1、第14课函数模型及其应用【自主学习】第14课 函数模型及其应用(本课时对应学生用书第3436页)自主学习回归教材1. (必修1P110练习1改编)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 .已知山顶的温度是14.6 ，山脚的温度是26 ，则此山的高为m.【答案】1 900【解析】(26-14.6)0.6100=1 900.2. (必修1P32习题12改编)某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元.某单位购买x件(xN*，x15)，设最低的购买费用是f(x)，则f(x)的解析式是.【答案】f(x
2、)=【解析】这是一个典型的分段函数问题，由题意很容易得到结论.3. (必修1P71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为件.【答案】1 331【解析】1 000(1+10%)3=1 331.4. (必修1P31习题3改编)近几年由于房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆.已知小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(单位：万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是.【答案】y=80(1+x)10【解析】一年后的价格为80+80x=80(1+x)，两年
3、后的价格为80(1+x)+80(1+x)x=80(1+x)(1+x)=80(1+x)2，由此可推得10年后的价格为80(1+x)10.5. (必修1P100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(单位：元)与销售时间t(单位：天)的函数关系为P=tN，且该商品的日销售量Q(单位：件)与销售时间t(单位：天)的函数关系为Q=-t+40(0t30，tN)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第天.【答案】25【解析】设日销量金额为W元，则W=PQ=当0t25，tN时，W(t)0且a1)对数函数模型f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)=ax
4、n+b(a，b为常数，a0)分段函数模型上面两种或多种模型的综合3. 解函数应用题时，要注意四个步骤：第一步，阅读理解；第二步，引入数学符号，建立数学模型；第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；第四步，将所得结果再转译成具体问题的解答.【要点导学】要点导学各个击破二次函数模型例1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(单位：万元)与年产量x(单位：t)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8 000，已知此生产线年产量最大为210 t.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本.(2)若每吨产品平均出厂
5、价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?【思维引导】(1)根据函数模型，建立函数解析式；(2)求函数最值.【解答】(1)每吨平均成本为(万元)，则=+-482-48=32，当且仅当=，即x=200时取等号，所以年产量为200 t时，每吨平均成本最低，最低为32万元.(2)设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)=40x-y=40x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-(x-220)2+1 680 (0x210).因为R(x)在0，210上是增函数，所以当x=210时，R(x)有最大值，为-(210-220)2+1 680=1 660，所以年产量为21
6、0 t时，可获得最大利润1 660万元.【精要点评】二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.在解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得.变式A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处的D地建一核电站给A，B两城供电.为保证城市安全，核电站与城市的距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数=0.25.设A城供电量为20亿千瓦时/
7、月，B城为10亿千瓦时/月.(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远的地方，才能使供电费用最小?【思维引导】函数模型的建立，即将实际问题抽象为具体函数，根据核电站与城市的距离不得少于10 km确定x的取值范围，然后根据正比例关系确定y关于x的函数解析式，最后利用配方法求解最小值.【解答】(1)x的取值范围为10，90.(2)y=0.2520x2+0.2510(100-x)2=5x2+2.5(100-x)2(10x90).(3)y=5x2+2.5(100-x)2=7.5x2-500x+25 000=7.5+，当x=时，y取得最小值.故当核电站距A城
8、km时，才能使供电费用最小.【精要点评】本题首先利用正比例关系建立月供电总费用y的函数解析式，解决实际问题一定要注意自变量的取值范围(即函数的定义域)要符合实际情况，然后利用二次函数的知识解决问题.分段函数模型例2经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为销售时间t(单位：天)的函数，且日销售量近似地满足g(t)=-t+(1t100，tN).前40天价格为f(t)=t+22(1t40，tN)，后60天价格为f(t)=-t+52(41t100，tN)，试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.【思维引导】因为不同阶段日销售价格不同，所以确定日销售额S(t)是分段函数，然后在不同分段
9、上利用二次函数知识求解，最后综合分析，确定最值.【解答】当1t40，tN时，S(t)=g(t)f(t)=-t2+2t+=-(t-12)2+，所以768=S(40)S(t)S(12)=.当41t100，tN时，S(t)=g(t)f(t)=t2-36t+=(t-108)2-，所以8=S(100)S(t)S(41)=.所以S(t)的最大值为，最小值为8.【精要点评】由于价格函数f(t)是分段函数，所以日销售额S(t)也应分段求出；分别求出S(t)在各段中的最值，通过比较，最后确定S(t)的最值.利用二次函数知识研究最值，要注意定义域对其的影响.变式为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药薰消毒法进
10、行消毒，已知在药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)与时间t(单位：h)成正比，药物释放完毕后，y与t之间的函数关系式为y=(a为常数)，其图象如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题.(变式)(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(单位：mg)与时间t(单位：h)之间的函数关系式.(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室?【思维引导】(1)根据图象知，所求函数在0，0.1上是一次函数，设出解析式，而在(0.1，+)上解析式已知，依据图象上的点(0.1，1)求参数
11、；(2)即求函数值为0.25时对应的自变量的值.【解答】(1)当0t0.1时，设y=kt，图象过点(0.1，1)，从而1=0.1k，k=10，所以y=10t.又y=的图象过点(0.1，1)，得1=，所以0.1-a=0，a=0.1，所以当t0.1时，y=.故每立方米空气中的含药量y(单位：mg)与时间t(单位：h)之间的函数关系式为y=(2)由y=0.25，得，所以2t-0.21，解得t0.6，故从药物释放开始至少需要经过0.6 h后，学生才能回到教室.“y=x+”型函数模型的应用例3(2014黄冈中学模拟)某工厂去年某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元
12、.今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)=(k0，k为常数，nZ且n0).设产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n).(1)求k的值，并求出f(n)的表达式.(2)若今年是第1年，则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?【思维引导】(1)根据每只产品的固定成本g(0)=8知k的值及f(n)的表达式；(2)利用基本不等式确定最高利润.【解答】(1)g(n)=，当n=0时，可求得k=8，所以f(n)=(100+10n)-100n.(2)由f(n
13、)=(100+10n)-100n=1 000-80=1 000-801 000-802=520，当且仅当=，即n=8时取等号.所以第8年工厂的利润最高，最高利润为520万元.【精要点评】“y=x+”型函数模型的应用技巧：(1)“y=x+”型函数模型在实际问题中会经常出现.解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y=x+”型函数模型.(2)求函数解析式要确定函数的定义域.对于y=x+(a0，x0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可
14、借用导数来研究函数的单调性.变式(2014济南模拟)经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1t30，tN*)的旅游人数f(t)(单位：万人)近似地满足f(t)=4+，而人均消费g(t)(单位：元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.(1)求该城市的旅游日收益W(t)(单位：万元)与时间t(1t30，tN*)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值.【解答】(1)W(t)=f(t)g(t)=(120-|t-20|)=(2)当t1，20，W(t)=401+4t+401+2=441(t=5时取最小值)；当t(20，30时，因为W(t)=559+-4t单调递减，所以
15、当t=30时，W(t)取得最小值 W(30)=443.综上，该城市旅游日收益的最小值为441万元.指(对)数函数模型例4已知某物体的温度(单位：)随时间t(单位：min)的变化规律为=m2t+21-t(t0且m0).(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5 ；(2)若物体的温度总不低于2 ，求实数m的取值范围.【思维引导】(1)通过解方程确定时间，注意定义域对结果的影响；(2)转化为不等式恒成立问题，然后分离参数，通过求解相应函数的最值，确定实数m的取值范围.【解答】(1)若m=2，则=22t+21-t=2，当=5时，2t+=，令2t=x1，则x+=，即2x2-5x+2=0，解得x=2
16、或x=(舍去)，此时t=1，所以经过1 min，物体的温度变为5 .(2)物体的温度总不低于2 ，即2恒成立，即m2t+2恒成立，即m2恒成立.令=x，则0x1，所以m2(x-x2)，由于x-x2，所以m.因此当物体的温度总不低于2 时，m的取值范围是.【精要点评】解函数应用题的步骤：审题，弄清题意，分清条件和结论，确定数量关系，初步选择数学模型；建模，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模，求解数学模型，得出数学结论；还原，将数学问题还原为实际问题.变式牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：)的关
17、系为指数型函数y=kax，若牛奶在0 的冰箱中保鲜时间约为100 h，在5 的冰箱中保鲜时间约为80 h，那么在10 时保鲜时间约为h.【思维引导】本题的函数模型明确，因此将题目中的两组数据代入求解，确定参数k和a的值，最后将自变量x的值代入函数解析式，确定函数值.【答案】64【解析】由得k=100，a5=，所以当x=10时，保鲜时间为100a10=100=64(h).1.(2014湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为.【答案】-1【解析】设年平均增长率为x，则有(1+p)(1+q)=(1+x)2，解得x=-1.2.
18、(2014无锡模拟)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.【答案】9【解析】由题意得y=由y=22.6，可解得x=9.3.(2015曲塘中学模拟)我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬.研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量.当一只两岁燕子静止时的耗氧量是个单位.【答案
19、】10【解析】由题意知，当燕子静止时，它的速度v=0，代入已知函数关系式可得0=5log2，解得Q=10，即一只两岁燕子静止时的耗氧量是10个单位.4. (2015邗江中学模拟)某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为.(参考数据：lg 2=0.301 0，lg 3=0.477 0)【答案】14【解析】本题是指数函数模型与不等式综合问题.由(1-20%)nlog0.80.05，化简得n，解得n13.4，则n的最小值为14.5.(2014南京三模)某种树苗栽种时高度为A(A为常数)m，栽种n年后的高度记为f(n)
20、(单位：m).经研究发现f(n)近似地满足f(n)=，其中t=，a，b为常数，nN，f(0)=A.已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.(1)栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍?(2)该树木在栽种后哪一年的增长高度最大?【解答】(1)由题意知f(0)=A，f(3)=3A，所以解得a=1，b=8，所以f(n)=，其中t=.令f(n)=8A，得=8A，解得tn=，即=，所以n=9，所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍.(2)由(1)知f(n)=.第n年的增长高度为=f(n)-f(n-1)=-，所以=，当且仅当64tn=，即=时取等号，此时n=5，所以该树木栽种后第5年的
21、增长高度最大.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第2728页.【检测与评估】第14课函数模型及其应用一、 填空题1(2014江西五校联考)某种商品的进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，那么每件还获利元.2(2014北京卷改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为可食用率.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)之间满足函数关系p=at2+bt+c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为min.(第2题)3已知产品生产件数x与成本y(单位：万元)
22、之间的函数关系为y=3 000+20x-0.1x2若每件产品的成本不超过25元，且每件产品用料6 t.现有库存原料30 t，旺季可进原料900 t，则旺季最高产量是.4(2015辽宁实验中学模拟)拟定从甲地到乙地通话m min的话费(单位：元)由f(m)=1.06(0.5m+1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如3=3，3.7=3，3.1=3)，则从甲地到乙地通话6.5 min的话费为元.5(2015兖州模拟)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加10.4%，若经过x年可增长到原来的y倍，则函数y=f(x)的图象大致是.(填序号) (第5题)6(2014枣庄期末)在养分充足的情况下，细
23、菌的数量会以指数函数的方式增加.假设细菌A的数量每2 h可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5 h可以增加为原来的4倍.若现在养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的2倍，则需要的时间为.7如图，一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，以b为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为.(第7题)8(2014河南适应性测试)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=506x-0.15x2，L2=2x，其中x为销售量(单位：
24、辆).若该公司在甲、乙两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为.二、 解答题 9某种海洋生物的身长f(t)(单位：m)与生长年限t(单位：年)满足如下的函数关系：f(t)=(设该生物出生时的时刻t=0).(1)需经过多长时间，该生物的身长超过8 m?(2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米?并据此判断，这两年中哪一年长得更快.10据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k0).现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x km.
25、(1)试将y表示为x的函数； (2)若a=1，且当x=6时，y取得最小值，试求b的值.11(2014镇江期末)在2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销.某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只.(1)据市场调查，若每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入-月总成本)，则该口罩每只售价最多为多少元?(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价为x(x9)元，并投入(x-9)万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只，则当每只售价为多少元时，
26、下月的月总利润最大?并求出下月最大总利润.三、 选做题12(2015启东最后一卷)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐地普及开来.2015年5月据商报记者了解，中国(上海)电动汽车国际示范区运营服务公司将以嘉定为核心，逐步走向全市乃至全国的分时租赁的服务体系为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供可复制的市场化运营模式.现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元.根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆.设每辆电动汽车的日租金为x(单位：元)(60x300，xN*)，用
27、y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入(即一日出租电动汽车的总收入减去管理费用).(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多?【检测与评估答案】第14课函数模型及其应用1125【解析】九折出售时每件价格为100(1+25%)90%=112.5(元)，此时每件还获利112.5-100=12.5(元).23.75【解析】由题意得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5，即当t=3.75时，p有最大值.故最佳加工时间为3.75 min.3 155件【解析】由题意得150x15544.24【解析】因为
28、m=6.5，所以m=6，则f(m)=1.06(0.56+1)=4.245【解析】设某林区的森林蓄积量原有1个单位，则经过1年森林的蓄积量为1+10.4%；经过2年森林的蓄积量为(1+10.4%)2；经过x年森林的蓄积量为(1+10.4%)x(x0)，即y=1.104x(x0).底数1.104大于1，根据指数函数的图象，应填.610 h【解析】假设一开始两种细菌数量均为m，则由题意知经过x h后，细菌A的数量是f(x)=m，细菌B的数量是g(x)=m.令m=2m，解得x=1073【解析】由题意知实线部分的总长度l(b)=4(3-2b)+2b=(2-8)b+12，l是关于b的一次函数且一次项系数2
29、-8，所以第4年长得快.10 (1)设点C受A污染源污染指数为，则点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处受污染指数y=+.(2)因为a=1，所以y=+，则y=k，令y=0，得x=.又此时x=6，解得b=8，经验证符合题意.所以污染源B的污染强度b的值为8 11(1)设每只售价为x元，则月销售量为万只.由已知得(x-6)(8-6)5，所以x2-x+0，即2x2-53x+2960，解得8x，即每只售价最多为18.5元.(2)下月的月总利润：y=(x-6)-(x-9)=-x+=-x+=-+.因为x9，所以+2=，当且仅当=，即x=10时等号成立，所以ymax=14故当x=10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元.12(1)当60x90，xN*时，y=750x-1 725，当9065 775，所以当每辆电动汽车的日租金定在170元时，才能使一日的净收入最多.