1、北京市一零一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 直线的倾斜角的度数是（ ）A. 30 B. 45 C. 60 D. 903. 点（0，1）到直线距离的最大值为（ ）A. 1 B. C. D. 24. 直线与互相垂直，则实数a的值为（ ）A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 以上都不对5. 已知向量a=（1，x，-2），
2、b=（0，l，2），c=（1，0，0），若a，b，c共面，则x等于（ ）A. -1 B. l C. 1或-1 D. 1或06. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个8. 设复数z满足|z-1-i|=，则|z|的最大值为（ ）A. B. 2 C. 2 D. 49. 通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角。已知，则l1，l2夹角的余弦值是（
3、）A. B. C. D. 10. 已知，是不同的两点，点C（cos，sin），且=，=，则直线AB与圆的位置关系是（ ）A. 相离 B. 相切C. 相交 D. 以上三种情况都有可能二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11. 复数z=，则|z|=_。12. 已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），则顶点D的坐标为_。13. 已知圆C：与直线，则圆心C的坐标为_，若圆C关于直线l对称，则k=_。14. 直线与圆相交于A，B两点，当AOB的面积达到最大时，k=_。15. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的
4、一个动点，且APD1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H-AC-P的余弦值的取值范围是_。三、解答题共5小题，共45分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16. （本小题8分）已知复数（i是虚数单位）。（1）求；（2）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求。17. （本小题8分）已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点。（1）求圆C的方程；（2）若圆C与圆有公共点，求r的取值范围。18. （本小题10分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形。BCAD，ADC=90，BC=CD=AD=1，E为线段AD的中点。PE底面ABCD，且PE=，点F是棱PC的
5、中点，平面BEF与校PD相交于点G。（1）求证：BEFG；（2）求直线PB与平面BEF所成角的正弦值；（3）设H为PB中点，DH平面BEF=M，求BM的长。19. （本小题10分）已知圆M：，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值；（3）若|AB|=，求直线MQ的方程。20. （本小题9分）已知集合Rn=（x1，x2，xn）|xiR，i=1，2. ，n（n1），定义Rn上两点A（a1，a2，an），B（b1，b2，bn）的距离d（A，B）=。（1）当时，以下命题正确的有_（不需证明）；若A（1，2），
6、B（4，6），则d（A，B）=7；在ABC中，若C=90，则d（A，C）2+d（C，B）2=d（A，B）2；在ABC中，若d（A，B）=d（A，C），则B=C；（2）当n=2时，证明R2中任意三点A，B，C之间的距离满足d（A，B）d（A，C）+d（C，B）；（3）当n=3时，设A（0，0，0），B（4，4，4），P（x，y，z），其中x，y，zZ，d（A，P）+d（P，B）=d（A，B）。求满足条件的P点的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或以它们为顶点的三棱锥体积不大于。参考答案1. D2. A3. D4. C5. A6. A7. B设长方体的棱长为a，建立
7、空间直角坐标系，如图所示。则D（0，0，0），D1（0，0，a），C1（0，a，a），C（0，a，0），B（a，a，0），B1（a，a，a），A（a，0，0），A1（a，0，a），P（a，a，a），则，故有4个不同的取值，答案为B。8. C9. A10. C11. 1。12. （5，13，-3）。提示：AC的中点坐标为（，）。因为AC的中点同时为BD的中点，所以D的坐标为（，即（5，13，-3）。13. （1，2）；1。14. 。15. ，。16. （1）因为z=1-i，所以。（2）因为，所以。17. （1）因为圆C的圆心在y轴上，所以设圆C的方程为。因为圆C过（0，0），（0，2）两点，所以
8、解得所以圆C的方程是。（2）r的取值范围为-1，+118. （1）因为E为AD中点，所以DE=AD=1。又因为BC=1，所以DE=BC。在梯形ABCD中，DEBC，所以四边形BCDE为平行四边形。所以BECD。又因为BE平面PCD，且CD平面PCD，所以BE平面PCD。因为BE平面BEF，平面BEF平面PCD=FG，所以BEFG。（2）因为PE平面ABCD，且AE，BE平面ABCD，所以PEAE，且PEBE。因为四边形BCDE为平行四边形，ADC=90，所以AEBE。以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E-xyz。则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），D
9、（-1，0，0）。设P（0，0，），。所以=（0，1，0），=（），=（0，1，）。设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则即令x=，则z=1，所以n=（，0，1）。所以。所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为。（3），所以，因为M线段DH，所以存在0，1，=，所以=（，），所以=+=（-1，-1，）因为M平面BEF所以n=0，所以=，|BM|=19. （1）设过点Q的圆M的切线方程为，则圆心M到切线的距离为1，所以，所以或0，所以QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。（2）因为MAAQ，所以SMAQB=|MA|QA|=|QA|=。所以四边形QAMB面积的最小值为。（3）设
10、AB与MQ交于P，则MPAB，MBBQ，所以|MP|=。在RtMBQ中，|MB|2=|MP|MQ|，即1=|MQ|，所以|MQ|=，所以。设Q（x，0），则，所以，所以，所以MQ的方程为或。20. （1）。d（A，B）=|a1-b1|+|a2-b2|=|a1-c1+c1-b1|+|a2-c2+c2-b2|（2）|a1-c1|+|c1-b1|+|a2-c2|+|c2-b2|=|a1-c1|+|a2-c2|+|c1-b1|+|c2-b2|=d（A，C）+d（C，B）（3）首先确定满足条件的点P有125个，即n=125，它们分布在444的正方体格点上。下证从这125个点中任取11个点，必有4个点共面或构成的三棱锥体积不大于。记选出的11个点为P1，P2，P11。若其中有4个点共面则得证；否则，记Si=（x，y，i-1）|0x4，0y4，x，yZ，i=1，2，3，4，5，则kl，2，3，4，5使得这11个点中的3个点（不妨记作P1，P2，P3）属于Sk（抽屉原理），此时8。当k=1时，若P4S2，则，得证；否则，P4，P11这8个点分布在S3，S4，S5中，可以证明S3或S5中含有这8个点中的3个点（不妨记作P4，P5，P6）且P7S4，则。k=5时同理可证。当k=2，3，4时，仿照上面的证明过程易证。