1、山东省济宁市兖州区2019-2020学年高二数学5月阶段性测试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有种，春节和端午节恰有一个被选中
2、的选法有,所以所求概率为选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种A. 19B. 7C. 26D. 1
3、2【答案】C【解析】分析】由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出【详解】顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有，故有2+5=7种，当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人种，当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有，故有2+5=7种，当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则,若没有人使用现金，则有种，
4、故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种，故选C【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.3.易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据概率公式计算即可【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有种，其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p故选D【点睛】本题
5、考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是偶数”，“第二次取到的是偶数”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：事件A发生后，只剩下8个数字，其中只有3个偶数字，由古典概型概率公式可得详解：在事件A发生后，只有8个数字，其中只有3个偶数字，故选B点睛：本题考查条件概率，由于是不放回取数，因此事件A的发生对B的概率有影响，可考虑事件A发生后基本事件的个数与事件B发生时事件的个数，从而计算概率5.某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各
6、随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为（ ）A. 上午生产情况异常，下午生产情况正常B. 上午生产情况正常，下午生产情况异常C. 上、下午生产情况均正常D. 上、下午生产情况均异常【答案】B【解析】分析：根据3原则判断.详解：因为服从正态分布，所以所以上午生产情况正常，下午生产情况异常,选B.点睛：利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.6.在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为，则的系数为（ ）A. 21B. 63C. 189D. 729【答案】C【解析】分析：令得各项系数和，由已知比值求得指
7、数，写出二项展开式通项，再令的指数为4求得项数，然后可得系数详解：由题意，解得，令，解得，的系数为故选C点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质在的展开式中二项式系数和为，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为7.设，则随机变量的分布列是：则当在内增大时（ ）A. 增大B. 减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大【答案】D【解析】【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查.【详
8、解】方法1：由分布列得，则，则当在内增大时，先减小后增大.方法2：则故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为，依次成等差数列，所以具有性质.若存在，使具有性质，则的最大值为（ ）A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】B【解析】【分析】根据连续三项
9、二项式系数成等差数列可列出，根据组合数公式进行整理可得：，可知为完全平方数，分析可知.【详解】由题意得：，整理可得：即：为完全平方数又且的最大值为：本题正确选项：【点睛】本题考查组合数公式的应用，关键是能够通过化简判断出为完全平方数，从而可分析求得结果.二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正
10、确的是A. y与x具有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心（，）C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【答案】D【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x85.71，则=0.850，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；回归直线过样本点的中心（），B正确；该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.8517085.71=58.79kg，D错误故选D10.若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别
11、为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（ ）A. P（X1）E（X）B. E（3X+2）4C. D（3X+2）4D. 【答案】AB【解析】【分析】根据随机变量X服从两点分布，其中，则P（X1），代入期望和方差公式，进行运算即可得解.【详解】随机变量X服从两点分布，其中，P（X1），E（X），D（X）（0）2（1）2，在A中，P（X1）E（X），故A正确；在B中，E（3X+2）3E（X）+234，故B正确；在C中，D（3X+2）9D（X）92，故C错误；在D中，D（X），故D错误.故选：AB.【点睛】本题考查了两点分布及其期望和方差的计算，以及期望性质的应用，属于基础题.11.将四个不同的小
12、球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）.A. B. C. D. 18【答案】BC【解析】【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法：（1）分2步进行分析：先将四个不同的小球分成3组，将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案；（2）分2步进行分析：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有13号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个
13、球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：（1）分2步进行分析：先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；则没有空盒的放法有种；（2）分2步进行分析：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况；将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法；则没有空盒的放法有种；故选：BC【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力12.对任意实数x，有.则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，可把视作的二项展开式，从而可以
14、根据二项展开式的通项公式和赋值法，即可判断正误.【详解】对任意实数x，有1+2（x1）9，a222144，故A正确；故令x1，可得a01，故B不正确；令x2，可得a0+a1+a2+a91，故C正确；令x0，可得a0a1+a2+a939，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题考查了二项式定理，考查了赋值法求和，考查了转化思想，属于较难题.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13.若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】令得，1=；再令，化简即得解.【详解】令得，1=；令中得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求系数和，意在考查学生对这些知识的理解掌
15、握水平.14.展开式中x项的系数为_【答案】2019【解析】【分析】求得二项式展开式的通项，结合，即可求得展开式中的x项的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式展开式的通项为，则展开式中x项的系数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.15.由数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的三位数，偶数共有_个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有_个【答案】 (1). 60 (2). 36【解析】【分析】对于第一空：分2步分析：分析可得要求三位偶数的个位有3种情况，在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，
16、由分步计数原理计算可得答案； 对于第二空：按个位数字分3种情况讨论，分别求出每种情况下的三位数的数目，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意， 对于第一空：分2步分析： 要求是没有重复数字的三位偶数，其个位是2、4或6，有3种情况， 在剩下的5个数字中任选2个，安排在前2个数位，有种情况， 则有320=60个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分3种情况讨论： ，当其个位为2时，十位数字只能是1，百位数字有4种情况，此时有4个符合题意的三位数； ，当其个位为4时，十位数字可以是1、2、3，百位数字有4种情况，此时有34=12个符合题意的三位数； ，当其个位为6时，十位数字可以是1、2、3、4、5
17、，百位数字有4种情况，此时有54=20个符合题意的三位数； 则有4+12+20=36个符合题意的三位数； 故答案为60，36【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题16.设，若随机变量的分布列是：012则当变化时，的极大值是_【答案】.【解析】分析：先求，再根据二次函数性质求极大值.详解：因为，所以，当且仅当时取等号，因此的极大值是.点睛：本题考查数学期望公式以及方差公式：考查基本求解能力.四、解答题：本题共6个小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，与满足（1）求值；
18、（2）求的展开式中的系数【答案】（1）；（2）-20.【解析】分析：（1）根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程求得m的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可.详解：（1）由题意知：，又（2） 含的项：所以展开式中的系数为点睛：求二项展开式中特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可18.为了更好地服务民众，某共享单车公司通过向共享单车用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元奖券、获得2元
19、奖券的概率分别是0.5、0.2，且各次获取骑行券的结果相互独立.（I）求用户骑行一次获得0元奖券的概率；（II）若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（I）；（II）（元）.【解析】分析：（1）利用对立事件概率公式可得用户骑行一次获得0元奖券的概率；（2）由（1）知，一次骑行用户获得0元的概率为X的所有可能取值分别为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望详解：（I）由题可知骑行一次用户获得0元奖券的概率为： （II）由（I）知一次骑行用户获得0元的概率为.的所有可能取值分别为0，1，2，3
20、，4. ， ， ， ， 的分布列为：的数学期望为 （元）.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.对某种书籍每册的成本费（元）与印刷册数（千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.4.834.220.377560.170.60-39.384.8其中，.为了预测印刷千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：，.（1）根据散点图，你认
21、为选择哪个模型预测更可靠？（只选出模型即可）（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求关于的回归方程，并预测印刷千册时每册的成本费.附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1) 模型更可靠.(2) 关于的回归方程为.当时，该书每册的成本费（元）.【解析】【详解】分析：(1)根据散点呈曲线趋势，选模型更可靠. (2)根据公式求得，根据求得，最后求自变量为20 对应函数值.详解：（1）由散点图可以判断，模型更可靠.（2）令，则，则.，关于的线性回归方程为.因此，关于的回归方程为.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两
22、个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.20.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级100名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占70%这100名学生中南方学生共80人南方学生中有20人不喜欢甜品（1）完成下列列联表：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生北方学生合计（2）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（3）已知在被调查的南方学生中有6名数学系的学生，其中2名不喜欢甜品；有5名物理系的学生，其中1名不喜欢甜品现从这两个系的学生中，各随机抽
23、取2人，记抽出的4人中不喜欢甜品的人数为X，求X的分布列和数学期望附：【答案】（1）详见解析；（2）有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”；（3）分布列详见解析，数学期望为【解析】【分析】(1)由南方学生共80人，南方学生中有20人不喜欢甜品，总人数为100，喜欢甜点的占70%，即可填表；(2)根据列联表中的数据求出的值，然后再结合临界值表中的数据可得结论;(3)根据离散型随机变量的概率公式计算分布列和数学期望【详解】解：（1）喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（2）由题意，有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选甜
24、品的饮食习惯方面有差异” （3）X的所有可能取值为0，1，2，3， 则X的分布列为X0123P所以X的数学期望【点睛】本题考查了抽样调查，独立性检验，离散型随机变量的概率公式和数学期望，认真分析条件，细心求解是关键，属于中档题21.某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况，在这两所学校进行了安全知识测试，随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则为不优秀，统计结果如下图： 甲校 乙校（1）从乙校成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在内的概率；（2）由以上数据完成下面列联表，并回答能否在犯错的概率不超过0.1的前
25、提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关甲校乙校总计优秀不优秀总计参考数据P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1) .(2)列联表见解析；在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关.【解析】分析：（1）根据频率和为，求得的值，再计算乙校成绩优秀的学生数，利用列举法求出从乙校成绩优秀的学生中任选两名的基本事件的总数为，两名学生的成绩恰有一个落在内的基本事件的个数为，利用古典概型概率公式可得结果. （2）根据列联表中数据，利用公式求得，从而可得结果.详解：（1）频率分
26、布直方图中矩形面积为1成绩落在内的人数为成绩落在内的人数为从乙校成绩优秀的学生中任选两名的基本事件的总数为两名学生成绩恰有一个落在内的基本事件的个数为则这两名学生的成绩恰有一个落在内的概率为：（2）由已知得列联表如下甲校乙校总计优秀11516不优秀91524总计202040所以在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关.点睛：本题主要考查频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.22.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，
27、需对该生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估值（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判（P表示对应事件的概率）评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；（2）将数据不在内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望【答案】（1）该生产线需检修；（2）分布列详见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）由题意得到，根据频率分布直方图，求得相应的概
28、率，进行比较，即可得到结论；（2）由（1）得到所以任取一件是次品的概率为，再得到随机变量Y的可能值，求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用公式求得期望.【详解】（1）由题意知，用统计方法得到样本的平均数，标准差，由频率分布直方图得：，所以不满足至少两个不等式，该生产线需检修 （2）由（1）知：，所以任取一件是次品的概率为：，所以任取两件产品得到次品数Y的可能值为：，则，Y的分布列为：Y012P所以.（或）.【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，其中解答中找到随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.