1、核心模块一 三角函数、解三角形、平面向量专题三 解三角形正、余弦定理及其应用在近三年高考题中均有考察，难度以中档题为主，如 2019年 T12 解三角形与向量结合考察，T15 解三角形与三角化简求值结合考察.2018 年T13 考察三角形的角平分线性质和基本不等式的运用.2017 年 T18 在应用题中考察了正、余弦定理的运用.2016年T15将解三角形与三角化简求值相结合.2016年T13，T14 都以三角形为载体考察了向量的数量积和基本不等式的运用三角形的研究是近几年高考的热点目标 1 正、余弦定理的运用例 1(1)ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 5a8b，A2
2、B，则 sinA4 _.17 250 解析：(1)因为 5a8b，所以由正弦定理可得 5sinA8sinB，即 sinA85sinB.因为 A2B，所以 sinAsin2B2sinBcosB，则85sinB2sinBcosB.因为 sinB0，所以 cosB45，则 sinB 1cos2B35，故 sinA2425.因为 A2B，所以 cosAcos2B2cos2B1 725，所以 sinA4 sinAcos4cosAsin417 250.(2)在ABC 中，若 AB2，AC3，边 BC 上的中线 AD2，则ABC 的面积为_3 154(2)解法 1 由题意设 CDBDx，由余弦定理得 cos
3、C9x2423x 94x24232x，可得 x 102 且 cosC 104，sinC 64，故 SABC12ACBCsinC3 154.解法2 由题意设CDBDx，由余弦定理得cosADBcosADC，即x24422xx24922x，解得 x 102，以下同解法 1.(3)在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_9(3)由题意可知，SABCSABDSBCD，由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin12012a1sin6012c1sin60，化简得 acac，1a1c1，因此 4ac(
4、4ac)1a1c 5ca4ac 52ca4ac 9，当且仅当 a32，c3 时取等号点评：高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式【思维变式题组训练】1.在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 asinBcosCcsinBcosAb2，且 ab，则 B_.6 解析：
5、由正弦定理可得到 sinAsinBcosCsinCsinBcosA12sinB.因为 B(0，)，所以 sinB0，所以 sinAcosCsinCcosA12，即 sin(AC)sinB12，又 ab，则 B6.2.在ABC 中，已知 AC5，AB12，AD 为BAC 的平分线，D 在 BC 上，CD6517，则 AD_.60 217 解析：在ABD，ADC 中，由正弦定理可得ABsinADBBDsinBAD，ACsinADCCDsinCAD.又BADCAD，ADBADC，所以有ABACBDCD125，即 BD15617，故BC651715617 13.即 AC2AB214425169BC2，
6、所以ABC 为直角三角形且 A2.在ADC 中，由正弦定理可得CDsinDAC ADsinC，即 AD121365172260 217.3.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线(1)若 a4，b2，AD1，求边 c 的长；(2)若ABAD c2，求角 B 的大小解析：(1)在ADC 中，因为 AD1，AC2，DC12BC2，所以由余弦定理，得 cosCAC2DC2AD22ACDC222212222 78.故在ABC 中，由余弦定理，得 c2a2b22abcosC4222242786，所以 c 6.(2)因为 AD 为边 BC 上的中线，所以AD 1
7、2(ABAC)，所以 c2ABAD AB12(ABAC)12AB 212ABAC12c212cbcosA，得 cbcosA.则 cbb2c2a22bc，得 b2c2a2，所以 B90.目标 2 三角形中的求值、求角问题例 2 若 02 513.解析：(1)tan2tan21tan2243，3sin4cos，9(1cos2)16cos2，cos2 925.又因为 02，可得 cos35.(2)由(1)可知，sin 1cos45，0 2，可得2 513.点评：三角形中的求值、求角问题主要是利用正、余弦定理化归条件，转化为三角的求值、求角问题要注意三角形中角的范围限制以及 sinAsin(BC)，c
8、osAcos(BC)，tanAtan(BC)在求解中的使用【思维变式题组训练】1.设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosBbcosA35c，则tanAtanB_.4 解法 1(正弦定理)根据正弦定理可得 sinAcosBsinBcosA35sinC，即 5sinAcosB5sinBcosA3sinC.又因为 sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以 2sinAcosB8cosAsinB.又因为 A，B(0，)，所以 cosA0，cosB0，所以 tanA4tanB，则tanAtanB4.解法 2(射影定理)因为 acosBbcosA35c
9、及 acosBbcosAc 可得 acosB45c，bcosA15c，注意到 cosA0，cosB0，两式相除可得acosBbcosA4，再由正弦定理可得sinAcosBsinBcosAtanAtanB4.2.在ABC 中，已知 a，b，c 分别为角 A，B，C 所对边的长，acosB 2bcosA，cosA 33.(1)求角 B 的值；(2)若 a 6，求ABC 的面积解析：(1)在ABC 中，因为 cosA 33，0A，所以 sinA 1cos2A 63.因为 acosB 2bcosA，由正弦定理 asinA bsinB，得 sinAcosB 2sinBcosA.所以 cosBsinB.若
10、 cosB0，则 sinB0，与 sin2Bcos2B1 矛盾，故 cosB0.于是 tanBsinBcosB1.又因为 0B，所以 B4.(2)因为 a 6，sinA 63，由(1)及正弦定理 asinA bsinB，得 663 b22，所以 b3 22.又 sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB 63 22 33 22 2 3 66，所以ABC 的面积为 S12absinC12 63 22 2 3 6663 24.目标 3 平面向量与三角形结合的问题例 3(1)在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c.向量 m(1，cosB)，n
11、(sinB，3)，且 mn，则角 B 的大小为_3 解析：mnsinB 3cosB.因为 mn，所以 mn0，所以 sinB 3cosB0.因为ABC 为锐角三角形，所以 cosB0，所以 tanB 3.因为 0B0，故 cosB 54.(2)因为ABACCACB，所以 cbcosAbacosC，则由余弦定理，得 b2c2a2b2a2c2，得 ac.从而 cosBa2c2b22acc2c225c 22c235.又 0B0，A(0，)，所以 A0，2，sinA35.因为 sinAsinB，所以 ab，从而 AB，B 为锐角，cosB2 23.所以 cosCcos(AB)cosAcosBsinAs
12、inB452 23 351338 215.一、填空题1.在ABC 中，若 sinAsinBsinC456，则 cosC 的值为_18 解析：由正弦定理得，abc456，不妨设 a4k，b5k，c6k，则由余弦定理得 cosCa2b2c22ab16k225k236k224k5k18.2.在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 bcosCccosB2b，则ab_.2 解析：因为 bcosCccosB2RsinBcosC2RsinCcosB2Rsin(BC)2RsinAa，所以ab2.5 解析：解法一：因为ABAC9，ABBC16，所以ABACABBC91625，即AB(A
13、CCB)25，亦即AB 225，故 AB5.解法二：设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c.则由条件得 bccosA9，accosB16.两式相加得 c(bcosAacosB)91625，即 c225，故 ABc5.解法三：设 A，B，C 的对边依次为 a，b，c.则由条件得 bccosA9，accosB16.由余弦定理得12(b2c2a2)9，12(c2a2b2)16.两式相加得 c225，故 ABc5.3.在ABC 中，已知ABAC9，ABBC16，则 AB 的长为_4.在ABC 中，若bcosCccosB1cos2C1cos2B，则ABC 的形状是_三角形等腰或直角 解析：由已知1co
14、s2C1cos2B2cos2C2cos2Bcos2Ccos2BbcosCccosB，得cosCcosBbc或cosCcosB0，即cosCcosBbc或 C90.当 C90时，ABC 为直角三角形当cosCcosBbc时，由正弦定理，得bcsinBsinC，所以cosCcosBsinBsinC，即 sinCcosCsinBcosB，即 sin2Csin2B.因为 B，C 均为ABC 的内角，所以 2C2B 或 2C2B180，所以 BC 或 BC90，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形5.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cosC14，c3，且 acosA bco
15、sB，则ABC 的面积等于_3 154 解析：因为 acosA bcosB，由正弦定理可知sinAcosAsinBcosBtanAtanB，则 AB，所以ABC 为等腰三角形，所以 ABC2BC，得 2BC，则 cos2BcosC1412sin2B，解得 sinB 104，cosB 64，tanB 153.因为 ABc3，所以 C 到 AB 的距离 hAB2 tanB32 153 152，所以ABC 的面积为12ABh3 154.6.已知ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m(cosB，cosC)，n(2ac)，且 mn，则角 B_.120 解析：因为 m(cosB
16、，cosC)，n(2ac，b)，且 mn，所以 cosB(2ac)bcosC0，所以 cosB(2sinAsinC)sinBcosC0，所以 2cosBsinAcosBsinCsinBcosC0，即 2cosBsinAsin(BC)sinA.所以 cosB12.因为 0B180，所以 B120.7.如图所示，在ABC 中，C3，BC4，点 D 在边 AC 上，ADDB，DEAB，垂足为 E，若 DE2 2，则 cosA_.64 解析：因为 ADDB，所以 AABD，BDC2A.设 ADDBx.所以在BCD 中，BCsinBDC DBsinC，可得4sin2A xsin3.在AED 中，DEsi
17、nAADsinAED，可得2 2sinAx1.联立可得42sinAcosA2 2sinA32，解得 cosA 64.8.在ABC 中，若BCBA2ACABCACB，则sinAsinC的值为_2 解析：解法一：由BCBA2ACABCACB，得 2bcb2c2a22bcaca2c2b22acaba2b2c22ab，化简可得 a 2c.由正弦定理得sinAsinCac 2.解法二：建立平面直角坐标系，设 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，所以AC(c，a)，AB(b，a)，BC(cb,0)，BA(b，a)，CA(c，a)，CB(bc,0)，则由BCBA2ACABCACB得，b22cb2a2c
18、20，所以 b22cbc2(cb)22(a2b2)，所以 BC 2AB.由正弦定理得sinAsinCBCAB 2.9.在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin(AB)cosC，则acosCccosAb的取值范围为_(1,1)解析：由 sin(AB)cosC，得 sin(AB)sin2C.因为ABC 是锐角三角形，所以 AB2C，即 ABC2.又 ABC，由，得 B4.所以 AC34，即 C34 A.所以acosCccosAbsinAcosCcosAsinCsinBsinAC22 2sin2A34.因为ABC 是锐角三角形，所以4A2，所以42A34 4，
19、所以 22 sin2A34 22，所以1acosCccosAb1.故acosCccosAb的取值范围为(1,1)10.已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，且sin2Asin2Bsin2CacosBbcosAsinAsinBc，若 ab4，则 c 的取值范围为_2,4)解析：因为sin2Asin2Bsin2CacosBbcosAsinAsinBc，由正弦定理，得a2b2c2sinCabsinAcosBsinBcosAabsinAB absinC，所以 a2b2c2ab.由余弦定理，得 cosCa2b2c22ab ab2ab12，所以 C3，c2a2b22abcosC(ab)
20、23ab163ab163ab224，所以 c2.又三角形的两边之和大于第三边，所以 2c4.二、解答题11.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AD 为边 BC 上的中线(1)若 a4，b2，AD1，求边 c 的长；(2)若ABAD c2，求角 B 的大小解析：(1)在ADC 中，因为 AD1，AC2，DC12BC2，所以由余弦定理，得 cosCAC2DC2AD22ACDC222212222 78.故在ABC 中，由余弦定理，得 c2a2b22abcosC4222242786，所以 c 6.(2)因为 AD 为边 BC 上的中线，所以AD 12(ABAC)，所以 c2ABA
21、D AB12(ABAC)12AB 212ABAC12c212cbcosA，得 cbcosA.则 cbb2c2a22bc，得 b2c2a2，所以 B90.12.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 B60，ac4.(1)当 a，b，c 成等差数列时，求ABC 的面积；(2)设 D 为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值解析：(1)因为 a，b，c 成等差数列，所以 bac2 2.由余弦定理，得 b2a2c22accosB(ac)23ac163ac4，解得 ac4.所以 SABC12acsinB124 32 3.(2)因为 D 为边 AC 的中点，所以BD 12(B
22、ABC)，则BD 214(BABC)214(BA 22BABCBC 2)14(c22accosBa2)14(ac)2ac414ac414ac223，当且仅当 ac2 时取等号，所以线段 BD 长的最小值为 3.13.已知，0，2，且 sin(2)75sin.(1)求证：tan()6tan；(2)若 tan3tan，求 的值解析：(1)由 sin(2)75sin，可得 sin()75sin()，即 sin()coscos()sin75sin()coscos()sin，化简可得 sin()cos6cos()sin.若 cos()0，则 sin()cos0，又 cos0，所以 sin()0 与 si
23、n2()cos2()1 矛盾，cos()0,所以两边同除以 cos()cos，可得 tan()6tan.(2)因为 tan()6tan，所以 tantan1tantan6tan，又因为 tan3tan，所以43tan113tan22tan，解得 tan1 或 tan0.因为 0，2，所以 tan1，可得4.14.设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 D 为 AC 的中点，已知2sin2AB2 3sinC1，a 3，b4.(1)求角 C 的大小和 BD 的长；(2)设ACB 的平分线交 BD 于 E，求CED 的面积解析：(1)由题设得 3sinC12sin2AB20，所以 3sinCcos(AB)0.又 ABC，所以 3sinCcosC0，所以 tanC 33.因为 0C，所以 C6.在BCD 中，由余弦定理得 BD2342 32cos61，所以 BD1.(2)由(1)知，BD2BC24CD2，所以DBC2，所以 SDBC12BDBC 32.因为 CE 是BCD 的平分线，所以BCEDCE.在CEB 和CED 中，SCEB12BCCEsinBCE，SCED12CDCEsinDCE，所以SCEBSCEDBCCD 32，所以 SCEB 32 SCED，代入 SCEBSCEDSDBC 32，得1 32 SCED 32，所以 SCED32 3 3(2 3)2 33.
