1、核心模块三 立体几何专题九 空间几何体的位置关系在近几年的高考题中，空间几何体的位置关系如线面平行都有考察，线线垂直和面面垂直也都有考察，难度为基础题，对证明的书写规范要求很高年份解答题2017T16考察线线垂直和线面平行2018T15考察线面平行和面面垂直2019考察线面平行和线线垂直目标 1 位置关系的判定与证明例 1 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形已知平面 SAB平面 SBC，ASBS，M 为线段 SC 的中点(1)求证：AS平面 BDM;(2)若 BSBC，求证：BMAC.证明：(1)设 AC，BD 交点为 O，连接 OM.因为底面 ABCD 是平行四边
2、形，所以 O 为 AC 的中点因为 M 为线段 SC 的中点，所以 OMAS.因为 OM平面 BDM，AS平面 BDM 所以 AS平面 BDM.(2)因为平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBS，ASBS，AS平面 SAB，所以 AS平面 SBC.因为 BM平面 SBC，所以 ASBM.因为 BSBC，M 为线段 SC 的中点，所以 BMSC.又 ASSCS，AS，SC平面 SAC，所以 BM平面 SAC.因为 AC平面 SAC，所以 BMAC.【思维变式题组训练】1.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为棱 BC 的中点，ABBC，BCBB1，ABA1B1，BB1 2.
3、求证：(1)A1B平面 ABC；(2)A1B平面 AC1D.证明：(1)因为 ABBC，BCBB1，ABBB1B，AB，BB1平面 ABB1，所以 BC平面 ABB1.又 AB1平面 ABB1，所以 AB1BC.又因为 ABA1B1，BB1 2AA1，得 AA21AB2A1B2，所以 A1BAB.又 AB，BC平面 ABC，ABBCB，所以 A1B平面 ABC.(2)连接 A1C 交 AC1 于点 E，连接 DE.在A1BC 中，D，E 分别为 BC，A1C 的中点，所以 DEA1B.又 A1B平面 AC1D，DE平面 AC1D，所以 A1B平面 AC1D.2.如图，在三棱锥 P-ABC 中，
4、平面 PAC平面 ABC，ABBC，PAPC.点 E，F，O 分别为线段 PA，PB，AC 的中点，点 G 是线段 CO 的中点求证：(1)FG平面 EBO；(2)PABE.证明：(1)连接 AF 交 BE 于 Q，连接 QO.因为 E，F 分别为边 PA，PB 的中点，所以 Q 为PAB 的重心，故AQQF2.又因为 O 为线段 AC 的中点，G 是线段 CO 的中点，所以AOOG2.于是AQQFAOOG，所以 FGQO.因为 FG平面 EBO，QO平面 EBO，所以 FG平面 EBO.(2)因为 O 为边 AC 的中点，ABBC，所以 BOAC.因为平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平
5、面 ABCAC，BO平面 PAC，所以 BO平面 PAC.因为 PA平面 PAC，所以 BOPA.因为点 E，O 分别为线段 PA，AC 的中点，所以 EOPC.因为 PAPC，所以 PAEO.又 BOOEO，BO，EO平面 EBO，所以 PA平面 EBO.因为 BE平面 EBO，所以 PABE.目标 2 立体几何的存在性例 2 如图，四棱锥 EABCD 中，EAEB，ABCD，ABBC，AB2CD.(1)求证：ABED；(2)线段 EA 上是否存在点 F，使 DF平面 BCE？若存在，求出EFEA的值；若不存在，请说明理由(1)证明：取 AB 的中点 O，连接 EO，DO.因为 EAEB，所
6、以 EOAB.因为 ABCD，AB2CD，所以 BOCD，BOCD.又因为 ABBC，所以四边形 OBCD 为矩形，所以 ABDO.因为 EODOO，EO，DO平面 EOD，所以 AB平面 EOD.所以 ABED.(2)解析：点 F 满足EFEA12，即 F 为 EA 的中点时，有 DF平面 BCE.证明如下：取 EB 的中点 G，连接 CG，FG.因为 F 为 EA 的中点，所以 FGAB，FG12AB.因为 ABCD，CD12AB，所以 FGCD，FGCD.所以四边形 CDFG 是平行四边形，所以 DFCG.因为 DF平面 BCE，CG平面 BCE，所以 DF平面 BCE.点评：本题第(2
7、)问属于典型的立体几何中的探索问题，要确定点的位置情况，再证明线面平行注意与思维变式题组第 1 题的区别【思维变式题组训练】1.如图，在四棱锥 PABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，AB平面 PAD，PAD 是正三角形，DCAB，DADC2AB.(1)若 E 为棱 PA 上一点，且 OE平面 PBC，求AEPE的值；(2)求证：平面 PBC平面 PDC.证明：(1)因为 OE平面 PBC，OE平面 PAC，平面 PAC平面 PBCPC，所以 OEPC，所以 AOOCAEEP.因为 DCAB，DC2AB，所以 AOOCABDC12.所以AEPE12.(2)证法一：取 PC 的中点 F，
8、连接 FB，FD.因为PAD 是正三角形，DADC，所以 DPDC.因为 F 为 PC 的中点，所以 DFPC.因为 AB平面 PAD，所以 ABPA，ABAD，ABPD.因为 DCAB，所以 DCDP，DCDA.设 ABa，在等腰直角三角形 PCD 中，DFPF 2a.在 RtPAB 中，PB 5a.在直角梯形 ABCD 中，BDBC 5a.因为 BCPB 5a，点 F 为 PC 的中点，所以 PCFB.在 RtPFB 中，FB 3a.在FDB 中，由 DF 2a，FB 3a，BD 5a 可知 DF2FB2BD2，所以 FBDF.由 DFPC，DFFB，PCFBF，PC，FB平面 PBC，所
9、以 DF平面 PBC.又 DF平面 PCD，所以平面 PBC平面 PDC.证法二：取 PD，PC 的中点，分别为 M，F，连接 AM，FB，MF，所以 MFDC，MF12DC.因为 DCAB，AB12DC，所以 MFAB，MFAB，即四边形 ABFM 为平行四边形，所以 AMBF.在正三角形 PAD 中，M 为 PD 的中点，所以 AMPD.因为 AB平面 PAD，所以 ABAM.又因为 DCAB，所以 DCAM.因为 BFAM，所以 BFPD，BFCD.又因为 PDDCD，PD，DC平面 PCD，所以 BF平面 PCD.因为 BF平面 PBC，所以平面 PBC平面 PDC.点评：要注意本题的
10、第(1)问与“在棱 PA 上确定一点 E，使得 OE平面 PBC”的区别，教学中经常会有学生搞不清它们的区别，从而犯逻辑性错误本题的第(1)问中的条件是 OE平面 PBC，结论是求AEPE的值，而“在 PA 上确定一点 E，使得OE平面 PBC”中的条件是点 E 的位置，结论是 OE平面 PBC.2.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是棱 BC，AB 的中点，点 F 在棱 CC1上，已知 ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E平面 ADF；(2)设点 M 在棱 BB1 上，当 BM 为何值时，平面 CAM平面 ADF?解析：(1)连接 CE 交 AD 于 O，连接
11、 OF.因为 CE，AD 为ABC 的中线，则 O 为ABC 的重心，故COCE23.又 CFCC123，故OFC1E.因为 OF平面 ADF，所以 C1E平面 ADF.(2)当 BM1 时，平面 CAM平面 ADF.因为 ABAC，故 ADBC.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，B1B平面 ABC，BB1平面 B1BCC1，故平面 B1BCC1平面 ABC.又平面 B1BCC1平面 ABCBC，AD平面 B1BCC1，CM平面 B1BCC1，故 ADCM.又 BM1，BC2，CD1，FC2，故CBMFCD.易证 CMDF，DFADD，AD，DF平面 ADF，故 CM平面 ADF.又 CM平
12、面 CAM，故平面 CAM平面 ADF.目标 3 简单的翻折问题例 3 已知直角梯形 ABCD 中，CB90，DC2AB，AECD 于 E，G 为AE 的中点(如 图)将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC(如图)求证：(1)AE平面 BCD；(2)平面 BDG平面 BDC.图 图证明：(1)在图中，因为 AECD，C90，所以 AEBC.在图中，因为 AEBC，BC平面 BCD，AE平面 BCD，所以 AE平面 BCD.(2)在图中，取 CD 的中点 M，BD 的中点 N，连接 EM，MN，NG.在图中，因为 ABCE，AEBC，所以四边形 ABCE 为平行四边形，所以 ABCE，AEBC
13、.因为 DC2AB，ABCE，所以 E 为 DC 中点所以在图中，DEEC，因为 M 为 DC 的中点，所以 EMDC.因为在图中，AE 綊 BC，G 为 AE 的中点，所以 GE 綊12BC.因为在图中，M，N 分别为 DC，BD 中点，所以 MN 綊12BC.所以 MN 綊 GE，所以四边形 MNGE 为平行四边形，所以 GNEM.因为 EMDC，GNEM，所以 GNDC.又在图中，AEEC，AEDE，ECDEE，EC平面 DCE，DE平面 DCE，所以 AE平面 DCE.因为 EM平面 DEC，所以 AEEM.因为 GNEM，AEBC，所以 GNBC.又 GNDC，BCDCC，BC平面
14、DBC，DC平面 DBC，所以 GN平面 BCD.又 GN平面 BDG，所以平面 BDG平面 BDC.【思维变式题组训练】1.如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABAD，ABC60，E 是 BC 的中点如图，将ABE 沿 AE 折起，使二面角 BAEC 成直二面角，连接 BC，BD，F 是 CD 的中点，P 是棱 BC 的中点(1)求证：AEBD；(2)求证：平面 PEF平面 AECD.(1)证明：连接 DE，取 AE 的中点 M，连接 BM，DM.因为在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，ABAD，ABC60，E 是 BC 的中点，所以ABE 与ADE 都是等边三角形，所以 BMAE，D
15、MAE.因为 BMDMM，BM，DM平面 BDM，所以 AE平面 BDM.因为 BD平面 BDM，所以 AEBD.(2)证明：连接 CM 交 EF 于点 N，连接 PN.因为 MEFC，且 MEFC，所以四边形 MECF 是平行四边形，所以 N 是线段 CM的中点因为 P 是线段 BC 的中点，所以 PNBM.因为 BM平面 AECD，所以 PN平面 AECD.又 PN平面 PEF，所以平面 PEF平面 AECD.2.在ABC 中，BAC90，B60，AB1，D 为线段 BC 的中点，E，F 为线段 AC 的三等分点(如图)将ABD 沿着 AD 折起到ABD 的位置，连接BC(如图)图图(1)
16、若平面 ABD平面 ADC，求三棱锥 BADC 的体积；(2)记线段 BC 的中点为 H，平面 BED 与平面 HFD 的交线为 l，求证：HFl.解析：(1)在 RtABC 中，D 为 BC 的中点，所以 ADBDCD.又B60，所以ABD 是等边三角形取 AD 中点 O，连接 BO，所以 BOAD.因为平面 ABD平面 ADC，平面 ABD平面 ADCAD，BO平面 ABD，所以 BO平面 ADC.在ABC 中，BAC90，B60，AB1，D 为 BC 的中点，所以 AC 3，BO 32.所以 SADC1212 3 34.所以三棱锥 BADC 的体积为 V13SADCBO18.(2)因为
17、H 为 BC 的中点，F 为 CE 的中点，所以 HFBE.又 HF平面 BED，BE平面 BED，所以 HF平面 BED.因为 HF平面 HFD，平面 BED平面 HFDl，所以 HFl.一、填空题1.设 l，m 表示直线，m 是平面 内的任意一条直线则“lm”是“l”的_条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)充要 解析：由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内任意一条直线，则直线与平面垂直，说明是充分条件，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“lm”是“l”成立的充要条件2.若直线a与平面不垂直，则在平面内与直线a垂直的
18、直线条数为_无数 解析：因为直线 a 与平面 不垂直，则直线 a 在平面 内的射影必为一条直线，与射影垂直的直线必定会与直线 a 垂直，故有无数条3.，为两个不同的平面，m，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是_(填序号)若，m，则 m；若 m，n，则 mn；若，n，mn，则 m；若 n，n，m，则 m.解析：中 m 与 n 还可以异面，中直线 m 与平面 的关系不确定，所以错误4.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD上若 EF平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_2 解析：由 EF平面 AB1C 可得 EFAC，点 E 为
19、AD 的中点，则 F 为 DC 的中点，所以 EF12AC.而在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB2，EF12AC122 2 2.5.，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么；如果 m，n，那么 mn；如果，m，那么 m；如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填序号)解析：对于，由 mn，m 可得 n 或 n 在 内，当 n 时，与 可能相交，也可能平行，故错误；对于，过直线 n 作平面与平面 交于直线c，由 n 可知 nc，因为 m，所以 mc，所以 mn，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确；对于，由
20、线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有.6.如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻转成A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻转过程中，正确的命题是_(填序号)MB 是定值；点 M 在圆上运动；一定存在某个位置，使 DEA1C；一定存在某个位置，使 MB平面 A1DE.解析：取 DC 中点 N，连接 MN，NB，则 MNA1D，NBDE，所以平面MNB平面 A1DE.因为 MB平面 MNB，所以 MB平面 A1DE，正确；A1DEMNB，MN12A1D定值，NBDE定值，根据余弦定理得，MB2MN2NB22MNNBcosMNB，所
21、以 MB 是定值，正确；B 是定点，所以 M 是在以 B 为圆心，MB 为半径的圆上，正确；当矩形 ABCD 满足 ACDE 时存在，其他情况不存在，不正确所以正确二、解答题7.如图，四棱锥 PABCD 的底面为平行四边形，PD平面 ABCD，M 为 PC 的中点(1)求证：AP平面 MBD；(2)若 ADPB，求证：BD平面 PAD.证明：(1)如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM.因为底面 ABCD 是平行四边形，所以点 O 为 AC 的中点又 M 为 PC 的中点，所以 OMPA.因为 OM平面 MBD，AP平面 MBD，所以 AP平面 MBD.(2)因为 PD平面 ABCD
22、，AD平面 ABCD，所以 PDAD.因为 ADPB，PDPBP，PD平面 PBD，PB平面 PBD，所以 AD平面 PBD.因为 BD平面 PBD，所以 ADBD.因为 PD平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 PDBD.又因为 BDAD，ADPDD，AD平面 PAD，PD平面 PAD，所以 BD平面PAD.8.如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是菱形，AC1 与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB 上一点，且 OE平面 BCC1B1.(1)求证：E 是 AB 的中点；(2)若 AC1A1B，求证：AC1CB.证明：(1)连接 BC1.因为 OE平面 BCC
23、1B，OE平面 ABC1，平面 BCC1B1平面 ABC1BC1，所以 OEBC1.因为侧面 AA1C1C 是菱形，AC1A1O，所以 O 是 AC1 中点，所以AEEB AOOC11，E 是 AB 中点(2)因为侧面 AA1C1C 是菱形，所以 AC1A1C.又 AC1A1B，A1CA1BA1，A1C，A1B平面 A1BC，所以 AC1平面 A1BC.因为 BC平面 A1BC，所以 AC1BC.9.如图，在四棱锥 PABCD 中，已知平面 PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是 AP，AD 的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.证明：(
24、1)因为 E，F 分别是 AP，AD 的中点，所以 EFPD.又 PD平面 PCD，EF平面 PCD，所以 EF平面 PCD.(2)因为BAD60，ABAD，AF12AD，所以 AF12AB，所以 BFAF.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BF平面 PAD.又 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.10.如图，在四棱锥 PABCD 中，ADCD12AB，ABDC，ADCD，PC平面ABCD.(1)求证：BC平面 PAC；(2)若 M 为线段 PA 的中点，且过 C，D，M三点的平面与 PB 交于点 N，求 PNPB 的值(1)证明：连接 AC.不妨
25、设 AD1.因为 ADCD12AB，所以 CD1，AB2.因为ADC90，所以 AC 2，CAB45.在ABC 中，由余弦定理得 BC 2，所以 AC2BC2AB2.所以 BCAC.因为 PC平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 BCPC.因为 PC平面 PAC，AC平面 PAC，PCACC，所以 BC平面 PAC.(2)如图，因为 ABDC，CD平面 CDMN，AB平面 CDMN，所以 AB平面 CDMN.因为 AB平面 PAB，平面 PAB平面 CDMNMN，所以 ABMN.在PAB 中，因为 M 为线段 PA 的中点，所以 N 为线段 PB 的中点，即 PNPB 的值为12.11.在
26、如图所示的几何体中，平面 CDEF 为正方形，底面 ABCD 为等腰梯形，ABCD，AC 3，AB2BC2，ACFB.(1)求证：AC平面 FBC；(2)线段 AC 上是否存在点 M，使 EA平面 FDM？请证明你的结论解析：(1)在ABC 中，因为 AC 3，AB2，BC1，所以 ACBC.又因为 ACFB，BCFBB，BC，FB平面 FBC，所以 AC平面 FBC.(2)线段 AC 上存在点 M，且 M 为 AC 的中点时，有 EA平面 FDM.证明如下：连接 CE 与 DF 交于点 N，连接 MN.因为四边形 CDEF 为正方形，所以 N 为 CE 的中点所以 EAMN.因为 MN平面 FDM，EA平面 FDM，所以 EA平面 FDM.所以线段 AC 上存在点 M，使得 EA平面 FDM.