1、数学选修21(人教A版)空间向量与立体几何31空间向量及其运算32.1利用空间向量证明平行、垂直问题 (一)课前训练一、选择题1设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2)，则下列向量中是平面的法向量的是()A(1，2,5) B(1,1，1)C(1, 1,1) D(1，1，1)答案：B2已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y答案：D3若直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，则能使l的是()Aa(1,0, 0)，u(2,0,0)Ba(1,3,5)，u(1,0,1)Ca(0,2,
2、1)，u(1,0,1)Da(1，1,3)，u(0,3,1)答案：D4若平面与的法向量分别是a(4,0，2)，b(1,0,2)，则平面与的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D无法判断解析：ab410(2)20.ab，.答案：B5如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1个 B2个 C3个 D4个解析：因为，所以，从而A1MD1P，可得正确又B1Q与D1P不平行，故不正确故选C.答案：C二、填空题6
3、.u (，uR)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_解析：因为u，所以与，共面，所以AB平面CDE或AB平面CDE.答案：AB平面CDE或AB平面CDE7. 已知直线l的方向向量为u(2,0，1)，平面的一个法向量为v(2,1，4)，则l与的位置关系为_解析：因为uv(2,0，1)(2,1，4)4040，所以uv，所以l或l.答案：l或l8若平面的一个法向量为u1(3，y,2)，平面的一个法向量为u2(6，2，z)，且，则yz_.解析：，u1u2，y1，z4，yz3.答案：3三、解答题9如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点
4、，N为BC的中点证明：直线MN平面OCD.证明：作APCD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N，.设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即取z，解得n(0,4，)n0，MN平面OCD.10如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中 点设Q是CC1上的点当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解析：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)再设Q(0,2，c)，所以(1，1,0)，(1，1,1)，(2,0，c)，(2，2,2)设平面PAO的法向量为n1(x，y，z)，则令x1，则y1，z2.所以平面PAO的一个法向量为n1(1,1,2)若平面D1BQ平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量所以n10，即22c0，所以c1，这时n12240，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.
