1、“三角”专题提能课专 题 提 能防止思维定式，实现“移花接木”提能点(一)失误1因忽视向量夹角范围而失误例 1 已知向量 a，b 均为非零向量，(a 2b)a，(b2a)b，则 a，b 的夹角为_解析 因为(a2b)a，(b2a)b，所以（a 2b）a0，（b2a）b0.所以a 22a b，b 22a b，即|a|b|，|a|22a b.设 a，b 的夹角为，则 cos a b|a|b|12，因为 0，所以 3，即 a，b 的夹角为3.答案 3点评 求解此类问题的关键是：根据向量的数量积定义，得到 cosa，ba b|a|b|.求解时，要注意两向量夹角的取值范围为0，失误2因不会变角求值而解题
2、受阻例 2(2019西安六校联考)设 为锐角，若 cos6 13，则 sin212 的值为_解析 因为 为锐角，所以6 6 b，所以 CB，所以 B6.(2)由余弦定理得，b2a2c22accos 6，又 c 3b，化简得 2b23aba20，解得 ab 或 a2b.因为 SABC12acsin 6 2 3，所以 ac8 3.即 ab8.联立，解得a4，b2或a2 2，b2 2.点评(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断提能点(二)灵活运用策略，尝试“借石攻玉
3、”策略1特取法：快解三角、向量的基本问题例 1 设 a，b，c 是单位向量，且 ab0，则(ac)(bc)的最小值为_解析 由已知条件可知向量 a，b 是互相垂直的单位向量，故构造 a(1，0)，b(0，1)又 c 是单位向量，故设 c(cos，sin)，(ac)(bc)(1cos，sin)(cos，1sin)cos cos2sin sin21 2sin4，当 4 2，即 4 时，(a c)(bc)取得最小值，为 1 2.答案 1 2 点评 本例已知条件中涉及单位向量，我们可以通过构造特殊的向量(cos，sin)，将向量数量积的最值问题转化为三角函数的最值问题，从而使得问题简化.策略2 换元法
4、：求解三角函数值域问题换元法又称变量替换法，是我们解题常用方法之一对结构较复杂的式子，可把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，可以化繁为简，化难为易本专题常用换元法解决最值问题例 2 设 a0，求 f(x)2a(sin xcos x)sin xcos x2a2的最大值和最小值解 设 sin xcos xt，则 t 2，2，由(sin xcos x)212sin xcos x，得 sin xcos xt212，所以 f(x)g(t)2att2122a212(t2a)212(a0)，t 2，2 当 t 2时，g(t)取最小值2a22 2a12；若 2a 2，当 t 2时，g(t)取最
5、大值2a22 2a12；若 02a 2，当 t2a 时，g(t)取最大值12.所以 f(x)的最小值为2a22 2a12，最大值为12，0a 22，2a22 2a12，a 22.点评 此题利用局部换元法，设 sin xcos xt 后，抓住 sin xcos x 与 sin xcos x 的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题换元过程中一定要注意参数的范围(t 2，2)与 sin xcos x 的范围对应，否则将会出错提能点(三)系统数学思想，实现“触类旁通”1数形结合思想解决与三角函数有关的方程根的问题例 1(2018深圳调研)已知关于 x 的方程 sin xco
6、s xm在0，有两个不等的实根，则 m 的取值范围是_解析sin xcos xm 在0，有两个不等的实根，则 2sinx4 m，在同一坐标系中分别作出 y 2sinx4，x0，和 ym的图象如图所示由图象可得，若关于 x 的方程 sin xcos xm 在0，有两个不等的实根，则 m 的取值范围为1，2)答案 1，2)点评 本例将方程根的个数转化为直线 ym 与函数 y 2sinx4 图象交点的个数解决2函数与方程思想解决已知三角函数值求值或求角问题例 2 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cos 2B3cos B10，且 a2c2acb2.(1)求边 b 的长；(2)
7、求ABC 周长的最大值解(1)cos 2B3cos B10，2cos2B3cos B20，解得 cos B12或 cos B2(舍去)，又 B(0，)，则 B3，由余弦定理得 b2a2c2ac，又 a2c2acb2，b2b20，解得 b2(b1，舍去)(2)由正弦定理得asin Acsin Cbsin B2sin 34 33，则a b c 4 33(sin A sin C)2 4 33sin Asin23 A 2 4 3332sin A 32 cos A 2 4sinA6 2，当 A3 时，周长取得最大值 6.点评 把解三角形与三角恒等变换、三角函数的性质综合起来进行考查是高考命题的主要方向，
8、其基本解题思路是使用正、余弦定理，三角恒等变换等把求解目标化为关于三角形中某个内角的三角函数，通过研究该三角函数的性质得出结论提能点(四)强化一题多法，激活“解题思维”平面向量数量积最值问题的求法 典例 在半径为 1 的扇形 AOB 中，AOB60，C 为弧上的动点，AB 与 OC 交于点 P，则 OP BP的最小值是_解析 法一(坐标法)：以直线 OB 为 x 轴，过点 A 且垂直于OB 的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A0，32，O12，0，B12，0，可得直线 AB 的方程为 2x2 33 y1，设P x，32（12x），则 OP x12，32（12x），BP x12
9、，32（12x），所以OPBP4x23x124x382 116，当 x38时，OPBP取最小值是 116.法二(基向量法)：OP OB BP，|BP|x，x0，1，则 OP BP(OB BP)BPx2x2，所以当 x14时，OP BP取得最小值是 116.法三(极化恒等式)：如图，取OB的中点D，连结PD，则 OP BP(DP DO)(DP DB)(DP DO)(DP DO)DP 2 DO 2DP214DP214，即求PD的最小值 由图可知，当PDAB时，PD取得最小值为 34，所以 OP BP的最小值是 116.答案 116点评 平面向量数量积的核心是将向量问题代数化，定义法、坐标法都是将其代数化，但极化恒等式可以更快实现代数化，尤其是在出现三角形中点的条件下
