单调递减，故 f(r)maxf(2)，此时 r 2，h2 2.故rh12.3.在一个半径为 1 的半球材料中截取三个高度均为 h 的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为 Vf(h)(1)求 f(h)的解析式，并写出 h 的取值范围；(2)求三个圆柱体积之和 V 的最大值解析
11、：(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为 r1 1h2，r2 12h2，r313h2，它们的高均为 h，所以体积之和为Vf(h)r21hr22hr23hh(1h214h219h2)(3h14h3)因为 03h1，所以 0h13，即这三个圆柱体积之和 Vf(h)(3h14h3)，h0，13.(2)由(1)得 Vf(h)(3h14h3)，所以 f(h)(342h2)3(1 14h)(1 14h)令 f(h)0，得 h 1414 h 1414 舍去.当 h 变化时，f(h)，f(h)的变化情况如下表：h0，141414141414，13f(h)0f(h)极大值 由上表可知当 h 1414 时，函数
12、f(h)取得极大值，也是最大值，所以 f(h)maxf1414 3 1414 14 14196 147.即三个圆柱体积之和 V 的最大值为 147.课 时 作 业课 后 作 业一、填空题1.若圆锥的底面半径为 1，高为 2，则圆锥的侧面积为_5 解析：圆锥的母线长为 5，展开图弧长为底面周长 2，所以由扇形面积公式得侧面积为 5.2.已知正六棱柱的侧面积为 72 cm2，高为 6 cm，那么它的体积为_cm2.36 3 解析：设正六棱柱的底面边长为 x cm，由题意得 6x672，所以 x2 cm，于是其体积 V 34 226636 3(cm3)3.若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方形
13、，则此圆柱的体积为_2 解析：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则有 2r2，即 r1，故圆柱的体积为 Vr2h1222.4.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB4，AA16.若 E，F 分别是棱 BB1，CC1上的点，则三棱锥 AA1EF 的体积是_8 3 解析：因为在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1BB1，AA1平面 AA1C1C，BB1平面 AA1C1C，所以 BB1平面 AA1C1C，从而点 E 到平面 AA1C1C 的距离就是点 B到平面 AA1C1C 的距离作 BHAC，垂足为 H.由于ABC 是正三角形且边长为 4，所以 BH2 3，从而三棱锥 A-A1EF 的
14、体积 VA-A1EFVE-A1AF13SA1AFBH1312642 38 3.5.将斜边长为 4 的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是_163 解析：因为等腰直角三角形的斜边长为 4，所以斜边上的高为 2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为 2，高为 2，因此，几何体的体积为 V213222163.6.已知矩形 ABCD 的边 AB4，BC3，若沿对角线 AC 折叠，使平面 DAC平面 BAC，则三棱锥 DABC 的体积为_245 解析：在平面 DAC 内作 DOAC，垂足为 O.因为平面 DAC平面 BAC，且平面 DAC平面 BACA
15、C，所以 DO平面 BAC.因为 AB4，BC3，所以 DO125，SABC12346，所以三棱锥 DABC 的体积为 V136125 245.7.已知圆柱 M 的底面半径为 2，高为 6，圆锥 N 的底面直径和母线长相等若圆柱 M 和圆锥 N 的体积相同，则圆锥 N 的高为_6 解析：设圆锥 N 的底面半径为 r，则它的母线长为 2r，从而它的高为 3r，由圆柱 M 与圆锥 N 的体积相同，得 4613r2 3r，解得 r2 3，因此圆锥 N 的高h 3r6.8.底面半径为 1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12 cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切现往容器里注水
16、，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水_cm3.13 22 解析：设四个实心铁球的球心为 O1，O2，O3，O4，其中 O1，O2 为下层两球的球心，O1O2O3O4 为正四面体，棱 O1O2 到棱 O3O4 的距离为 22，所以注水高为 1 22.故应注水体积为 1 22 44312313 22.9.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点D 为侧棱 BB1 上的动点则当 ADDC1 最小时，三棱锥 DABC1 的体积为_13 解析：侧面展开如下图，连接 AC1 交 BB1 于点 D，此时 ADDC1 最小，ABDACC1，ABAC BDCC113，C
17、C1BB13.由题意知 BC平面 AA1B1B，故点 C1 平面 AA1B1B 的距离 h2.故 VDABC1VC1ABD13SABDh1312ABADh131211213.10.已知一个长方体的表面积为 48(单位：cm)，12 条棱长度之和为 36(单位：cm)，则这个长方体的体积的取值范围是_(单位：cm3)16,20 解析：设长方体的三条棱长分别为 a，b，c，则 abc9，abbcac24，化简可得 Vabcc(c29c24)，所以 V3(c2)(c4)，所以函数在(0,2)，(4,9)上单调递增，(2,4)上单调递减，c2 时，V20，c4 时，V16，所以这个长方体的体积的取值范
18、围是16,20二、解答题11.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.(1)求证：平面 AEC平面 BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥 E-ACD 的体积为 63，求该三棱锥的侧面积解析：(1)因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，AC平面 ABCD，所以 BEAC.因为 BDBEB，BD平面 BED，BE平面 BED，所以 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设 ABx，在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGGC 32 x，GBGDx2.因为 AEEC，
19、所以在 RtAEC 中，可得 EG 32 x.由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE 22 x.由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积V 三棱锥 E-ACD1312ACGDBE 624x3 63，故 x2.从而可得 AEECED 6.所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 32 5.12.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，ABAD1，AA12，M 为棱 DD1 上的一点(1)求三棱锥 A-MCC1 的体积；(2)当 A1MMC 取得最小值时，求证：B1M平面 MAC.解析：(1)因为 AD平面 CDD1
20、C1，点 A 到平面 CDD1C1 的距离 AD1,所以 SMCC112CC1CD12211，所以 VA-MCC113ADSMCC113.(2)将侧面 CDD1C1 绕 DD1 逆时针转动 90展开，与侧面 ADD1A1 共面当 A1，M，C 共线时，A1MMC 取得最小值ADCD1，AA12，得 M 为 DD1 的中点连接 MC1.在MCC1 中，MC1MC 2，CC12,所以 CC21MC21MC2,所以CMC190，CMMC1.因为 B1C1平面 CDD1C1，所以 B1C1CM.因为 B1C1MC1C1，所以 CM平面 B1C1M，同理可证 B1MAM，所以 B1M平面 MAC.13.
21、有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边 AB 长为 6 分米，另一边足够长现从中截取矩形 ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中 OEMF 是以 O 为圆心、EOF120的扇形，且弧EF，GH分别与边 BC，AD 相切于点 M，N.甲乙(1)当 BE 的长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；(2)当 BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？解析：(1)在图甲中，连接 MO 交 EF 于点 T.设 OEOFOMR.在 RtOET 中，因为EOT12EOF60，所以 OTR2，则 MTOM
22、OTR2.从而 BEMTR2，即 R2BE2.故所得柱体的底面积 SS 扇形 OEFSOEF13R212R2sin12043 3.又所得柱体的高 EG4，所以 VSEG163 4 3.答：当 BE 长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积为163 4 3 立方分米(2)设 BEx，则 R2x，所以所得柱体的底面积 SS扇形 OEFSOEF13R212R2sin12043 3 x2.又所得柱体的高 EG62x，所以 VSEG83 2 3(x33x2)，其中 0 x3.令 f(x)x33x2，x(0,3)，则由 f(x)3x26x3x(x2)0，解得 x2.列表如下：x(0,2)2(2,3)f(x)0f(x)极大值 所以当 x2 时，f(x)取得极大值，也是最大值答：当 BE 的长为 2 分米时，折卷成的包装盒的容积最大
