1、北京市2020年高考数学压轴卷（含解析）一、 选择题（本大题共10小题. 每小题45分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设复数z满足，则（ ）ABCD2设集合，则（ ）ABCD3已知定义域为的奇函数满足，且当时，则（ ）ABCD4函数图象的大致形状是（ ）ABCD5已知坐标原点到直线的距离为，且直线与圆相切，则满足条件的直线有（ ）条ABCD6函数的单调递增区间是（ ）ABCD7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A20B10C30D608已知点在抛物线C：的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）ABCD9已知，则“”是“”的（ ）A充分非
2、必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件10已知随机变量的分布列，则下列说法正确的是( )A存在x，y(0，1)，E()B对任意x，y(0，1)，E()C对任意x，y(0，1)，D()E()D存在x，y(0，1)，D()二填空题（本大题共5小题.每小题5分，共25分）11已知曲线的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为_.12函数的最小正周期等于_.13在中，若，,求的面积 14已知an是各项均为正数的等比数列，a11，a3100，则an的通项公式an_；设数列lgan的前n项和为Tn，则Tn_.15已知函数，下列命题正确的有_（写出所有正确命题的编号）是奇函数；在上是单调递增函数
3、；方程有且仅有1个实数根；如果对任意，都有，那么的最大值为2.注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或有选错得0分，其他得3分.三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数（k为常数，且）（1）在下列条件中选择一个_使数列是等比数列，说明理由；数列是首项为2，公比为2的等比数列；数列是首项为4，公差为2的等差数列；数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.17在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，为中点（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值18已知函数
4、.（）求函数的单调区间；（）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.19自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630（）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋
5、.20已知椭圆（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由21对于nN*（n2），定义一个如下数阵：，其中对任意的1in，1jn，当i能整除j时，aij1；当i不能整除j时，aij0设（）当n6时，试写出数阵A66并计算；（）若x表示不超过x的最大整数，求证：；（）若，求证：g（n）1f（n）g（n）+12020北京高考压轴卷数学Word版含解析参考答案1【答案】A【解析】，.故选:A.2【答案】B【解析】由，得或，即或，又.故选：B.3【答案】B【解析】由满足，所以函数的周期，又因为函数为奇函数，且当时，所以.
6、故选：B4【答案】B【解析】，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.故选：B.5【答案】A【解析】显然直线有斜率，设：，则，即，又直线与圆相切， 联立，所以直线的方程为.故选：A6【答案】C【解析】令因此 故函数的单调递增区间是故选：C7【答案】B【解析】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：；底面面积：三棱锥体积：本题正确选项：8【答案】C【解析】试题分析：由已知得，抛物线的准线方程为，且过点，故，则，则直线AF的斜率，选C9【答案】C【解析】由，则又，所以若，且，所以，则所以“”是“”的充要条件故选：C10【答案】C【解析】依题意可得，因为所以即故，错误；即，故成立；故
7、错误故选：11【答案】2【解析】由于，则，由导数的几何意义可知，曲线的切线斜率即对应的函数在切点处的导数值，曲线的一条切线斜率是3，令导数，可得，所以切点的横坐标为2.故答案为：212【答案】【解析】因为函数故最小正周期等于.故答案为：13【答案】或【解析】在中，设，由余弦定理可得，或当时，的面积为，当时，的面积为，故答案为或14【答案】10n1 【解析】设等比数列an的公比为q，由题知q0.a11，a3100，q10，an10n1；lganlg10n1n1，Tn.故答案为：(1). 10n1 (2). 15【答案】【解析】 根据题意，依次分析四个命题：对于中，定义域是，且是奇函数，所以是正确
8、的；对于中，若，则，所以的递增，所以是正确的；对于中，令，令可得，即方程有一根，则方程有一根之间， 所以是错误的；对于中，如果对于任意，都有，即恒成立，令，且，若恒成立，则必有恒成立，若，即恒成立，而，若有，所以是正确的，综上可得正确.16【答案】（1），理由见解析；（2）【解析】（1）不能使成等比数列.可以：由题意，即，得，且，.常数且，为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由（1）知，所以当时，.因为，所以，所以，.17【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，以为原点，分别以，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，因为为中点，所
9、以，所以，所以，所以（2）由（1）得，所以与所成角的余弦值为18【答案】（）见解析（）【解析】（）函数的定义域为，.由得或.当时，在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.（）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.所以在上有零点的必要条件是，即，所以.而，所以.若，在上是减函数，在上没有零点.若，在上是增函数，在上是减函数，所以在上有零点等价于，即，解得.综上所述，实数的取值范围是.19【答案】；（）详见解析；（）2200【解析】（）在随机抽取的100名顾客中
10、，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为（）所有的可能取值为1,2,3，,.所以的分布列为123所以的数学期望为.（）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.20【答案】（1），；（2）存在，7x+30或7x+30【解析】（1）由，得，进而，；（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为xm（y3），联立椭圆方程x2+2y24，可得（2+m2）y26m2y+9m240，36m44（2+m2）（9m24）
11、0，即m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2，y1y2，由，可得（x2，y23）2（x1，y13），即y232（y13），即y22y13，将代入可得3y13，y1（2y13），消去y1，可得，解得m2，所以，故存在这样的直线l，且方程为7xy+30或7x+y3021【答案】（）， （）见解析（）见解析【解析】（）依题意可得， （）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，可得是数阵Ann所有数的和而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加对任意的1in，不超过n的倍数有1i，2i，得数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为从而得到结果（）由x的定义可知，得进而再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论【详解】（）依题意可得， （）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加对任意的1in，不超过n的倍数有1i，2i，因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为所以（）证明：由x的定义可知，所以所以考查定积分，将区间1，n分成n1等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为 所以所以g（n）所以g（n）1g（n）+1所以g（n）1f（n）g（n）+1