1、第八章机械能守恒定律1功与功率1知道什么是功，知道WFlcos的使用条件，并会用WFlcos进行有关计算。2理解正功和负功的含义，会计算总功。3理解功率、平均功率和瞬时功率的含义，会用P和PFvcos进行相关运算。4掌握机车的两种启动方式的分析方法。1.功(1)力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。(2)做功的公式：WFlcos，其中F、l、分别为力的大小、位移的大小和力与位移方向的夹角。当力F与位移l同向时，WFl。(3)功是标量。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m的位移的过程中所做的功。2
2、正功和负功(1)当时，W0，力对物体不做功。(2)当00，力对物体做正功。(3)当时，W0，力对物体做负功。(4)当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。可以证明，它也就是这几个力的合力对物体所做的功。3功率(1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。(2)定义式：P。(3)单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。1 W1 J/s,1 kW103 W。(4)物理意义：功率是表示做功快慢的物理量。(5)功率与速度功率与速度的关系式：PFv(F与v方向相同)。推导PFvcosPFv(为力F与运动方向的夹角)平均功
3、率和瞬时功率当PFv 中的速度v是物体在恒力F作用下的平均速度时，功率P是指从计时开始到时刻t的平均功率。如果时间间隔非常小，上述平均速度就可以看作瞬时速度，这个关系式也就可以反映瞬时速度与瞬时功率的关系。应用：汽车上坡时司机要用“换挡”的办法减小速度，来得到较大的牵引力。不过，在发动机输出功率一定时，减小速度提高牵引力或通过减小牵引力而提高速度，效果都是有限的，所以，要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的额定功率。判一判(1)力F1、F2做的功分别为10 J和15 J，则力F1比F2做功多。()(2)力F1、F2做的功分别为W110 J，W215 J，则W1、W2的方向相反。()(3)力F
4、1、F2做的功分别为10 J和15 J，则力F1和F2做的总功为5 J。()(4)由公式P知，做功越多，功率越大。()(5)力对物体做功越快，力的功率一定越大。()(6)物体的速度为v，则重力的功率一定是mgv。()(7)汽车爬坡时常常需要换高速挡。()提示：(1)功的正负不表示做功的多少，只表示做功的力是阻力还是动力，10 J小于15 J。(2)功是标量，没有方向。(3)物体所受各力对它做的总功，等于各力做功的代数和，即W10 J(15) J5 J。(4)(5)功率与做功多少和所用时间长短均有关，是描述做功快慢的物理量。(6)只有速度沿竖直方向时，重力的功率才是mgv。(7)汽车爬坡时需要减
5、小速度来增大牵引力。课堂任务功仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。活动1：如甲图所示，当F与l的夹角为时，还能用公式WFl来计算功吗？提示：不能。只有当力的方向与物体运动的方向在一条直线上时，才可以用公式WFl来计算功。活动2：乙图中F的两个分力做功的情况是什么？说明什么问题？提示：物体在分力Fsin的方向上没有位移，故这个分力不做功。而另一分力Fcos与物体的运动方向在一条直线上，故其可以用公式WFl进行计算，其值为Fcosl。由于F与两个分力为等效替代关系，说明F做的功等效为分力Fcos做的功，即F做的功大小为WFcoslFlcos。活动3：丙图的物理意义是什么？提示：力是矢量，位移也
6、是矢量，我们既然可以分解力，也可以分解位移。把位移沿垂直于力和平行于力的方向分解，其中只有与力F方向一致的分位移lcos才是有效位移，再用公式可得WFlcos，即WFlcos。这个结论与活动2的结论是一样的。活动4：功的正负意义是什么？提示：当090时，cos为正，力F做正功，此时力为动力。同理，当90180时，力F做负功，此时力为阻力。故功的正负表示的是动力做功还是阻力做功。活动5：丁图中F1和F2分别对物体做的功是多少？代数和为多大？提示：其合力在水平方向上，可以找到每个力与位移的夹角(如图)，可求出153，237。力F1做的功：W1F1lcos13100.6 J18 J力F2做的功：W2
7、F2lcos24100.8 J32 JW1与W2的代数和：WW1W2(1832) J50 J。活动6：丁图中F1和F2合力为多大？合力做功是多少？提示：两力互相垂直，F1与F2的合力：F N5 N合力F做的功：WFl510 J50 J。活动7：由运算结果可得出什么结论？提示：求合力做的功可以先算出每个力的功再求代数和，也可以先求出合力再计算功。活动8：讨论、交流、展示，得出结论。1做功的两个必要因素(1)力；(2)物体在力的方向上的位移。与其他因素，诸如物体运动的快慢、运动的性质、接触面是否光滑、物体质量的大小等都无关系。2对公式WFlcos的两种理解(1)功等于力F在位移方向上的分力Fcos
8、与位移l的乘积，即WFcosl；(2)功等于力F与在力F方向上的位移lcos的乘积，即WFlcos。3使用公式WFlcos的注意事项(1)WFlcos仅适用于恒力做功的计算；(2)式中的l是力的作用点的位移，也是物体对地的位移。4功是一个过程量功描述了力的作用效果在空间上的积累，它总与一个具体运动过程相对应。5功是标量没有方向，但有正、负之分。功的“正负”既不表示方向也不表示大小，表示的是动力做功还是阻力做功。6负功的理解：一个力对物体做负功时，我们可以说成物体克服这个力做了功(正值)。如摩擦力对滑块做了5 J的功，可以说成滑块克服摩擦力做了5 J的功。7对正负功意义的再认识意义动力学角度能量
9、角度正功力对物体做正功，这个力是动力，对物体的运动起推动作用力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加负功力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用力对物体做负功，物体对外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少8判断力是否做功及做功正负的方法(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角常用于恒力做功的情形。(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角常用于曲线运动的情形。若为锐角则做正功，若为直角则不做功，若为钝角则做负功。9计算总功的两种方法(1)先由WFlcos计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3，然后求所有力做功的代数和，即W合W1W2W3。(2)先由力的合
10、成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合F合lcos计算总功，此时为F合的方向与l的方向间的夹角。例1以一定的初速度竖直向上抛出一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功和物体所有外力的总功分别是()A00 BFhmghCFhmgh D2Fh2Fh(1)在上升阶段和下降阶段，阻力与位移的方向一致吗？做正功还是负功？提示：在上升阶段和下降阶段，空气阻力与位移的方向都相反，故阻力一直做负功。(2)在上升阶段和下降阶段，重力做功情况是怎样的？提示：在上升阶段重力与位移的方向相反，在下降阶段方向相同。重力先做负功再做正功。
11、规范解答(1)在上升阶段，小球竖直向上运动，空气阻力方向竖直向下，空气阻力对小球做功为Fh；下降阶段，小球竖直向下运动，空气阻力方向竖直向上，空气阻力对小球做功为Fh。整个过程中，空气阻力对小球做的功为2Fh。(2)在上升阶段，重力做负功mgh，在下降阶段，重力做正功mgh，整个过程重力的总功为零。(3)所有外力的总功就是重力和阻力的总功，为：2Fh02Fh，D正确。完美答案D(1)功只与三个因素F、l、有关，与其他任何因素都没关系。(2)当力F与位移l同向时，WFl；当力F与位移l反向时，WFl。(3)计算功时，一定要明确是哪个力在哪段过程对哪个物体做的功，三个物理量F、l、不能张冠李戴。(
12、4)计算总功，先把每一个过程中各力的功算出来，再求总功。(5)如果运动过程中力一直没有发生变化，(4)中求总功的方法仍适用，但更适合先求合力再求总功。(多选)质量为m的物体，静止在倾角为的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L，如图所示。物体相对斜面静止，则下列说法正确的是()A重力对物体做正功 B重力对物体做功为零C摩擦力对物体做负功 D支持力对物体做正功答案BCD解析物体的受力和位移方向如图所示。支持力FN与位移L的夹角90D这个力与物体运动方向的夹角90时，cos0，力对物体做负功，此力一定阻碍物体的运动，故A、C正确，B、D错误。2(功的正负、总功)(多选)一物体在两个力F1、F2
13、的共同作用下发生了一段位移，做功分别为W16 J、W26 J，下列说法正确的是()A这两个力一定大小相等、方向相反BF1是动力，F2是阻力C这两个力做的总功为0DF1比F2做的功多答案BC解析由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别小于90、大于90，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错误；F1做正功一定是动力，F2做负功一定是阻力，其做功一样多，两个力的总功等于这两个力所做功的代数和，故总功为0，B、C正确，D错误。3. (功的计算)如图所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成角的斜向下的推力F的作用下沿水平面移动了距离s。若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大
14、小为f，则在此过程中()A摩擦力做的功为fs B力F做的功为FscosC力F做的功为Fssin D重力做的功为mgs答案C解析物体与地面之间的摩擦力大小为f，物体的位移的大小为s，由功的公式可得摩擦力做的功为fs，所以A错误。力F与竖直方向成角，在水平方向的分力为Fsin，F做的功为Fssin，所以B错误、C正确。重力在竖直方向上，物体在竖直方向的位移是零，所以重力做的功为零，D错误。4(功率公式)关于功率，下列说法中正确的是 ()A根据P可知，机械做功越多，其功率就越大B根据PFv可知，汽车的牵引力一定与其速度成反比C根据P可知，只要知道时间t内所做的功，就可知任意时刻的功率D根据PFv可知
15、，发动机的功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比答案D解析由P可知，在时间t一定的情况下，机械做功越多，其功率就越大，A错误；根据PFv可知，在发动机的输出功率P一定的情况下，汽车的牵引力与其速度成反比，B错误、D正确；功W与一段运动过程相对应，故利用P计算出的是时间t内力对物体做功的平均功率，C错误。5. (瞬时功率)宇航员在地面进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直状态的过程中，宇航员所受重力的瞬时功率的变化情况是()A一直增大 B一直减小C先增大后减小 D先减小后增大答案C解析开始运动时，宇航员的速度为零，重力的瞬时功率为零。运动到最低点，宇航员的速度沿
16、水平方向，与重力垂直，重力的瞬时功率也为零，摆动过程中重力的瞬时功率不为零，即重力的瞬时功率先增大后减小，C正确。6(机车启动图像问题)(多选)在检测某款电动汽车性能的某次试验中，电动汽车由静止开始沿平直公路匀加速启动，当功率达到额定功率时保持功率不变，最终做匀速运动。设整个运动过程受到的阻力f不变，图中v、a、F、f和P分别表示电动汽车的速度大小、加速度大小、牵引力大小、阻力大小和功率大小，其中正确的是()答案ABC解析开始时电动汽车功率逐渐增加，PFvmav，故Pv图线为过原点的直线，后来功率恒定，A正确；电动汽车牵引力开始大小不变，然后逐渐减小，最后牵引力等于阻力，B正确；在vt图像中斜
17、率表示加速度，电动汽车开始时加速度不变，后来逐渐减小至零，C正确、D错误。7(功的计算)一物体放在水平地面上，如图甲所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化关系如图乙所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图丙所示。求：(1)06 s时间内物体的位移大小；(2)010 s时间内物体克服摩擦力所做的功。答案(1)6 m(2)30 J解析(1)由题图丙可知06 s时间内物体的位移为：s3 m6 m。(2)由题图丙可知，在68 s时间内，物体做匀速运动，受力平衡，于是有摩擦力fF32 N，其中F3为68 s时的拉力，010 s时间内物体的总位移为：s3 m15 m物体克服摩擦力所做的功：Wfs2
18、15 J30 J。8(平均功率、瞬时功率)如图所示，在光滑的水平面上有一质量为m10 kg的物体。在水平推力F120 N的作用下，从静止开始做匀加速直线运动。运动3 s后推力F的大小变为F210 N，方向不变。求：(1)推力F在3 s内对物体所做的功；(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率；(3)推力F在4 s时做功的瞬时功率。答案(1)180 J(2)60 W(3)70 W解析(1)设运动物体在前3 s内的加速度为a1，运动位移为x1，第3 s末的速度大小为vt，则有a1 m/s22 m/s2x1a1t2232 m9 m，vta1t23 m/s6 m/s所以推力F在3 s内对物体做的功W
19、1F1x1209 J180 J。(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率 W60 W。(3)3 s后物体的加速度a21 m/s24 s时物体的运动速度为vtvta2t26 m/s11 m/s7 m/s所以推力F在4 s时做功的瞬时功率PF2vt107 W70 W。9(机车启动问题)汽车发动机的额定功率为30 kW，质量为2000 kg，当汽车在水平路面上行驶时受到的阻力为车重的0.1倍。求(g取10 m/s2)：(1)汽车在路面上能达到的最大速度？(2)若汽车以额定功率启动，则速度为10 m/s时的加速度？(3)若汽车从静止开始保持1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则这一过程能持续多长时
20、间？答案(1)15 m/s(2)0.5 m/s2(3)7.5 s解析(1)汽车达到最大速度时，牵引力与阻力平衡，由此可得：P额Fvmfvm所以vm m/s15 m/s。(2)当速度v10 m/s时，则F1 N3103 N所以a1 m/s20.5 m/s2。(3)若汽车从静止做匀加速直线运动，则当PP额时，匀加速运动结束所以P额F2vt又因为F2fma2所以vt所以t s7.5 s。B组：等级性水平训练10(功的正负)如图所示，质量为m的物体置于倾角为的斜面体上，物体与斜面体间的动摩擦因数为，在外力作用下，斜面体以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m与斜面体相对静止。则关于斜面体对m
21、的支持力和摩擦力的做功情况，下列说法中错误的是()A支持力一定做正功 B摩擦力一定做正功C摩擦力可能不做功 D摩擦力可能做负功答案B解析支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功，而摩擦力是否存在需要讨论。若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度agtan，当agtan时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90，则做正功；当agtan时，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90，则做负功。综上所述，B错误，A、C、D正确。11(机车启动图像问题)一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数图像如图所示。若已知汽车的质量，
22、则根据图像所给的信息，不能求出的物理量是()A汽车的功率B汽车行驶的最大速度C汽车所受到的阻力D汽车运动到最大速度所需的时间答案D解析由FFfma，PFv可得：a，对应图线可知，k40，可求出汽车的功率P，由a0时，0.05，可得：vm20 m/s，再由vm，可求出汽车受到的阻力Ff，但无法求出汽车运动到最大速度的时间，故选D。12(功的计算)如图所示，水平的传送带以速度v6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L110 m，若在M轮的正上方，将一质量为m3 kg的物体轻放在传送带上(取g10 m/s2)。(1)已知物体与传送带之间的动摩擦因数0.3，在物体由M处传送到N处的过程中，传
23、送带对物体的摩擦力做了多少功？(2)问题(1)的条件不变，若将传送带速度调至v9 m/s，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？(3)若物体与传送带间的动摩擦因数0.1，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？答案(1)54 J(2)90 J(3)30 J解析(1)刚放上时，物体与传送带之间有相对滑动，物体运动的加速度为ag3 m/s2，当物体的速度增大到与传送带的速度相同时，摩擦力消失，滑动摩擦力的作用时间为t s2 s，在此时间内物体运动的位移Lat26 m10 m，由实际情况知道，真实作用距离为10 m。所以滑动摩擦力对物体做的功WFL1mgL190 J。(3)若0.1，则物体在传送带上的加速度a
24、g0.110 m/s21 m/s2，假如物体速度能增大到v6 m/s，则位移L m18 mL1，故物体从M到N一直加速，滑动摩擦力对物体做的功WFL1mgL10.131010 J30 J。13. (机车启动图像问题)一辆汽车质量为1103 kg，最大功率为2104 W，在水平路面上由静止开始做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定。发动机的最大牵引力为3103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系如图所示。试求：(1)根据图线ABC判断汽车做什么运动；(2)v2的大小；(3)整个运动过程中的最大加速度；(4)匀加速运动过程的最大速度是多大？匀加速运动过程用时多长？当汽车的速度为
25、10 m/s时发动机的功率是多大？答案(1)汽车先做匀加速直线运动，后做功率不变的加速直线运动(2)20 m/s(3)2 m/s2(4)6.67 m/s3.33 s2104 W解析(1)由图可知，在AB段汽车的牵引力不变，而水平方向的阻力恒定，根据牛顿第二定律可知，汽车做加速度不变的加速运动；在BC段汽车的牵引力减小，根据牛顿第二定律可知，汽车做加速度减小的加速运动，此过程中BC的斜率不变，所以FvP保持不变，以恒定的功率加速，直到速度达到最大。(2)当汽车的速度为v2时，牵引力为：F11103 Nv2 m/s20 m/s。(3)汽车做匀加速直线运动时的加速度最大，阻力为：FfF11000 N加速度为：a m/s22 m/s2。(4)与B点对应的速度即匀加速运动过程的最大速度：v1 m/s6.67 m/s故匀加速运动过程所用时间t3.33 s当汽车的速度为10 m/s时处于图线BC段，故此时的功率为最大功率：Pm2104 W。
