1、 平面向量小 题 考 法 平面向量的概念 及线性运算 考点(一)主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.题组练透1设 D，E 分别是ABC 的边 AB，BC 上的点，AD12AB，BE23BC，若 DE1 AB2 AC(1，2 为实数)，则 12 的值为_解析：如图，DEBEBD23BC12BA23(ACAB)12AB1223 AB23AC.又DE1AB2AC，且AB与AC不共线 所以 11223，223，所以 1212.答案：122(2019无锡期末)在四边形ABCD中，已知AB a2b，BC4ab，CD5a 3b，其中a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是_
2、解析：AD AB BC CDa 2b4a b5a3b8a2b2(4ab)，所以AD2BC，即ADBC，且AD2BC，所以四边形ABCD是梯形答案：梯形3(2018南京考前模拟)在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，AB2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端点)，若 AC AM AN，则 1 3 的最小值为_解析：以A为坐标原点，AB为x轴建立直角坐标系如图所示，设B(2，0)，C(1，t)，M12，t，N(x0，y0)，因为N在线段BC上，所以y0t12(x02)，即y0t(2x0)，因为 AC AM AN，所以112x0，tty0，即tty0tt(2x0)，因为t0，所以
3、1(2x0)2x02 112，所以344，这里，均为正数，所以413(34)13 3124 9 152 3627，所以 1 3274，当且仅当4 9，即49，23时取等号所以 1 3的最小值为274.答案：274方法技巧 向量线性运算问题的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则(2)用几个基本向量表示某个向量的基本思路：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果(3)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通
4、过建立方程组即可求得相关参数的值考点(二)平面向量的数量积 主要考查数量积的运算、夹角以及模的计算问题或求参数的值.题组练透 1已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量若 3e1e2 与 e1e2的夹角为 60，则实数 的值是_解析：因为（3e1e2）（e1e2）|3e1e2|e1e2|32 12，故32 1212，解得 33.答案：332(2019江苏高考)如图，在ABC 中，D是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE2EA，AD 与 CE 交 于 点 O.若 AB AC 6 AO EC，则ABAC的值是_解析：法一：如图，过点D作DFCE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点又
5、BE2EA，则知EFEA，从而可得AOOD，则有AO12 AD14(AB AC)，EC AC AE AC13 AB，所以6 AO EC 32(AB AC)AC13 AB 32 AC 2 12 AB 2AB AC AB AC，整理可得 AB23 AC2，所以ABAC 3.法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示 设E(1，0)，C(a，b)，则B(3，0)，Da32，b2.lAD：y ba3x，lCE：y ba1（x1）Oa34，b4.AB AC6 AO EC，(3，0)(a，b)6a34，b4(a1，b)，即3a6（a3）（a1）4b24，a2b23，AC 3.A
6、BAC 33 3.答案：33(2019南京盐城二模)已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(PB PC)AD 4 2.若AD 2，则 PB PC的值为_解析：法一：由AD为RtABC的斜边BC上的高，得 PD DC PD DB0，因为(PB PC)AD4 2，所以(2 PDDB DC)AD4 2，即 PD AD2 2，即|PD|AD|cos 022，所以|PD|2，所以 PB PC(PD DB)(PD DC)PD2 DB DC PD 2|DB|DC|cos PD2|DB|DC|PD2|DA|2422.法二：因为ADBC于D，所以以D为坐标原点，BC所在直线为x
7、轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系xDy，设B(m，0)，C(n，0)，P(0，t)，则 PB(m，t)，PC(n，t)，因为AD 2，所以A(0，2)，所以 AD(0，2)由(PBPC)AD4 2，得t2，又 AB AC0，所以mn2，所以 PB PCmnt2242.答案：24(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面四边形ABCD中，已知AB1，BC4，CD2，DA3，则 AC BD的值为_解析：法一：因为 AB BC CD DA0，则 ABBC CD DA，平方得 AB 2 BC 2 CD 22(AB BC BC CD CD AB)(DA)2 DA2，即 AB B
8、C BC CD CD AB6，则 AC BD(AB BC)(BC CD)AB BC BC CD CD AB BC261610.法二：如图，取AC中点O，连结BO，DO.所以 AC BD AC(BO OD)AC BO AC OD12(BC BA)(BC BA)12(DC DA)(DC DA)12(BC2 BA2DC2 DA2)12(16149)10.答案：10方法技巧 平面向量数量积相关问题的求解策略(1)夹角和模的问题的处理方法，一是转为基底向量结合数量积的定义进行运算；二是建立坐标系用坐标公式求解(2)平面向量的数量积可以用定义结合基底向量求解，也可以建立坐标系用坐标公式求解(3)对于极化恒
9、等式：a bab22a b22.在ABC 中，若 M 是 BC 的中点，则 AB AC AM2 MC2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积从而避开求向量的夹角.平面向量的综合问题 考点(三)主要考查与平面向量数量积有关的最值(范围)问题或参数求值问题.典例感悟 典例(1)已知向量 a，b 满足|a|2，|b|1，且对于一切实数 x，|axb|a b|恒成立，则 a 与 b 的夹角大小为_(2)(2018苏州期末)如图，ABC 为等腰三角形，BAC120，ABAC4，以 A 为圆心，1 为半径的圆分别交 AB，AC于点 E，F，点 P 是劣弧EF 上的一动点，则PBPC的取值范围是_解析（
10、1）法一：将|axb|a b|两边平方可得：22xa bx222a b1，即 x22a bx2a b10 对于 xR 恒成立，4(a b)28a b40，即 4(a b1)20，所以 a b1，即 cos 12 22，所以 a，b 夹角为34.法二：如图，令 OAa，APxb(P 为直线 l 上任意一点)，则 OPa xb，所以|axb|OP 的最小值即 O 到直线 l 的距离OH，即 OH|a b|，即 OHab，所以 b AH.在直角三角形 OHA 中，AH1，OA 2，cosHOA 22，即HOA4，所以 a，b 夹角为34.（2）法一(几何法)：如图，取 BC 的中点M，连结 PM，P
11、B PC(PM MC)(PM MC)PM2 MC2.因为 MC 为定值，所以 PB PC的变化可由PM 的变化确定 易得 AM2，MC2 3.当 P 为劣弧EF 与 AM 的交点时，PM 取最小值 AM11；PM 的最大值为 EMFM 3.所以 PM2MC2 的取值范围是11，9，即 PB PC11，9 法二(坐标法)：以 A 为坐标原点，垂直于 BC 的直线为 x轴建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则 B(2，2 3)，C(2，2 3)，设 P(cos，sin)，其中 3，3.所以PBPC(2cos，sin 2 3)(2cos，2 3sin)(cos 2)2sin21274cos.因为
12、cos 12，1，所以PBPC11，9 答案(1)34 (2)11，9方法技巧 平面向量有关最值(范围)问题求解的 2 种思路形化即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断数化即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 演练冲关 1已知|OA|OB|2，且 OA OB1.若点 C 满足|OACB|1，则|OC|的取值范围是_解析：如图，以 OA，OB 为邻边作平行四边形OADB，则 OD OA OB，因为|OA|OB|2，OA OB1，所以|OD|
13、OA OB|（OA OB）2OA2 OB22 OA OB 6，由|OA CB|1 得|OA CB|OA OB OC|OD OC|CD|1，所以点 C 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上，而|OC|表示点 C 到点 O 的距离，从而|OD|1|OC|OD|1，即 61|OC|61，即|OC|的取值范围是 61，61 答案：61，612(2019苏州期末)如图，在边长为 2 的正方形ABCD 中，M，N 分别是边 BC，CD 上的动点，且 BMDNMN，则 AM AN的最小值是_解析：法一：由题意，以 A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点 M(2，m)，N(n，2)，其中0m2，0n2
14、，则向量 AM(2，m)，AN(n，2)，所以 AM AN(2，m)(n，2)2n2m.由 BMDNMN，知 mn（m2）2（2n）2，整理得2(mn)mn40，又由 02(mn)mn42(mn)mn224，得 mn4 24，当且仅当 mn2 22 时等号成立，所以 AM AN的最小值是 8 28.法二：设 BMm(0m2)，DNn(0n2)，则 MC2m，NC2n，由 MN2MC2NC2，得(mn)2(2m)2(2n)2，整理得 2(mn)mn40.AM AN(AB BM)(AD DN)2m2n.由 02(mn)mn42(mn)mn224，得 mn4 24，当且仅当 mn2 22 时等号成立
15、，所以 AM AN的最小值是 8 28.答案：8 283如图，在同一平面内，点 A 位于两平行直线m，n 的同侧，且 A 到 m，n 的距离分别为 1，3.点 B，C 分别在 m，n 上，|AB AC|5，则 AB AC的最大值是_解析：设 P 为 BC 的中点，则 AB AC2 AP，从而由|ABAC|5 得|AP|52，又 AB AC(AP PB)(AP PC)AP2 PB2254 PB2，因为|BC|2，所以 PB21，故AB AC254 1214，当且仅当|BC|2 时等号成立 答案：214必备知能自主补缺 (一)主干知识要记牢1平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a(x1，y1)，
16、b(x2，y2)，则(1)a ba b(b0)x1y2x2y10.(2)a ba b0 x1x2y1y20.2平面向量的性质(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（x2x1）2（y2y1）2.(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos a b|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.(4)|a b|a|b|.(二)二级结论要用好1三点共线的判定(1)A，B，C 三点共线 AB，AC共线(2)向量 PA，PB，PC中三终点 A，B，C 共线存在实数，使得 PA PB PC，且 1.针对
17、练 在ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BE 与 AC相交于点 F，若 EFm ABn AD(m，nR)，则mn _解析：如图，AD2 AE，EFm ABn AD，AF AE EFm AB(2n1)AE，F，E，B三点共线，m2n11，mn2.答案：22中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标为x1x22，y1y22.(2)三角形的重心坐标公式：设ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心坐标是Gx1x2x33，y1y2y33.3三角形“四心”向量形式的充要条件设O为ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|OA|OB|OC|a2sin A.(2)O为ABC的重心 OA OB OC0.(3)O为ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA.(4)O为ABC的内心a OAb OBc OC0.4极化恒等式a bab22ab22提醒 极化恒等式的使用是最近考查的热点，要有将平面向量数量积用此工具转化的基本意识