1、 函 数小 题 考 法函数的基本性质 考点(一)主要考查函数的三要素以及函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，常结合 分段函数命题.题组练透1(2018江苏高考)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)cos x2，0 x2，x12，2x0，则 f(f(15)的值为_解析：由函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，可知函数 f(x)的周期是 4，所以 f(15)f(1)112 12，所以 f(f(15)f12 cos4 22.答案：222(2017江苏高考)已知函数 f(x)x32xex1ex，其中 e 是自然对数的底数若 f(a1)f(2a2)0，则
2、实数 a 的取值范围是_解析：由 f(x)x32xex1ex，得 f(x)x32x1exexf(x)，所以 f(x)是 R 上的奇函数又 f(x)3x22ex1ex3x222ex1ex3x20，当且仅当 x0 时取等号，所以 f(x)在其定义域内单调递增因为 f(a1)f(2a2)0，所以 f(a1)f(2a2)f(2a2)，所以 a12a2，解得1a12，故实数 a 的取值范围是1，12.答案：1，123(2019南通等七市一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x)当 0 x1 时，f(x)x3ax1，则实数 a的值为_解析：f(x2)f(x)，令 x1，得 f
3、(1)f(1)，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(1)f(1)，所以 f(1)0.当 0 x1 时，f(x)x3ax1，则 f(1)2a0，故 a2.答案：24(2019南通等七市一模)已知函数 f(x)(2xa)(|xa|x2a|)(a0)若 f(1)f(2)f(3)f(672)0，则满足 f(x)2 019 的 x 的值为_解析：因为 a0，所以 f(x)（2xa）2，x2a，3a（2xa），ax2 019，当 xa2时，f(x)0，所以 3673(2x673)2 019，所以 x337.答案：337方法技巧 函数性质的应用技巧奇偶性具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上
4、其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)f(x)单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性周期性利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解对称性利用其轴对称或中心对称可将研究的问题，转化到另一对称区间上研究考点(二)基本初等函数 主要考查基本初等函数的图象和性质以及由基本初等函数复合而成的函数的性质问题.题组练透 1 (2018 南 通 检 测)已 知 幂 函 数 f(x)x，其 中 2，1，12，1，2，3.则使 f(x)为奇函数，且在区间(0，
5、)上是单调增函数的 的所有取值的集合为_解析：幂函数 f(x)为奇函数，则 1，1，3，f(x)在区间(0，)上是单调增函数，则 的所有值为 1，3.答案：1，32已知函数 y 2x12x1与函数 yx1x 的图象共有 k(kN*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，Ak(xk，yk)，则i1k(xiyi)_解析：如图，函数 y 2x12x1与函数 yx1x 的图象都关于点(0，1)成中心对称，所以它们的交点也关于点(0，1)成中心对称，且只有两个交点，所以i12xi=0,i12yi=2,则i1k(xiyi)2.答案：23(2018镇江期末)不等式 logaxln2x4(a0 且
6、 a1)对任意x(1，100)恒成立，则实数 a 的取值范围为_解析：不等式 logaxln2x4 可化为ln xln aln2x4，即 1ln a 4ln xln x 对任意 x(1，100)恒成立 因为 x(1，100)，所以 ln x(0，2ln 10)，所以 4ln xln x4，故 1ln a4，解得 ln a0 或 ln a14，即 0a1 或 ae14.答案：(0，1)e14，4(2019南京盐城二模)已知函数 f(x)|x3|，x0，x312x3，x0.设g(x)kx1，且函数 yf(x)g(x)的图象经过四个象限，则实数 k 的取值范围为_解析：由题意知，要使 yf(x)g(
7、x)的图象经过四个象限，只需 yf(x)的图象与 yg(x)的图象在(，0)和(0，)都相交且交点个数大于1.当 x0 时，f(x)x312x3，f(x)3x212.易知 f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，且 f(2)0)的图象相切的切线的斜率为9，所以 k9.当 x0 时，作出 f(x)|x3|的图象(图略)，数形结合易知 k1 和 0a0 和 0 两种情况的不同.考点(三)函数的零点问题 主要考查函数零点个数问题以及根据函数零点个数求参数的取值范围.典例感悟 典例(1)(2018苏锡常镇一模)若函数 f(x)12x1，x0，若关于 x 的方程 f(x)kx2 有且只有四
8、个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为_解析(1)当 x1 时，yln xx2 18，则ln xx2 18，即 ln x18x2，令 g(x)ln x18x2，x1，则函数 g(x)是连续函数且先增后减，g(1)180，g(2)ln 2120，g(4)ln 420，由函数的零点判定定理可知 g(x)ln x18x2有 2 个零点 当x1时，y 12x1，x1)相切，设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率为k1x0，又kln x02x0，则 1x0ln x02x0，解得x0e3，此时k1e3；当k0时，当ykx2与曲线yx2x1相切于点(0，2)时，k1，函数yf(x)和ykx2的图象只有3
9、个公共点，不符合题意，当1k0时，函数yf(x)和ykx2的图象只有3个公共点，不符合题意，当直线ykx2与yf(x)(0 x1)相切时，两图象只有3个公共点，设切点为(x0，ln x0)，则切线的斜率k 1x0，又kln x02x0，则 1x0ln x02x0，解得x0e1，此时ke不符合题意，当ke时，两图象只有两个公共点，不合题意，而当ek1时，两图象有4个公共点，符合题意，所以实数k的取值范围是1e3(e，1)答案(1)4(2)1e3(e，1)方法技巧 利用函数零点的情况求参数值或范围的方法演练冲关 1(2019苏州期末)设函数f(x)x22x，x0，2x，x0，若方程f(x)kx3有
10、三个相异的实根，则实数k的取值范围是_解析：法一：方程 f(x)kx3，即 f(x)kx3 有三个相异的实根，即曲线 yf(x)和直线 ykx3 有三个不同的交点，作出大致图象如图所示又直线 ykx3 和 y2x(x2，则直线 ykx 3与 曲 线y x2 2x(x0)有 两 个 交 点，联 立 方 程，得ykx3，yx22x（x0），整 理 得x2 (k 2)x 3 0(x0)，由（k2）0，（k2）2120，得 k22 3，故实数 k 的取值范围是(2，22 3)法二：当x0，则x 2k（k2）2122，因为方程f(x)kx3有三个相异的实根，所以 32k0，解得2k22 3，所以实数k的
11、取值范围是(2，22 3)答案：(2，22 3)2(2019江苏高考)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数当x(0，2时，f(x)1（x1）2，g(x)k（x2），0 x1，12，10.若在区间(0，9上，关于x的方程f(x)g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是_解析：当 x(0，2时，yf(x)1（x1）2(x1)2y21(y0)，结合 f(x)是周期为 4 的奇函数，可作出 f(x)在(0，9上的图象如图所示 当 x(1，2时，g(x)12，又 g(x)的周期为 2，当 x(3，4(5，6(7，8时，g(x)12
12、.由图可知，当 x(1，2(3，4(5，6(7，8时，f(x)与 g(x)的图象有 2 个交点，当x(0，1(2，3(4，5(6，7(8，9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点又当x(0，1时，yg(x)k(x2)(k0)恒过定点A(2，0)，由图可知，当x(2，3(6，7时，f(x)与g(x)的图象无交点，当x(0，1(4，5(8，9时，f(x)与g(x)的图象有6个交点由f(x)与g(x)的周期性可知，当x(0，1时，f(x)与g(x)的图象有2个交点 当yk(x2)与圆弧(x1)2y21(0 x1)相切时，d|3k|k211k218(k0)k 24.当yk(x2)过点A(2，0)与B(
13、1，1)时，k13.13k 24.答案：13，243(2019扬州期末)已知函数f(x)a3 4x|xa|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_解析：令f(x)a34x|xa|0，得|xa|4xa3，设g(x)|xa|4x a，则函数g(x)x4x2a，xa，x4x，xa，不妨设f(x)0的三个根分别为x1，x2，x3，且x1x2x3，当xa时，由f(x)0，得g(x)3，即x 4x 3，得x23x40，得(x1)(x4)0，解得x1或x4.a1，即a1，此时x21，x34，由等差数列的性质可得x16，由f(6)0，即g(6)3，得6462a3，解得a116，满足题意1
14、a4，即4a0，x1，2（2a3）2，所以x1x2(2a3)，x1x24，由x1，x2，x3成等差数列，且x1x24，即a4时，f(x)0最多有两个解，不满足题意综上所述，实数a的值为116 或13 32.答案：116 或13 32必备知能自主补缺 (一)主干知识要牢记1函数的定义域(1)函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识(2)对于复合函数的定义域要注意：如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x)的定义域是使函数g(x)A的x的取值范围如果f(g(x)的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域f(g(x)与f(h(x)联系的
15、纽带是g(x)与h(x)的值域相同2函数的值域求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等3函数的图象函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换4函数的单调性单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法5函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性判断函数奇偶性的常用方法
16、有定义法、图象法及性质法6函数的周期性周期性是函数在定义域上的整体性质若函数满足f(ax)f(x)(a不等于0)，则其一个周期T|a|，最小正数T叫做f(x)的最小正周期(二)二级结论要用好1函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)g(x)为增(减)函数(2)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数(3)定义在(，)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)0.2抽象函数的周期性与对称性的结论(1)函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)，
17、则f(x)是周期函数，T2a.若函数f(x)满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期函数，T2a.若函数f(x)满足f(xa)1f（x），则f(x)是周期函数，T2a.(2)函数图象的对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，或f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，或f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线xab2 对称3函数图象平移变换的相关结论(1)把yf(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c0时向左移，c0时向右移)得到函数yf(xc)的图象(c为常数)(2)把yf(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b0时向上移，b0时向下移)得到函数yf(x)b的图象(b为常数)