1、穿插滚动练(三)1已知集合Ax|log2x1，Bx|0x0若ABB，则c的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,2 D2，)答案D解析Ax|0x2，由ABB，得AB.所以c2，故选D.2设函数f(x)若f(a)a，则实数a的值为()A1 B1C2或1 D1或2答案B解析当a0时，f(a)a1a，a2，不合题意，舍去；当a0时，f(a)a，a1(a1舍去)，故选B.3某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售400 台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy
2、502x Dy100log2x100答案C解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型4在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当a2时，yxf(x)0，f(x)0，yf(x)在(2，)上单调递增；同理，f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，yf(x)的极大值为f(2)，极小值为f(2)，故选C.8设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则yf(x)的图象可能是()答案B解析由于f(x)f(x)，所以函数yf(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A、C错误；由于f(x2)f(x)，所以T2是函数yf(x)
3、的一个周期，D错误所以选B.9若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9答案D解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.10若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()Aa B0a1C1a D0a1或a答案D解析先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图此时可行域为AOB及其内部，交点B为(，)，故当xya过点B时，a，所以a时可行域仍为AOB，当xya恰过A点时，a101，且当0a1时可行
4、域也为三角形故0a1或a.11已知集合Ax|2x8，xR，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析Ax|2x8，xRx|1x3，即m2.12数列1，的前100项的和等于_答案解析S10011234139.13命题“xR,2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围是_答案2，2 解析“xR,2x23ax90，q0)，且满足pq6时，求ABC面积的最大值解(1)mn，3cos2Asin2A0.3cos2A1cos2A0，cos2A.又ABC为锐角三角形，cos A，A.(2)由(1)可得m(，)，n(1，)|p，|q.SABC|sin
5、 Apq.又pq6，且p0，q0，.3，00.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立注：e为自然对数的底数解(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立只要解得ae.18已知数列an，其前n项和为Sn，点(n，Sn)在以F(0，)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列bn满足bn2an.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn
6、的前n项和Tn.解(1)因为以F(0，)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为x2y，又点(n，Sn)在抛物线上，所以Snn2.当n2时，Sn1(n1)2，两式相减，得SnSn1ann2(n1)22n1.当n1时，a1S11，满足上式所以数列an的通项公式为an2n1(nN*)故bn2an22n1(nN*)(2)由(1)，知cn(2n1)22n1，所以Tn121323525(2n1)22n1，则4Tn123325527(2n1)22n1，得3Tn21223225222n1(2n1)22n1(2n1)22n1(4n2)4n，所以Tn(nN*)19(2013广东)设数列an的前n项和为Sn，已知a1
7、1，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2，所以数列an的通项公式为ann2，nN*.(3)证明111，所以对一切正整数n，有.20已知数列an中，a11，a23，且an1an2an1(n2)(1)设bnan1a
8、n，是否存在实数，使数列bn为等比数列？且公比小于0.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；(2)在(1)的条件下，求数列an的前n项和Sn.解(1)假设存在实数，使数列bn为等比数列，设q(n2)，即an1anq(anan1)，得an1(q)anqan1.与已知an1an2an1比较，令解得(舍)或所以存在实数，使数列bn为等比数列(2)由(1)知当2时，q1，b11，则数列bn是首项为1，公比为1的等比数列bn(1)n1.an12an(1)n1(n1)，所以()n1(n1)，当n2时，()()()()2()3()n1()n1因为也适合上式，所以1()n1(n1)所以an2n1(1)n则S
9、n(2223242n1)(1)1(1)2(1)3(1)n(2n24)21(2014四川)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围解(1)由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减
10、，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减，则g(x
11、)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当a时，g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当a0，g(1)e2ab0.由f(1)0有abe10，g(1)e2ab1a0，解得e2a1.当e2a1时，g(x)在区间0,1内有最小值g(ln(2a)若g(ln(2a)0，则g(x)0(x0,1)，从而f(x)在区间0,1上单调递增，这与f(0)f(1)0矛盾，所以g(ln(2a)0，g(1)1a0，故此时g(x)在(0，ln(2a)和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在0，x1上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在x2,1上单调递增，所以f(x1)f(0)0，f(x2)f(1)0，故f(x)在(x1，x2)内有零点综上可知，a的取值范围是(e2,1)