1、第23练基本量破解等差、等比数列的法宝内容精要数列在中学教材中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点而作为数列中两个最基本的数列等差数列和等比数列又有着很重要的地位，本节从两个数列的基本量来研究这两个数列题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列an的前5项和为105，且a102a5.(1)求数列an的通项公式；(2)对任意mN*，将数列an中不大于72m的项的个数记为bm.求数列bm的前m项和Sm.破题切入点(1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法解(1)设数列an的公差为d，前n项和为T
2、n，由T5105，a102a5，得解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)对mN*，若an7n72m，则n72m1.因此bm72m1.所以数列bm是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm.题型二等差、等比数列的性质及应用例2(1)已知正数组成的等差数列an，前20项和为100，则a7a14的最大值是()A25 B50 C100 D不存在(2)在等差数列an中，a12 013，其前n项和为Sn，若2，则S2 013的值为()A2 011 B2 012 C2 010 D2 013破题切入点(1)根据等差数列的性质，a7a14a1a20，S20可求出a7a14，然后利
3、用基本不等式(2)等差数列an中，Sn是其前n项和，则也成等差数列答案(1)A(2)D解析(1)S2020100，a1a2010.a1a20a7a14，a7a1410.an0，a7a14225.当且仅当a7a14时取等号故a7a14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项a12 013，公差d1，故2 013(2 0131)11，所以S2 0132 013.题型三等差、等比数列的综合应用例3已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn3(an1)，其中nN*.(1)证明：数列an为等比数列；(2)设数列bn满足bnlog3an，若cnanbn，求数列
4、cn的前n项和破题切入点(1)利用anSnSn1求出an与an1之间的关系，进而用定义证明数列an为等比数列(2)由(1)的结论得出数列bn的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和(1)证明由题意得anSnSn1(anan1)(n2)，an3an1，3(n2)，又S1(a11)a1，解得a13，数列an是首项为3，公比为3的等比数列(2)解由(1)得an3n，则bnlog3anlog33nn，cnanbnn3n，设Tn131232333(n1)3n1n3n，3Tn132233334(n1)3nn3n1.2Tn3132333nn3n1n3n1，Tn.总结提高(1)关于等差、等比数列的基
5、本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a10，利用等比数列求和时注意公比q是否为1.1已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110 B90C90 D110答案D解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S1010
6、20109(2)110.2(2014课标全国)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于()An(n1) Bn(n1)C. D.答案A解析由a2，a4，a8成等比数列，得aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，a12.Sn2n22nn2nn(n1)3等比数列an的前n项和为Sn，若2S4S5S6，则数列an的公比q的值为()A2或1 B1或2C2 D1答案C解析方法一若q1，则S44a1，S55a1，S66a1，显然不满足2S4S5S6，故A、D错若q1，则S4S60，S5a50，不满足条件，故B错，因此选C.方法二经检验q1不适合，则由2S4S5
7、S6，得2(1q4)1q51q6，化简得q2q20，解得q1(舍去)，q2.4(2014大纲全国)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D3答案C解析数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.5(2014大纲全国)设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6等于()A31 B32 C63 D64答案C解析在等比数列an中，S2、S4S2、S6S4也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)，解得S663.6已知两个
8、等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3 C4 D5答案D解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得7 (nN*)，故n1,2,3,5,11时，为整数即正整数n的个数是5.7(2013课标全国)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.8(2014江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_答案4解析因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a
9、2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.9(2014安徽)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.答案1解析设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.10在数列an中，如果对任意nN*都有k(k为常数)，则称数列an为等差比数列，k称为公差比现给出下列问题：等差比数列的公差比一定不为零；等差数列一定是等差比数列；若an3n2，则数列an是等差比数列；若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比其中正确命题的序号为_答案解析若k0，an为常数列，分
10、母无意义，正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，错误；3，满足定义，正确；设ana1qn1(q0)，则q，正确11(2014课标全国)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)方程x25x60的两根为2,3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2)设的前n项和为Sn.由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn()(1).所以Sn2.12(2014北京)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(n1,2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1,2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n1,2，)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为2n1.所以，数列bn的前n项和为n(n1)2n1.
