1、第35练与抛物线相关的热点问题题型一抛物线的定义及其应用例1设P是抛物线y24x上的一动点，(1)求点P到A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|PF|的最小值破题切入点画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题解(1)由于A(1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则|AP|PF|AF|，从而知点P到A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为，所以点P到A(1,1)的距离与P到直线x1的距离之和的最小值也为.(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，此时|P1Q|P1F|，那
2、么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即|PB|PF|的最小值为4.题型二抛物线的标准方程及性质例2(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_ m.破题切入点准确求出抛物线方程结合其简单几何性质作答答案(1)C(2)2解析(1)x28y，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y2.由抛物线的定义知|FM|y02.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方
3、程为x2(y2)2(y02)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py得p1.x22y.水位下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y，得x6，x0.水面宽|CD|2 m.题型三直线和抛物线的位置关系例3已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，
4、请说明理由破题切入点(1)将点代入易求方程(2)假设存在，根据条件求出，注意验证解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt.由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.由直线OA到l的距离d，可得，解得t1.又因为1，)，1，)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.总结提高(1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决(2)抛物线的标准方
5、程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y22px关于y轴、直线xy0与xy0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y22px绕原点旋转90或180也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2，x1x2；若直线AB的倾斜角为，则|AB|；若F为抛物线焦点，则有.1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4 B2C4或4 D12或2答案C解析设标准方程为x22py(p0)，由定义知P
6、到准线的距离为4，故24，所以p4，则方程为x28y，代入P点坐标得m4.2(2014泸州模拟)若抛物线y28x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有()A0个 B1个C2个 D4个答案B解析由题意得F(2,0)，l：x2，线段MF的垂直平分线方程为y(x)，即x3y70，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x3y70上，故a3b70，a73b，由题意得|a(2)|，即b28a8(73b)，即b224b560.又b0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是
7、()A2 B2C.1 D.1答案A解析依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1y2)由抛物线定义及|PF|QF|，得，yy，y1y2.又|PQ|2，因此|y1|y2|1，点P(，y1)又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|2，由此解得p2，故选A.4(2014课标全国)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.答案D解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB
8、|6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.5已知抛物线y28x的准线为l，点Q在圆C：x2y22x8y130上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d|PQ|的最小值等于()A3 B2C4 D5答案A解析如图所示，由题意，知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，连接PF，则d|PF|.圆C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圆心为C(1,4)，半径r2.d|PQ|PF|PQ|，显然，|PF|PQ|FQ|(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，
9、Q，C三点共线时取得最小值，最小值为|CF|r2523.6过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A. B. C. D2答案C解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOB|OF|yAyB|1|2|.故选C.7过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.答案解析
10、2，|AB|AF|BF|，|AF|0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A、B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案6解析因为ABF为等边三角形，所以由题意知B，代入方程1得p6.11(2014大纲全国)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知
11、l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故设AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故设MN的中点为E(2m23，)，|MN| |y3y4|，由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2(2)2(2m)2，化简得
12、m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.12(2014湖北)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x(x0)，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.(*1)当k0时，此时
13、y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点(，1)当k0时，方程(*1)根的判别式为16(2k2k1)(*2)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k.即当k(，1)(，)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点()若或由(*2)(*3)解得k1，或k0.即当k1，时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当k，0)时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k，0)1，时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点()若由(*1)(*2)解得1k或0k.即当k(1，)(0，)时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点综合可知，当k(，1)(，)0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k，0)1，时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k(1，)(0，)时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点