1、数学必修2(人教A版)习题课(三)圆的方程及应用一、选择题1若点P(2，1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是()Axy30B2xy30Cxy10 D2xy50答案：A2当圆x2y22xkyk20的面积最大时，圆心坐标是()A(0，1) B(1,0)C(1，1) D(1,1)解析：圆的标准方程得：(x1)221，当半径平方1的取最大值为1时，圆的面积最大k0，即圆心为(1,0)答案：B3已知直线xa(a0)和圆(x1)2y29相切，那么a的值是()A2 B3 C4 D5答案：A4若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y2的距离等于1，则半径r的取值范围(
2、)A(4,6) B D解析：1r1，15r1，4r6.答案：A5若圆x2y24x4y100上至少有三个不同点到直线l：axby0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.解析：圆x2y24x4y100整理为(x2)2(y2)2(3)2，圆心坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：axby0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，2410， 22，k，2k2，直线l的倾斜角的取值范围是.答案：B6从动点P(m,2)向圆(x3)2(y3)21作切线，则切线长的最小值为()A4 B2 C5 D.解析：切线长L，m3时，L取最小值2.答案：B7圆x2y
3、24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是()A36 B18 C6 D5解析：圆x2y24x4y100的圆心为(2,2)，半径为3，圆心到直线xy140的距离为23，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R6.答案：C8与圆x2y24x6y120相切且在两坐标轴上的截距相等的直线有()A4条 B3条 C2条 D1条答案：A二、填空题9若实数x，y满足x2y21，则的最小值为_解析：由其几何意义知：表示定点(1,2)与圆心在原点的单位圆上点连线的斜率，其最小值为.答案：10一个圆过圆x2y22x0与直线x2y30的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程为_解析：设圆方程为
4、：x2y22x(x2y3)0，(y)232.圆心在y轴上，2，所求圆为：(x0)2(y2)210.答案：x2y24y60三、解答题11求与x轴切于点(5,0)，并在y轴截取弦长为10的圆的方程分析：由于所求的圆与x轴切于点(5,0)，所以圆心必在直线x5上，可设所求圆的圆心坐标为(5，b)，显然所求圆半径为r|b|.解析：解法一：设所求圆的方程(x5)2(yb)2b2，它与y轴交于A(xA，yA)，B(xB，yB)由得y22by250.由韦达定理得yAyB2b，yAyB25.|yAyB|10，(yAyB)2(yAyB)24yAyB4b2100100，b5.故所求圆方程(x5)2(y5)250.
5、解法二：如下图所示，过圆心C作CMAB，垂足M，由平面几何知识得|AM|BM|5，再由已知|MC|5，|AC|rb，在RtAMC中，b2r25252，即b5，得圆的方程为(x5)2(y5)250.12求圆心在直线xy40上，且经过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程解析：由得或两圆x2y24x60和x2y24y60的交点分别为A(1，1)、B(3,3)线段AB的垂直平分线方程为y1(x1)由得所求圆的圆心为(3，1)，半径为4.所求圆的方程为(x3)2(y1)216.13求与圆M：x2y22x相切，并且与直线：xy0相切于点A(3，)的圆的方程分析：将A(3，)看作圆(x3)
6、2(y)20，则所求圆即为过此圆与直线xy0交点的圆，它与圆M相外切解析：设所求圆C的方程为：(x3)2(y)2(xy)0，即为222，因为圆C与圆M相外切，M为：(x1)2y21，所以|1，化简即62|，解得2或6，代入假设方程式得圆C的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.点评：此例充分运用了将点看作半径为0的圆(即点圆)，应加以注意本题也可设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则求出a，b.再求r.14求过圆x2y22x4y150上一点P(1,2)的切线方程解析：解法一：设l：y2k(x1)，消去y，得(k21)x22(k24k1)x(k28k3)0.由16(2k1)20，得k.切线方程
7、为x2y50.解法二：将圆方程化为(x1)2(y2)2(2)2，得圆心坐标A(1，2)，kPA2，故过P点切线斜率为，切线方程x2y50.解法三：设切线方程为y2k(x1)，即kxy2k0，由题意知圆心A(1，2)到切线的距离等于圆的半径2.2，解得k.故所求切线方程为x2y50.15已知圆C：(x1)2(y2)22，点P(2，1)，过P点作圆C的切线PA，PB，A，B为切点(1)求PA，PB所在直线的方程；解析：设切线的方程为y1k(x2)，即kxy2k10，又C(1,2)，半径r，由点到直线的距离公式得：，解之得：k7或k1.故所求切线PA、PB的方程分别是xy10和7xy150.(2)求
8、切线长|PA|；解析：连接AC、PC，则ACAP，在RtAPC中，|AC|，|PC|，|PA|2.(3)求直线AB的方程解析：A(x1，y1)、B(x2，y2)，则(x11)2(y12)22，(x21)2(y22)22.CAAP，kCAkAP1，即1，(y12)(y11)(x11)(x12)，变形得(y12)(y123)(x11)(x111)，(y12)23(y12)(x11)2(x11)，(x11)2(y12)23(y12)(x11)0.(x11)2(y12)22，上式可化简为x13y130.同理可得：x23y230.A、B两点的坐标都满足方程x3y30，直线AB的方程是x3y30.16由圆x2y24外一点P(3,2)向圆引割线PAB，求AB中点的轨迹方程分析：弦的中点问题，多利用中点与圆心连线垂直于弦的性质解析：解法一：设M(x，y)为所求曲线上任一点M为AB中点，OMAB，kOMkAB1，且kABkMP，1，x2y23x2y0.又M在圆x2y24的内部，x2y24，AB中点轨迹方程为x2y23x2y0(x2y24)解法二：设M(x，y)为所求曲线上任一点，由M为AB中点可知OMA90.M点轨迹为以OP为直径的圆在x2y24内的部分，其圆心为半径.M点轨迹方程为2(y1)2(x2y24)，即x2y23x2y0(x2y24)