1、第十二章 随机变量及其分布 综合检测一、选择题（第小题5分，共40分）1的分布列为，则( )A. B. C. D. 答案:C2，则( )A. 45 B. 50 C. 55 D. 60答案:D3事件A在一次试验中发生的次数的方差的最大值为( )A. 1 B. C. D. 2答案:C4设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是 A B C D答案:D 5某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（）01230.10.1A.0.2；B.0.2；C.0.1；D.0.1答案：B6(2011广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）随机变量的概率分布规律为P(n)(n1，2
2、，3，4)，其中a是常数，则P()的值为 ABCD答案：B7如图， A, B, C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9 , 0.8 , 0.7 , 如果系统中至少有1个开关能正常工作, 那么该系统正常工作的概率是( )A 0.994 B0.504 C0.496 D0.06答案:A8A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，为比赛需要的场数，则( )A. B. C. D. 答案;B二、填空题（第小题5分，共30分，其中1315是选做题，选做两题）9甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲、乙命中的概率分别为
3、和，若命中目标的人数为，则 。答案: 10设是离散型随机变量，=2+3，则有 E= ，D= 答案: 2E+3, 4D11某人参加一次考试，道题中解对道则为及格，已知他的解题正确率为，则他能及格的概率为 答案: 0.812在某一试验中事件A出现的概率为，则在次试验中出现次的概率为 答案: 13(选做题) A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，为比赛需要的场数，则 。答案: 14(选做题) 同时掷两枚骰子，它们各面分别刻有：，若为掷得点数之积，求 。答案: 解析:投两个骰子共有36种可能，即 121223331223331
4、22333244666244666366999366999366999的分布列为123469 15(选做题) 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若表示取到次品的个数，则D= 答案: 三、解答题（共80分）16. （本题满分13分） 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是（）求小球落入袋中的概率；（）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望解：（）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则
5、事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，从而；6分（）显然，随机变量，故，13分17. （本题满分13分）(新华网)反兴奋剂的大敌、服药者的宠儿HGH(人体生长激素)，有望在2012年伦敦奥运会上首次“伏法”。据悉，国际体育界研究近10年仍不见显著成效的HGH检测，日前已取得新的进展，新生产的检测设备有希望在北京奥运会上使用.若组委会计划对参加某项比赛的12名运动员的血样进行突击检查，采用如下化验方法：将所有待检运动员分成若干小组，每组m个人，再把每个人的血样分成两份，化验时将每个小组内的m个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组
6、的m个人只需化验这一次就算检验合格；如果结果中含有HGH成分，那么需要对该组进行再次检验，即需要把这m个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这m个人一共需要进行m1次化验.假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为 当m3时，求：(1)一个小组只需经过一次检验就合格的概率；(2)至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率(精确到0.01.参考数据：0.27130.020,0.27140.005,0.72920.500)解：（1）一个小组经过一次检验就合格，则必有此三人的血样中都不含HGH成分所求概率为P（1）30.729 6分（2）依据题意，至少有两个小组只
7、需经过一次检验就合格的概率 13分18. （本题满分13分） 在2012年春运期间，一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择，即坐火车或汽车。已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到。若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票。 （I）求这名大学生先去买火车票的概率； （II）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为的期望值。解：（I）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），则由条件可知即先去买火车票的概率为0.75.4分 （II）解：该大学生首先到火车站且买到火车票的概
8、率为6分该大学生买汽车票的概率为8分设该大学生购买车票所花费钱数为，可得的分布列如下：120280P0.450.55该大学生购买车票所花费钱数的期望值为13分 19. （本题满分14分）某社区举办奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运吉祥物”或“奥运会徽”，要求4人中一组参加游戏，参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运吉祥物” 卡才能得到奖并终止游戏。（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥
9、运会徽” 卡的概率为，请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取。用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望。解：（1）设盒子中有“会徽卡”n张，依题意有，解得n=3即盒中有“会徽卡”3张。4分（2）因为表示某人一次抽得2张“吉祥物卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4，4分；，概率分布表为：1234P10分的数学期望为。14分20. （本题满分14分）一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖 （）试用表示一次摸奖中奖的概率； （
10、）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； （）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为当取多少时，最大？（）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，2分一次摸奖中奖的概率4分（）若，一次摸奖中奖的概率,6分三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是 8分（）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为， 12分，知在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值又,解得14分答：当时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大【方法探究】本题是一个在等可能性事件基础上的独立重复试验问题，体现了
11、不同概型的综合第小题中的函数是三次函数，运用了导数求三次函数的最值如果学生直接用代替，函数将比较烦琐，这时需要运用换元的方法，将看成一个整体，再求最值21. （本题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。（）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（）假设两人连续两次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？思路分析：本题是一道概率综合运用问题，第一问中求“至少有一次末击中问题”可从反面求其概率问题
12、；第二问中先求出甲恰有两次末击中目标的概率，乙恰有3次末击中目标的概率，再利用独立事件发生的概率公式求解.第三问设出相关事件，利用独立事件发生的概率公式求解，并注意利用对立、互斥事件发生的概率公式.解: （）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=1- P（）=1-=。答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为；4分 () 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则，由于甲、乙射击相互独立，故。答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为；8分（）记“乙恰
13、好射击5次后，被中止射击”为事件A3， “乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则A3=D5D4，且P（Di）=，由于各事件相互独立，故P（A3）= P（D5）P（D4）P（）=（1-）=， 答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是。12分或者：分类处理1. 前三次都击中目标，第四、五次连续两次都未击中目标2. 第一次未击中目标，第二、三次击中，3. 第一次击中，第二次未击中，第三次击中，点评：本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.备选取1.甲、乙两人破译一种密码，它们能破译的概率分别为和，求：（1）恰有一人
14、能破译的概率；（2）至多有一人破译的概率；（3）若要破译出的概率为不小于，至少需要多少甲这样的人？（1）设A为“甲能译出”，B为“乙能译出”，则A、B互相独立，从而A与、与B、与均相互独立.“恰有一人能译出”为事件，又与互斥，则（2）“至多一人能译出”的事件，且、互斥，（3）设至少需要n个甲这样的人，而n个甲这样的人译不出的概率为，n个甲这样的人能译出的概率为，由至少需4个甲这样的人才能满足题意.2. 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线每连对一个得3分，连错得分，一名观众随意连线，他的得分记作(1)求该观众得分为非负的概率；(2)求的分布列及数学期望 解: (1)的可能取值为 3分，7分该同学得分非负的概率为8分(2) 10分的分布列为: 12分数学期望14分3.已知随机变量的概率分布列为分别求出随机变量=2的分布列.0149 P解析：由于=2对于的不同取值-2，2及-1，1，分别取相同的值4与1，即取4这个值的概率为取-2与2值的概率与合并的结果，取1这个值的概率为取-1与1值的概率与合并的结果，故的分布列为点评：在得到的分布列中，的取值行中无重复数，概率行中各项必须非负，且各项之和一定等于1.