1、第21练三角函数的图象与性质内容精要三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换等，需要熟练快速准确地加以解决题型一三角函数的图象例1(2013四川)函数f(x)2sin(x)(0，0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值破题切入点(1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一角一函数名”的形式，然后根据“yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”确定该函数的周期，代入周期
2、公式即可求出的值；(2)先根据(1)确定函数解析式，然后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值解(1)f(x)sin2xsin xcos xsin 2xcos 2xsin 2xsin.依题意知4，0，所以1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.所以1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.题型三三角函数图象的变换例3已知函数f(x)sin(x)，其中0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m_.破题切入点由相邻两对称轴间距离得出周
3、期进而求出，再由平移后为偶函数得出m的最小值答案解析依题意，可得，又T，故3，所以f(x)sin(3x)函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)sin3(xm)g(x)是偶函数当且仅当3mk(kZ)，即m(kZ)，从而最小正实数m.总结提高(1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：最值定A：即根据给定函数图象确定函数的最值即可确定A的值周期定：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式T求解.最值点定：即根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解的取值，注意利用中心点求解时，要验证该点所在的单调区间以确定，否则会产生增解(2)三角函数的简单性质主
4、要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|而不是，单调性要将x的系数化成正的本部分题目注意要将x当作一个整体(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把x写成(x)最后确定平移的单位和方向伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分1已知函数yAsin(x)k的最大值为4，
5、最小值为0，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sin(4x)By2sin(2x)2Cy2sin(4x)2Dy2sin(4x)2答案D解析由题意得解得又函数yAsin(x)k的最小正周期为，所以4，所以y2sin(4x)2.又直线x是函数图象的一条对称轴，所以4 k(kZ)，所以k(kZ)，故可得y2sin(4x)2符合条件，所以选D.2已知函数f(x)sin2xsin xcos x，xR，又f()，f()，若|的最小值为，则正数的值为()A. B. C. D.答案B解析f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，又由f()，f()
6、，且|的最小值为可知T3，于是.3函数f(x)Asin(x)(其中A0，|)的图象如图所示，为了得到g(x)sin 3x的图象，则只要将f(x)的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案B解析由题意，得函数f(x)的周期T4，3，所以sin1，又|0，|0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x0，则f(x)的取值范围是_答案，3解析f(x)和g(x)的对称轴完全相同，二者的周期相同，即2，f(x)3sin(2x)x0，2x，sin(2x)，1，f(x)，38(2014北京)设函数f(x)Asin(x)(A，是常数，A0，0)
7、若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)在上具有单调性，T.ff，f(x)的一条对称轴为x.又ff，f(x)的一个对称中心的横坐标为.T，T.9函数f(x)sin(xR)的图象为C，以下结论正确的是_(写出所有正确结论的编号)图象C关于直线x对称；图象C关于点对称；函数f(x)在区间内是增函数；由ysin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.答案解析当x时，fsinsinsin 1，为最小值，所以图象C关于直线x对称，所以正确；当x时，fsinsin 0，图象C关于点对称，所以正确；当x时，2x，此时函数单调递增，所以正确；ysin 2x的图象
8、向右平移个单位长度，得到ysin 2sin，所以错误，所以正确的是.10已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)，直线xx1，xx2是yf(x)图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，若关于x的方程g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围解(1)f(x)sin 2xsin 2xcos 2xsin，由题意知，最小正周期T2，T，所以2，所以f(x)sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到
9、ysin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到ysin的图象所以g(x)sin.令2xt，0x，t.g(x)k0在区间上有且只有一个实数解，即函数g(x)sin t与yk在区间上有且只有一个交点如图，由正弦函数的图象可知k或k1.所以0，0)，g(x)tan x，它们的最小正周期之积为22，f(x)的最大值为2g()(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)f2(x)2cos2x.当xa，)时，h(x)有最小值为3，求a的值解(1)由题意，得22，所以1.又A2g()2tan 2tan 2，所以f(x)2sin(x)令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)故f(x)的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)因为h(x)f2(x)2cos2x4sin2(x)2cos2x3(sin xcos x)22cos2x33sin 2x(cos 2x1)32sin(2x)，又h(x)有最小值为3，所以有32sin(2x)3，即sin(2x).因为xa，)，所以2x2a，)，所以2a，即a.