1、专题12 图形的性质之解答题（1）（50道题）一解答题（共50小题）1（2019北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若ADCM，求直线DE与图形G的公共点个数【答案】（1）证明：到点O的距离等于a的所有点组成图形G，图形G为ABC的外接圆O，AD平分ABC，ABDCBD，ADCD；（2）如图，ADCM，ADCD，CDCM，DMBC，B
2、C垂直平分DM，BC为直径，BAC90，ODAC，ODAB，DEAB，ODDE，DE为O的切线，直线DE与图形G的公共点个数为1【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定2（2019北京）已知AOB30，H为射线OA上一定点，OH1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150，得到线段PN，连接ON（1）依题意补全图1；（2）求证：OMPOPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有
3、ONQP，并证明【答案】解：（1）如图1所示为所求（2）设OPM，线段PM绕点P顺时针旋转150得到线段PNMPN150，PMPNOPNMPNOPM150AOB30OMP180AOBOPM18030150OMPOPN（3）OP2时，总有ONQP，证明如下：过点N作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，如图2NCPPDMPDQ90AOB30，OP2PDOP1ODOH1DHOHOD1OMPOPN180OMP180OPN即PMDNPC在PDM与NCP中 PDMNCP（AAS）PDNC，DMCP设DMCPx，则OCOP+PC2+x，MHMD+DHx+1点M关于点H的对称点为QHQMHx+1DQDH+
4、HQ1+x+12+xOCDQ在OCN与QDP中 OCNQDP（SAS）ONQP【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对称的性质第（3）题的解题思路是以ONQP为条件反推OP的长度，并结合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP2为条件构造全等证明ONQP3（2019北京）在ABC中，D，E分别是ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内弧例如，图1中是ABC的一条中内弧（1）如图2，在RtABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，画出ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平
5、面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t0），在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点若t，求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；若在ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是ABC的最长的中内弧，连接DE，A90，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，BC4，DEBC42，弧2；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EGAC交FP于G，当t时，C（2，0），D（0，1），E（1，1），F（，1），设
6、P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m1，OAOC，AOC90ACO45，DEOCAEDACO45作EGAC交直线FP于G，FGEF根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；m综上所述，m或m1如图4，设圆心P在AC上，P在DE中垂线上，P为AE中点，作PMOC于M，则PM，P（t，），DEBCADEAOB90AE，PDPE，AEDPDEAED+DAEPDE+ADP90，DAEADPAPPDPEAE由三角形中内弧定义知，PDPMAE，AE3，即3，解得：t，t00t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角
7、形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题4（2019北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BEDF，连接EF（1）求证：ACEF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O若BD4，tanG，求AO的长【答案】（1）证明：连接BD，如图1所示：四边形ABCD是菱形，ABAD，ACBD，OBOD，BEDF，AB：BEAD：DF，EFBD，ACEF；（2）解：如图2所示：由（1）得：EFBD，GADO，tanGtanADO，OAOD，BD4，OD2，OA1【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解
8、直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键5（2019怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点A，B和图形，如果在图形上存在点P，Q（P，Q可以重合），使得AP2BQ，那么称点A与点B是图形的一对“倍点”已知O的半径为1，点B（0，3）（1）点B到O的最大值，最小值；在A1（5，0），A2（0，10），A3（，）这三个点中，与点B是O的一对“倍点”的是A1；（2）在直线yx+b上存在点A与点B是O的一对“倍点”，求b的取值范围；（3）正方形MNST的顶点M（m，1），N（m+1，1），若正方形上的所有点与点B都是O的一对“倍点”，直接写出m的取值范围【答案】解：（1）点B到O的最
9、大值是BO+r3+14；点B到O的最小值是BOr312；A1到圆O的最大值6，最小值4；A2到圆O的最大值11，最小值9；A3到圆O的最大值3，最小值1；点B到O的最大值是4，最小值是2；在圆O上存在点P，Q，使得AP2BQ，则A1与B是O的一对“倍点”，故答案为A1；（2）点B到O的最大值是4，最小值是242BQ8，O到直线的最大距离是9，即OD9，DCO60，CO6；（3）当m0时，S（m+1，0），T（m，0），则m+14，m3，S（m+1，2），T（m，2），则OS9，9，m1；3m1；当m0时，S（m+1，0），T（m，0），则m4，S（m+1，2），T（m，2），则OT9，9，m，
10、m4；综上所述：3m1或m4；【点睛】本题考查圆的综合；熟练掌握圆与直线，圆与正方形的关系，点到圆上距离的最值的求法是解题的关键6（2019东城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P和直线AB，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为直线AB上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P和直线AB之间的“确定距离”，记作d（P，直线AB）已知A（2，0），B（0，2）（1）求d（点O，直线AB）；（2）T的圆心为T（t，0），半径为1，若d（T，直线AB）1，直接写出t的取值范围；（3）记函数ykx，（1x1，k0）的图象为图形Q若d（Q，直线AB）1，直接写出k的值
11、【答案】解：（1）如图1中，作OHAB于HA（2，0），B（0，2），OAOB2，AB2，OAOBABOH，OH，d（点O，直线AB）；（2）如图2中，作THAB于H，交T于D当d（T，直线AB）1时，DH1，TH2，AT2，OT22，T（22，0），根据对称性可知，当T在直线AB的右边，满足d（T，直线AB）1时，T（2+2，0），满足条件的t的值为22t（3）如图3中，当直线经过点D（2，0）与直线AB平行时，此时两直线之间的距离为1，该直线的解析式为yx+2，当直线ykx经过E（1，1）时，k1，当直线ykx经过F（1，3），k3，综上所述，满足条件的k的值为3或1【点睛】本题属于圆综合
12、题，考查了直线与圆的位置关系，图形P和直线AB之间的“确定距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7（2019朝阳区二模）MON45，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）（1）如图，若OA1，OP，依题意补全图形；（2）若OP，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围；（3）一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上，称这个圆为这条线段的覆盖圆若OA1，当点P在射线OM上运动时，以射线OM上
13、一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆，直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度【答案】解：（1）OA1，OP，MON45，PAOA，PA1OCOA，PC1由旋转性质可知：PCCD，CDAB1，D正好落在OM上补全图形，如图1所示（2）如图2，作PEOM交ON于点E，作EFON交OM于点FOP，MON45，OE2由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OAEC如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2综上所述，OA的取值范围是1OA2（3）如图4作PEOM交ON于点E，作EFON交OM于
14、点Q当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时直径为CD1，Q在CD的中点，QC由（2）可知CEOA1，QE，MON45，OP，OQ【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到OACE，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型8（2019海淀区二模）对于平面直角坐标系xOy中的两个图形M和N，给出如下定义：若在图形M上存在一点A，图形N上存在两点B，C，使得ABC是以BC为斜边且BC2的等腰直角三角形，则称图形M与图形N具有关系（M，N）（1）若图形X为一个点，图形Y为直线yx，图形X与图形Y具有关系（X
15、，Y），则点，P2（1，1），P3（2，2）中可以是图形X的是P1；（2）已知点P（2，0），点Q（0，2），记线段PQ为图形X当图形Y为直线yx时，判断图形X与图形Y是否既具有关系（X，Y）又具有关系（Y，X），如果是，请分别求出图形X与图形Y中所有点A的坐标；如果不是，请说明理由；当图形Y为以T（t，0）为圆心，为半径的T时，若图形X与图形Y具有关系（X，Y），求t的取值范围【答案】解：（1）P1；如图1，过P1作P1Iy轴交直线yx于点C1，作P1B1x轴于B1（B1与O重合），P1（0，），P1O，将y代入yx中，得xC1（，），即：C1P1B1P12P1（0，）与图形Y（直线yx）具
16、有关系（X，Y）；P2（1，1）在直线yx上，P2（1，1）与图形Y（直线yx）不具有关系（X，Y）；P3（2，2）B3（2，2），C3（2，2），B3C342P3（2，2）与图形Y（直线yx）不具有关系（X，Y）；故答案为P1（0，）（2）是，如图2，在直线yx上取点B，C，且BC2，则满足ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A，在到直线yx距离为1的两条平行直线上这两条平行直线与PQ分别交于A1，A2两点故图形X与图形Y满足（X，Y）直线yx与线段PQ交于点M（1，1），过点M作MHy轴于H，与A1B交于点N，则MA11，可得A1（，）同理可求得A2（，）如图3，在线段PQ上取点B，C
17、，且BC2，则满足ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形的点A在图中的两条线段上，这两条线段与直线yx交于A3，A4两点故图形X与图形Y满足（Y，X）同上可求得A3（，），A4（，）如图3，当QB1C1为等腰直角三角形，且斜边B1C12时，连接QT1交B1C1于S，则QSB1SC1S1，B1T1，T1S2，T1Q2+13T1OT1（，0），同理可求得：T2（1，0），T3（2，0），T4（5，0），或【点睛】本题是一道新定义的圆综合题，考查了等腰直角三角形的性质，圆的性质等，关键是要理解新定义，并能够运用新定义解决问题9（2019丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义
18、：若在图形G上存在两个点A，B，使得以P，A，B为顶点的三角形为等边三角形，则称P为图形G的“等边依附点”（1）已知M（3，），N（3，）在点C（2，2），D（0，1），E（1，）中，是线段MN的“等边依附点”的是D，E；点P（m，0）在x轴上运动，若P为线段MN的“等边依附点”，求点P的横坐标m的取值范围；（2）已知O的半径为1，若O上所有点都是某条线段的“等边依附点”，直接写出这条线段长n的取值范围【答案】解：（1）D，E；如图1，过点C作CDMN于D，连接CM，过点E作EFMN于F，连接EN，EM，DM，DN，tanCMD2tan60，CMD60，点C不是线段MN的“等边依附点”；tan
19、DMNtanDNM，DMNDNM60D是线段MN的“等边依附点”；tanENF，tanEMNENF60，EMN60E是线段MN的“等边依附点”；故答案为D，E在图1中，分别在线段MN上方作NMQMNP60，角的一条边与MN重合，另一边分别与x轴交于Q，P，作QDMN于D，tan60，即：，解得：MD1Q（2，0）同理，可得P（2，0）点P的横坐标m的取值范围为：2m2；（2）如图2，ABC是等边三角形，点O为AB的中点，O与AC、BC分别相切于P、Q，ABC是等边三角形BACABC60连接CO，OP，OQ，则OCAB，OPAC，OQBCsin60，sin60；OPOQ1OAOBAB的最小值为，
20、【点睛】本题是有关圆的一道综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质，等边三角形的性质等，解题的关键是正确理解新定义：图形G的“等边依附点”；并能够结合定义画出图形10（2019房山区二模）如图，在ABC中，ACB90，B4BAC延长BC到点D，使CDCB，连接AD，过点D作DEAB于点E，交AC于点F（1）依题意补全图形；（2）求证：B2BAD；（3）用等式表示线段EA，EB和DB之间的数量关系，并证明【答案】解：（1）补全图形如图：（2）证明：ACB90，CDCB，ADABBAD2BACB4BAC，B2BAD（3）EAEB+DB，证明：在EA上截取EGEB，连接DGDEAB，DGDBDGBBB
21、2BAD，DGB2BADDGBBAD+ADG，BADADGGAGDGADBEAEG+AGEB+DB【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识11（2019通州区三模）如图，已知线段AB6cm，过点B做射线BF且满足ABF40，点C为线段AB中点，点P为射线BF上的动点，连接PA，过点B作PA的平行线交射线PC于点D，设PB的长度为xcm，PD的长度为y1cm，BD的长度为y2cm（当点P与点B重合时，y1与y2的值均为6cm）小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小腾的探究过程，请补充完整：（
22、1）按照下表中自变量x （0x6）的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm6.04.73.94.15.16.68.4y2/cm6.05.34.74.23.94.1（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出y1，y2的图象；（3）结合函数图象解决问题：当PDB为等腰三角形时，则BP的长度约为3.1或3.9cm；（4）当x6时，是否存在x的值使得PDB为等腰三角形否（填“是”或者“否”）【答案】解：（1）由画图可得，x4时，BDy23.9（2
23、）如图所示，（3）由y1与y2的交点的横坐标可知，x3.1cm时，PDBD，由直线yx与y2的交点的横坐标可知，x3.9cm时，PBBD，观察图象可知，PB不可能等于PD，故答案为3.1或3.9（4）观察图象可知，x6时，PDB不可能为等腰三角形故答案为否【点睛】本题考查函数的图象，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型12（2019石景山区二模）如图，在RtABC中，C90，点O在边AC上，O与边AC相交于点D、与边AB相切于点E，过点D作DPBC交AB于点P（1）求证：PDPE；（2）连接CP，若点E是AP的中点，OD：DC2：1，CP
24、13，求O的半径【答案】（1）证明：DPBC，C90，ADPC90PDODPD是O的切线，PE是O的切线，PDPE；（2）解：连接OE，DE点E是AP的中点，DEEPEAPDPE，PDPEDEDEP是等边三角形，APD60，A30PE与O切点E，AEO90OD：DC2：1，设DCx，则OD2x在RtAOE中，tanA则OEOD2x，则AEPD2x在RtCPD中，DC2+PD2CP2，x2+（2x）2132，解得xO的半径为2【点睛】本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，直角三角形斜边中线的性质，直角三角函数等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键13（2019丰台区二模）如图1，M是圆中上一
25、定点，P是弦AB上一动点，过点A作射线MP的垂线交圆于点C，连接PC已知AB5cm，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，P、C两点的距离为y2cm小帅根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点，画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值；x/cm012345y1/cm2.553.153.954.764.954.30y2/cm2.552.642.672.111.132.55（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y
26、2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：在点P的运动过程中，当AC与PC的差为最大值时，AP的长度约为4cm【答案】解：（1）经测量得：当x3时，y22.11；（2）用描点法，描绘如下图象，（3）从图象可以看出，当x4时，AC与PC的差为最大值，故答案为4【点睛】本题为圆的综合运用题，主要考查的是描点作图，根据图象，确定题设已知条件，从图中观察、测量出求解得结论，一般难度不大14（2019西城区二模）对于平面内的MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于MAN的“偏率”在平面直角坐标系xOy中，（1）点M，N
27、分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点若点P的坐标为（1，5），则点P关于MON的“偏率”为5；若第一象限内点Q（a，b）关于MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为ab；（2）已知点A（4，0），B（2，2），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）若点C关于AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），T是以点T为圆心，半径为1的圆若T上的所有点都在第一象限，且关于EOF的“偏率”都大于，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）点M，N分别在x轴正半轴，y轴正半轴上点P（1，5）到OM距离d15，到
28、ON距离d21点P关于MON的“偏率”为：5故答案为：5点Q（a，b）在第一象限，到OM距离d1b，到ON距离d2a点Q关于MON的“偏率”为：1或1ab故答案为：ab（2）过点C作CDOA于点D，CHOB于点H，如图1，CDACHB90点A（4，0），B（2，2）OA4，OB4，AB4OAOBABOAB是等边三角形OABOBA60CDACHB90CDACHB点C关于AOB的“偏率”为22或2当2，则2CAABDACAcos60，CDCAsin60ODOADA4C（，）当2，则2CAABDACAcos60，CDCAsin60ODOADA4C（，）综上所述，点C的坐标为（，）或（，）（3）T（t
29、，4）点T在直线y4上T上的所有点都在第一象限，且半径为1T与y轴相离t1设T上的点R坐标为（x，y）（x0，y0）点R关于EOF的“偏率”都大于或若，则yx点R在直线yx的上方，即T在直线yx左侧且与其相离当T与直线yx相切于点I，如图2，设直线y4与y轴交于点G，与直线yx交于点JGTt，OGyJ4，GJxJtanOJGOJG60TI1，TIOJRtTIJ中，sinOJGTJTIGTGJTJ当T在直线yx左侧与其相离时，1t若，则yx点R在直线yx的下方，即T在直线yx右侧且与其相离当T与直线yx相切于点K，如图3，设直线y4与y轴交于点G，与直线yx交于点LGLxLyL4tanOLGKL
30、TOJG30TK1，TKOKRtTKL中，sinKLTLT2TK2GTGL+LT42当T在直线yx右侧与其相离时，t42综上所述，t的取值范围为1t或42【点睛】本题考查了新定义的理解，点到直线距离，平面直角坐标系点的特征，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊三角函数值的应用，圆的切线性质解题关键是新定义的理解和应用，根据新定义的表述画出图形数形结合地解决问题第（3）题问题转化到圆与直线相离后，先计算相切时t的值，再判断相离时t的范围15（2019平谷区二模）如图，点P是半圆O中 上一动点，连接AP，作APC45，交弦AB于点C已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，
31、C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0）小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm01.212.09m2.992.820y2/cm00.871.572.202.833.616经测量m的值是2.7（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：
32、当ACP为等腰三角形时，AP的长度约为4.2或2.3cm（保留一位小数）【答案】解：（1）经测量：m2.7；（2）通过描点，画出如下图象；（3）当ACPC时，即：y1y2，从图象可以看出：x4.2；当APPC时，画出函数：yx的图象，图象与y1的交点处x的为2.3；故：答案为4.2或2.3【点睛】本题为圆的综合题，主要是研究函数y随自变量x的变化而变化的规律，此类题目，主要通过画出函数图象，根据题设条件，找出图象对应的点的值即可16（2019通州区三模）在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为（n，|mn|），则称点
33、M为P，Q的跟随点（1）若m0，当n3时，P，Q的跟随点的坐标为（3，3）；写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；记函数ykx1（1x1，k0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；（2）A的圆心为A（0，2），半径为1，若A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围【答案】解：（1）把m0，n3代入点P，Q的跟随点的坐标（n，|mn|）（3，|03|）（3，3）故答案为：（3，3）；把m0代入P，Q的跟随点的坐标（n，|mn|），当n0时，（n，n）；当n0时，（n，n）所以P，Q的跟随点的坐标为（n，n）或（n，n）；由可知，当m0时，P，Q的跟随点在函
34、数yx（x0）或 yx（x0）的图象上，且函数yx（x0）或 yx（x0）的图象上的每一个点都是P，Q的跟随点令x1，则y1，图形G经过点（1，1）时，k2；令x1，则y1，图形G经过点（1，1）时，k2；由图可知，k的取值范围是2k0或0k2（2）因为A的圆心为A（0，2），半径为1，若A上存在P，Q的跟随点，m的取值范围为：2m2或2m2【点睛】本题考查圆综合题、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题17（2019昌平区二模）如图，在ABC中，C90，ACBC，AB6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CGA
35、B，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm9.498.547.626.715.835.004.24y2/cm9.497.625.833.163.164.24（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2
36、的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6cm【答案】解：（1）当x3时，点E是AB的中点，易证ECF是等腰直角三角形，EFEC34.24（2）函数图象如图所示：（3）由直线yx与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6故答案为：3.50或5或6【点睛】本题属于三角形综合题，考查了画出的图象与性质，解题的关键是理解题意，学会利用描点法画出函数图象，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型18（2019昌平区二模）在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规
37、完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”小明的作法如下：在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：ABAPPQBQ四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）PQl【答案】解：（1）如图所示（2）：ABAPPQBQ四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）PQl故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形【点睛】本题考查作图复杂作图，菱形的判
38、定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型19（2019房山区二模）如图，在ABC中，ABC90，CAB30，AB4.5cmD是线段AB上的一个动点，连接CD，过点D作CD的垂线交CA于点E设ADxcm，CEycm（当点D与点A或点B重合时，y的值为5.2）探究函数y随自变量x的变化而变化的规律（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.65.2（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，
39、画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE2AD时，AD的长度约为1.9cm（结果保留一位小数）【答案】解：（1）如图1，过E作EFAB于F，由表格可知：AC5.2，AB4.5，RtACB中，A30，BCAC2.6，当x4时，即AD4，BD0.5，EDC90，易得EFDDBC，设EF5a，FD26a，则AE10a，AF5a，AD4，5a+26a4，a，yACAE5.2105.24.0；x/cm00.511.522.533.544.5y/cm5.24.84.44.03.83.63.53.64.05.2故答案为：4.0；（2）如图2所示：（3）设EFa，则AE2a，AFa，如图，
40、由（1）知：EFDDBC，即，AC2a+y5.2，当CE2AD时，y2x，则2a+2x5.2，a+x2.6，a2.6x，2.6（2.6x）（4.5x）x（2.6x），2.73x219.383x+27.0010，x15.2（舍），x21.9，答：AD的长度约为1.9cm；故答案为：1.9【点睛】此题是三角形与函数图象的综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的画法，直角三角形的性质，勾股定理，并与方程相结合，计算量比较大20（2019房山区二模）阅读下面材料：小明遇到一个问题：如图，MON，点A在射线OM上，点B在MON内部，用直尺和圆规作点P，使点P同时
41、满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：a点P到A，B两点的距离相等；b点P到MON的两边的距离相等小明的作法是：连接AB，作线段AB的垂直平分线交AB于E，交ON于F；作MON的平分线交EF于点P所以点P即为所求根据小明的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（2）证明：EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，PAPBOP平分MON，点P到MON的两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等（填推理的依据）所以点P即为所求【答案】（1）解：如图，（2）证明：EF垂直平分线段AB，点P在直线EF上，PAPBOP平分MON，点P到MON的两边的距离相等（角平分线上的点到角两
42、边的距离相等）所以点P即为所求故答案为PB；角平分线上的点到角两边的距离相等【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质21（2019昌平区二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到C的“圆距离”，记作d（MC）（1）点C在原点O时，记点A（4，
43、3）为图形M，则d（MO）4；点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（MO）3；记函数ykx+4（k0）的图象为图形M，且d（MO）1，直接写出k的取值范围；（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记AOB为图形M，且d（MC）1，直接写出t的值【答案】解：（1）如图1，点A（4，3），则OA5，d（MO）AQ514，故答案为4；如图1，由题意得：d（MO）PQ413；如图1，过点O作OP直线l于点P，直线l与y轴交于点D，则d（MO）PQ，当PQ2为临界点的情况，OD4，PDO30，k，故k；（2）如图2，当点为角的顶点O（P）时，则PQ1，则OC2，即：t2；如图3
44、，当点P在射线OA时，tanAOC，则sinAOC，CPCQ+PQ1+12，tOC；故：t2或【点睛】本题为圆的综合题，涉及到一次函数、解直角三角形的知识，这种新定义类型的题目，通常按照题设的顺序，逐次求解，一般难度不大22（2019通州区三模）已知：如图，MAN90，线段a和线段b求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b下面是小东设计的尺规作图过程作法：如图，以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于MAN内部的点C；分别连接BC，DC所以四边形ABCD就是所求作的矩形根
45、据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：ABCD；ADBC；四边形ABCD是平行四边形MAN90；四边形ABCD是矩形（填依据有一个角为直角的平行四边形是矩形）【答案】解：（1）如图，四边形ABCD为所求作；（2）完成下面的证明证明：ABCD；ADBC；四边形ABCD是平行四边形MAN90；四边形ABCD是矩形（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故答案为CD，BC；有一个角为直角的平行四边形是矩形【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基
46、本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了矩形的判定23（2019西城区二模）如图，AB是O的直径，CA与O相切于点A，且CABA连接OC，过点A作ADOC于点E，交O于点D，连接DB（1）求证：ACEBAD；（2）连接CB交O于点M，交AD于点N若AD4，求MN的长【答案】（1）证明：AB是O的直径，ADB90，ADOC，AEC90，ADBAEC，CA是O的切线，CAO90，ACEBAD，在ACE和BAD中，ACEBAD（AAS）；（2）解：连接AM，如图，ADOC，AD4，AEDEAD2，ACEBAD，BDAE2，CEAD4，在RrABD中，AB，在
47、RtABC中，BC，CENBDN90，CNEBND，CENBDN，BNBC，AB是O的直径，AMB90，即AMCB，CABA，CAB90，BMBC，MNBMBN【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的垂径定理，圆的切线性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，中等难度，出现直径往往构造直径所对的圆周角24（2019昌平区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AEBC于点E，延长BC至F，使CFBE，连接DF（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF8，DF4，求CD的长【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，ADBC且ADBC，BECF，BC
48、EF，ADEF，ADEF，四边形AEFD是平行四边形，AEBC，AEF90，四边形AEFD是矩形；（2）解：设BCCDx，则CF8x在RtDCF中，x2（8x）2+42 ，x5，CD5【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键25（2019通州区三模）如图，在RtABC中，C90，AE是ABC的角平分线AE的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OA为半径作O，交AB于点F（1）求证：BC是O的切线；（2）若AC2，tanB，求O的半径r的值【答案】（1）证明：连接OEAE的垂直平分线交AB于点O，OAOE点E在O上，且12，AE是ABC的角平分线，1
49、3，且点E在BC上23，OEAC，C90，OEBC90，BCOE于点EOE是O的半径，BC是O的切线；（2）解：在RtABC中，C90，AC2，tanB，BC4，AB2，由（1）得 ，解得：r【点睛】本题考查了切线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键26（2019房山区二模）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DFAC，CFBD（1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若AD5，BD8，计算tanDCF的值【答案】（1）证明：DFAC，CFBD，四边形OCFD是平行四边形，四边形ABCD是菱形，ACBD，DOC90，四边形OCFD是矩形；（2
50、）解：四边形ABCD是菱形，ADCD，AD5，CD5，菱形ABCD两条对角线交于O，ODOBBD，OD4，四边形OCFD是矩形，ODCF，在RtCFD中，CF2+DF2CD2，DF3，tanDCF【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键27（2019昌平区二模）如图，在RtABC中，C90，以AC为直径的O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，ADQDOQ（1）求证：PD是O的切线；（2）若AQAC，AD2时，求BP的长【答案】解：（1）连接DC，DCADOA，ADQDOQ，DCAADQ，AC是O的直径，ADC90
51、DCA+DAC90，ADQ+DAC90，ADODAO，ADQ+ADO90，DP是O切线；（2）C90，OC为半径PC是O切线，PDPC，连接OP，DPOCPO，OPCD，OPAD，AQAC2OA，AD2，OP3，OP是ACB的中位线，AB6，CDAB，C90，BC2BDBA24，BC，BP【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行线分线段长比例定理，三角形的中位线的性质，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键28（2019通州区三模）如图，在ABCD中，AEBC于点E，过点D作DFAE，交BC的延长线于点F，连接AF（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AD8，tanB，CF，求
52、AF的长【答案】（1）证明：在ABCD中，ADBC，ADEFDFAE，四边形AEFD是平行四边形，AEF90，AEFD是矩形；（2）解：在ABCD中，ABCD，tanB，tanDCFtanB，在RtCDF中，CFD90，CF，DFCFtanDCF6，四边形AEFD是矩形，ADF90在RtADF中，ADF90，AD8，DF6，AF10【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等及勾股定理的应用是解题的关键29（2019门头沟区二模）如图1，E为半圆O直径AB上一动点，C为半圆上一定点，连接AC和BC，AD平分CAB交BC于点D，连接CE和DE如果AB6cm，AC2.5cm，设A，E
53、两点间的距离为xcm，C，E两点间的距离为y1cm，D，E两点间的距离为y2cm小明根据学习函数经验，分别对函数y1和y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究下面是小明的探究过程，请将它补充完整：（1）按表中自变量x值进行取点、画图、测量，得到了y1和y2与x几组对应值：x/cm0123456y1/cm2.502.272.47m3.734.565.46y2/cm2.972.201.681.692.192.973.85问题：上表中的m3cm；（2）在同一平面直角坐标系xOy中（见图2），描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y2）和（x，y1），并画出函数y1和y2的图象；（3）结合函数的图象
54、，解决问题：当ACE为等腰三角形时，AE的长度约为2.50或3.00cm（结果精确到0.01）【答案】解：（1）当x3时，点E与点O重合，故CE即为CO3，故：答案为3；（2）根据表格数据，描点后图象如下图2；（3）ACE为等腰三角形，有以下三种情况：当AEAC时，AEAC2.5；ACCE时，即y1CE2.5，从图象可以看出，x0；即：AE0（舍去），当AECE时，即：xy1，从图中可以看出：x3，即：AE3；故：答案为2.50或3.00【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到函数图象作图，此类题目通常在作图的基础上，依据图象确定特殊点坐标情况求解30（2019昌平区二模）在正方形ABCD
55、中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到DCF，过点E作EGAC于点G，连接DG，FG（1）如图1，依题意补全图1；判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当AGD60时，求BE的长【答案】解：（1）补全图形如图1所示：FGDG，FGDG，理由如下：连接BG，如图2所示：四边形ABCD是正方形，ACB45，EGAC，EGC90，CEG是等腰直角三角形，EGGC，GECGCE45，BEGGCF135，由平移的性质得：BECF，在BEG和GCF中，BEGGCF（SAS），BGGF，G
56、在正方形ABCD对角线上，BGDG，FGDG，CGFBGE，BGE+AGB90，CGF+AGB90，AGD+CGF90，DGF90，FGDG；（2）过点D作DHAC，交AC于点H如图3所示：在RtADG中，DAC45，DHAH，在RtDHG中，AGD60，GH，DG2GH，DFDG，在RtDCF中，CF，BECF【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键31（2019东城区二模）如图，点B是所对弦DE上一动点，点A在ED的延长线上，过点B作BCDE交于点C，连接AC
57、，已知AD3cm，DE6cm，设A，B两点间的距离为xcm，ABC的面积为ycm2（当点B与点D，E重合时，y的值为0）小亮根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x3456789y04.477.079.008.940（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30cm【答案】解：（1）如图1，x5时，点B在B处，x7时，点B在B处，此时，BCBC
58、，则ySABCSABC9.8989.9，故答案为9.9；（2）图象如下图所示：（3）从图象可以看出，当ABC的面积为8cm2时，AB的长度约为5.43或8.30，故答案为：5.43或8.30【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，主要是通过已知点数据，确定确定未知点数据，再描绘图象，从图象查看相关数据32（2019顺义区二模）如图，在半圆弧中，直径AB6cm，点M是AB上一点，MB2cm，P为AB上一动点，PCAB交于点C，连接AC和CM，设A、P两点间的距离为xcm，A、C两点间的距离为y1cm，C、M两点间的距离为y2cm小东根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2随自变量x的变化而变化的规
59、律进行了探究：下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm02.453.464.905.486y2/cm43.743.463.162.832.452（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当ACCM时，线段AP的取值范围是2AP6；当AMC是等腰三角形时，线段AP的长约为2或2.6【答案】解：（1）当x3时，点P与点O重合，则y134.24，故答案为4.24；（2）描点（
60、x，y1），画出函数y1的图象：（3）观察图象可知：线段AP值范围是2AP6，线段AP的长约为2或2.6【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆的有关知识，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型33（2019朝阳区二模）如图，P是半圆O中所对弦AB上一动点，过点P作PMAB交于点M，作射线PN交于点N，使得NPB45，连接MN已知AB6cm，设A，P两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm（当点P与点A重合时，点M也与点A重合，当点P与点B重合时，y的值为0）小超根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小超的
61、探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；x/cm0123456y/cm4.22.92.62.01.60（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当MN2AP时，AP的长度约为1.4cm【答案】解：（1）当x3时，点P与点O重合，连接MN、NB，过点N作HNAB交点B，则MNNB2.29652.3，故答案为2.3，如下表格：x/cm0123456y/cm4.22.92.62.32.01.60（2）描绘的图象如下所示：（3）
62、从图象可以看出：当MN2AP时，AP的长度约为1.4，故答案为1.4【点睛】本题考查圆的综合运用，涉及到函数图象作图、解直角三角形等知识点，通常按照题设顺序顺次求解34（2019顺义区二模）对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），给出如下定义：点M与点N的“折线距离”为：d（M，N）|x1x2|+|y1y2|例如：若点M（1，1），点N （2，2），则点M与点N的“折线距离”为：d（M，N）|12|+|1（2）|3+36根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点P （3，2）若点A（2，1），则d（P，A）6；若点B（b，2），且d（P，B）5，则b2或4；已知点
63、C（m，n）是直线yx上的一个动点，且d（P，C）3，求m的取值范围（2）F的半径为1，圆心F的坐标为（0，t），若F上存在点E，使d（E，O）2，直接写出t的取值范围【答案】解：（1）由折线距离的定义式：d（M，N）|x1x2|+|y1y2|，及点P（3，2），A（2，1）得：d （P，A）|3（2）|+|2（1）|6故答案为：6d（P，B）|3b|+|（2）2|3b|+45|3b|1，b2或4故答案为：2或4点C（m，n）是直线yx上的一个动点，nm，d（P，C）|3m|+|（2）n|3m|+|2+m|m3|+|m2|3即数轴上表示数m的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于
64、3，所以1m4答：m的取值范围为1m4（2）F的半径为1，圆心F的坐标为（0，t），如图所示，当点F位于（0，3）或（0，3）时，刚好存在唯一一个点E，使得d（E，O）2；作正方形ABCD，顶点坐标分别为：A（2，0），B（0，2），C（2，0），D（0，2）当F在y轴正半轴与AD，CD相切时，连接圆心F和切点H，则FHAD，FHDH1，DF，F（0，2）当F在y轴正半轴时，2t3，符合要求；同理可得，当F在y轴负半轴时，3t2，符合要求答：t的取值范围为2t3或3t2【点睛】本题属于新定义与动圆相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，是此类题目解题的关键35（2019平谷区二模）如图，在
65、平面直角坐标系xOy 中，点P是C外一点，连接CP交C于点Q，点P关于点Q的对称点为P，当点P在线段CQ上时，称点P为C“友好点”已知A（1，0），B（0，2），C（3，3）（1）当O的半径为1时，点A，B，C中是O“友好点”的是B；已知点M在直线yx+2 上，且点M是O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；（2）已知点D，连接BC，BD，CD，T的圆心为T（t，1），半径为1，若在BCD上存在一点N，使点N是T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围【答案】解：（1）r1，根据“友好点”的定义，OB2r2，点B是O“友好点”，OC32r2，不是O“友好点”，A（1，0）在O上，不是O“友好
66、点”，故答案为B；如图，设M（m，m+2 ），根据“友好点”的定义，OM2，整理，得2m22m0，解得0m；点M的横坐标m的取值范围：0m；（2）B（0，2），C（3，3），D，T的圆心为T（t，1），点N是T“友好点”，NT2r2，点N只能在线段BD上运动，过点T作TNBD于N，作THy轴，与BD交于点H易知BDO30，OBD60，NTHT，B（0，2），D，直线BD：yx+2，H（t，t+2 上），HTt+2（1）t+3，NTHT（t+3）t，t2，t4+3，当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t3，此时点N不是“友好点”，t3，故圆心T的横坐标t的取值范围：4+3t【点睛】
67、本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键36（2019顺义区二模）已知：如图，在ABC中，ACB90，以BC为直径的O交AB于点D，E为的中点（1）求证：ACDDEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PBBO，DE2，求PE的长【答案】（1）证明：BC是O的直径，BDC90，BCD+B90，ACB90，BCD+ACD90，ACDB，DECB，ACDDEC（2）证明：连结OEE为BD弧的中点DCEBCE，OCOE，BCEOEC，DCEOEC，OECD，POEPCD，PBBO，DE2PBBOOC，PE4【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判
68、定和性质，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型37（2019朝阳区二模）下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程已知：直线l及直线l上一点P求作：直线PQ，使得PQl作法：如图，在直线l上取一点A（不与点P重合），分别以点P，A为圆心，AP长为半径画弧，两弧在直线l的上方相交于点B；作射线AB，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交AB的延长线于点Q；作直线PQ所以直线PQ就是所求作的直线根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接BP，BPBABQAP，点A，P，Q在以点B为圆心，
69、AP长为半径的圆上APQ90（直径所对的圆周角是直角）（填写推理的依据）即PQl【答案】解：（1）如图，（2）证明：连接BP，BPBABQAP，点A，P，Q在以点B为圆心，AP长为半径的圆上APQ90（直径所对的圆周角是直角），即PQl故答案为BP，BA，BQ，直径所对的圆周角是直角【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了圆周角定理38（2019门头沟区二模）如图，点C在O上，AB为直径，BD与过点C的切线垂直于D，BD与O交于点E（1）求证：BC平分DBA；（
70、2）如果cosABD，OA2，求DE的长【答案】（1）证明：如图1中，连接OC，CD是O的切线，OCCD，BDCD，OCBD，OCBCBD，OCOB，OCBOBC，CBOCBD，BC平分DBA；（2）解：如图连接AC、AEcosABD，ABD60，由（1）可知，ABCCBD30，在RtACB中，ACB90，ABC30，AB4，BCABcos302，在RtABE中，AEB90，BAE30，AB4，BEAB2，AE2，在RtCDB中，D90，CBD30，BC2，CDBC，BD3，DEDBBE321【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、角平分线的定义、解直角三角形等特殊角三角函数、等腰三角形的性
71、质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题39（2019东城区二模）如图，O是ABC的外接圆，连接OC，过点A作ADOC交BC的延长线于点D，ABC45（1）求证：AD是O的切线；（2）若sinCAB，O的半径为，求AB的长【答案】解：（1）连接OA，ABC45，AOC2ABC90，ADOC，DAOCOA90，OA是O的半径，AD是O的切线；（2）过C作CEAB于E，AOC90，AOOC，AC5，AEC90，sinCAE，CE3，AE4，CEB90，ABC45，BCE45，CEBE3，ABAE+BE7【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅
72、助线是解题的关键40（2019顺义区二模）下面是小明设计的“作三角形的高线”的尺规作图过程已知：ABC求作：BC边上的高线作法：如图2，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点D，E；作直线DE，与AB交于点F，以点F为圆心，FA长为半径画圆，交CB的延长线于点G；连接AG所以线段AG就是所求作的BC边上的高线根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明证明：连接DA，DB，EA，EB，DADB，点D在线段AB的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理的依据）EAEB，点E在线段AB的垂直平分线上DE是
73、线段AB的垂直平分线FAFBAB是F的直径AGB90（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）AGBC即AG就是BC边上的高线【答案】解：（1）如图线段AE即为所求（2）连接DA，DB，EA，EB，DADB，点D在线段AB的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），EAEB，点E在线段AB的垂直平分线上DE是线段AB的垂直平分线FAFBAB是F的直径AGB90（直径所对的圆周角是直角 ），AGBC即AG就是BC边上的高线故答案为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，EAEB，直径所对的圆周角是直角【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理
74、等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型41（2019朝阳区二模）如图，在ABCD中，ABD90，延长AB至点E，使BEAB，连接CE（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE2，DAB30，求AF的长【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，CDAB，BEAB，BECD，四边形BECD是平行四边形，ABD90，DBE90BECD是矩形；（2）解：如图，取BE中点G，连接FG由（1）可知，FBFCFE，FGCE1，FGBE，在ABCD中，ADBC，CBEDAB30BGABBEAG，在RtAGF中，由勾股定理可求AF【点睛】本题考
75、查了矩形的判定和性质，含30交的直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键42（2019门头沟区二模）下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程已知：如图1，线段a和线段b求作：ABC，使得ABAC，BCa，BC边上的高为b作法：如图2，作射线BM，并在射线BM上截取BCa；作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于D；以D为圆心，b为半径作圆，交PQ于A；连接AB和AC则ABC就是所求作的图形根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知BCa，ADbPQ为线段BC的垂直平分线
76、，点A在PQ上，ABAC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）（填依据）又AD在线段BC的垂直平分线PQ上，ADBCAD为BC边上的高，且ADb【答案】解：（1）ABC即为所求（2）由作图可知BCa，ADbPQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，ABAC（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）（填依据）又AD在线段BC的垂直平分线PQ上，ADBCAD为BC边上的高，且ADb故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型43（2019
77、东城区二模）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程已知：四边形ABCD是平行四边形求作：菱形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）作法：以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；连接EF所以四边形ABEF为所求作的菱形根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：AFAB，BEAB，AFBE在ABCD中，ADBC即AFBE四边形ABEF为平行四边形AFAB，四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）（填推理的依据）【答案】解：（1）四边形ABEF为所求作的菱形（2）
78、AFAB，BEAB，AFBE，在ABCD中，ADBC即AFBE四边形ABEF为平行四边形AFAB，四边形ABEF为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故答案为：AF，BE，邻边相等的平行四边形是菱形【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型44（2019海淀区二模）下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程已知：在ABC中，C90求作：ABC的中位线DE，使点D在AB上，点E在AC上作法：如图，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；作直线PQ，与AB交于点D，与AC交于点E
79、所以线段DE就是所求作的中位线根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：连接PA，PC，QA，QC，DC，PAPC，QAQC，PQ是AC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据）E为AC中点，ADDCDACDCA，又在RtABC中，有BAC+ABC90，DCA+DCB90ABCDCB（等角的余角相等）（填推理的依据）DBDCADBDDCD为AB中点DE是ABC的中位线【答案】解：（1）如图线段DE即为所求（2）连接PA，PC，QA，QC，DC，PAPC，QAQC，PQ是AC的垂直平分线（到线段两端点距
80、离相等的点在线段的垂直平分线上），E为AC中点，ADDCDACDCA，又在RtABC中，有BAC+ABC90，DCA+DCB90ABCDCB（等角的余角相等），DBDCADBDDCD为AB中点DE是ABC的中位线故答案为：QC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，等角的余角相等【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型45（2019朝阳区二模）如图，ABC内接于以AB为直径的O，过点A作O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CECD，连接AE并延长，交O于点F，连接CF（1）求证
81、：ACCF；（2）若AB4，sinB，求EF的长【答案】（1）证明：AD是O的切线，DAB90，CAD+CAB90，AB是O的直径，ACB90CAB+B90，CADB，CECD，AEAD，CAECADB，BF，CAEF，ACCF；（2）解：由（1）可知，sinCAEsinCADsinBAB4，在RtABD中，AD3，BD5，在RtACD中，CD，DE，BE，CEFAEB，BF，CEFAEBEF【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键46（2019丰台区二模）下面是小明主设计的“作一个含30角的直角三角形”的尺规作图过程已知：直线
82、l求作：ABC，使得ACB90，ABC30作法：如图，在直线l上任取两点O，A；以点O为圆心，OA长为半径画弧，交直线l于点B；以点A为圆心，AO长为半径画弧，交于点C；连接AC，BC所以ABC就是所求作的三角形根据小明设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：在O中，AB为直径，ACB90（直径所对的圆周角是直角），（填推理的依据）连接OCOAOCAC，CAB60，ABC30（直角三角形两锐角互余），（填推理的依据）【答案】解：（1）ABC即为所求（2）在O中，AB为直径，ACB90（直径所对的圆周角是直角），连接OCOAOCAC，CAB6
83、0，ABC30（直角三角形两锐角互余）故答案为：直径所对的圆周角是直角，直角三角形两锐角互余【点睛】本题考查作图复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型47（2019海淀区二模）如图，AB是O的直径，PA，PC与O分别相切于点A，C，连接AC，BC，OP，AC与OP相交于点D（1）求证：B+CPO90；（2）连结BP，若AC，sinCPO，求BP的长【答案】（1）证明：连接OC，如图PA，PC与O分别相切于点A，C，OCPC，OAPA，APC2CPOOCPOAP90AOC+APC+OCP+OAP360，AOC+APC180AOC
84、2B，B+CPO90（2）解：连接BP，如图AB是O的直径，ACB90ABC+BAC90ABC+CPO90，BACCPOAPOAC，sinBAC，AB3，sinAPO，AP2【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键48（2019石景山区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足hPQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”（1）已知点A（4，0）；若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；若RtABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C
85、在直线y2x5上，则点B的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）；（2）T的圆心为点T（2，0），半径为2，点M的坐标为（2，6），N为直线yx+4上一点，若存在RtMND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与T有公共点，直接写出点N的横坐标xN的取值范围【答案】解：（1）如图，不妨设满足条件的三角形为等腰OAR，则ORAR过点R作RHOA于点H，OHHA，以线段OA为底的等腰OAR恰好是点O，A的“生成三角形”，RHOA4OR，答：该三角形的腰长为（2）如图所示：若A为直角顶点时，点B的坐标为（1，0）或（7，0）；若B为直角顶点时，点B的坐标为（1，0）或（3，0） 综上，点B的坐标为
86、（1，0），（3，0）或（7，0）（2）由图可得：若N为直角顶点：1xN0；若M为直角顶点：6xN2；综上，6xN0答：点N的横坐标xN的取值范围为：6xN0【点睛】本题是新定义结合圆的综合题，读懂定义并准确作图是解题的关键，本题难度较大49（2019海淀区二模）已知C为线段AB中点，ACMQ为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQkCP（1）若60，k1，如图1，当Q为BC中点时，求PAC的度数；直接写出PA、PQ的数量关系；（2）如图2，当45时探究是否存在常数k，使得中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）如图1
87、，在CM上取点D，使得CDCA，连接AD，ACM60，ADC为等边三角形DAC60C为AB的中点，Q为BC的中点，ACBC2BQBQCP，ACBCCD2CPAP平分DACPACPAD30如下图，将APD绕点A顺时针旋转60得ADC，连接CD，ACDADP60，APAD，PAD60，CDPD，APD是等边三角形，PDAP，k1，BQCP，CDACBC，PDCQCD，PCQ180ACP120，PCDACP+ACD120，PCDPCQ，PCDPCQ（SAS），PDPQ，PAPQ；（2）存在，使得中的结论成立证明：过点P作PC的垂线交AC于点DACM45，PDCPCD45PCPD，PDAPCQ135，
88、CDBQACBC，ADCQPADPQC（SAS）PAPQ【点睛】本题是三角形的综合题，考查三角形全等的性质和判定、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构建等边三角形和三角形全等，难度适中，属于中考常考题型50（2019海淀区二模）如图，在ABCD中，BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE（1）求证：DADF；（2）若ADECDE30，DE2，求ABCD的面积【答案】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，ABCDBAFFAF平分BAD，BAFDAFFDAFADFD（2）解：ADECDE30，ADFD，DEAFtanADE，AE2S平行四边形ABCD2SADEAEDE4【点睛】本题考查了平行四边形的性质及解直角三角形的知识，体现了转化的数学思想，难度不大