1、解三角形大 题 考 法三角变换与解三角形的综合问题 题型(一)主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小(或三角函数值)，且常与三角恒等变换综合考查.典例感悟 例 1(2018南京学情调研)在ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，cos B45.(1)若 c2a，求sin Bsin C的值；(2)若 CB4，求 sin A 的值解(1)法一(角化边)：在ABC 中，因为 cos B45，所以a2c2b22ac45.因为 c2a，所以c22c2b22cc245，即b2c2 920，所以bc3 510.又由正弦定理得，sin Bsin Cbc，所以sin Bsin C3
2、510.法二(边化角)：因为 cos B45，B(0，)，所以 sin B 1cos2B35.因为 c2a，由正弦定理得 sin C2sin A，所以 sin C2sin(BC)65cos C85sin C，即sin C2cos C.又因为 sin2Ccos2C1，sin C0，解得 sin C2 55，所以sin Bsin C3 510.(2)因为 cos B45，所以 cos 2B2cos2B1 725.又 0B，所以 sin B 1cos2B35，所以 sin 2B2sin Bcos B235452425.因为 CB4，即 CB4，所以 A(BC)34 2B，所以 sin Asin34
3、2B sin34 cos 2Bcos34 sin 2B 22 725 22 242531 250.方法技巧 三角变换与解三角形综合问题求解策略(1)三角变换与解三角形综合问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件，如 ABC，sin(AB)sin C，cos(AB)cos C,以及在ABC 中，ABsin Asin B 等演练冲关 1(2019江苏高考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.(1)若 a3c，b 2，cos B23，求
4、 c 的值；(2)若sin Aacos B2b，求 sinB2 的值解：(1)因为 a3c，b 2，cos B23，由余弦定理，得 cos Ba2c2b22ac，即23（3c）2c2（2）223cc，解得 c213.所以 c 33.(2)因为sin Aacos B2b，由正弦定理asin Absin B，得cos B2b sin Bb，所以 cos B2sin B.从而 cos2B(2sin B)2，即 cos2B4(1cos2B)，故 cos2B45.因为 sin B0，所以 cos B2sin B0，从而 cos B2 55.因此sinB2 cos B2 55.2在ABC 中，AC6，co
5、s B45，C4.(1)求 AB 的长；(2)求 cosA6 的值解：(1)因为 cos B45，0B，所以 sin B1cos2B145235.由正弦定理知 ACsin B ABsin C，所以 ABACsin Csin B6 22355 2.(2)在ABC 中，ABC，所以 A(BC)，于是 cos Acos(BC)cosB4 cos Bcos4 sin Bsin4.又 cos B45，sin B35，故 cos A45 22 35 22 210.因为 0A，所以 sin A 1cos2A7 210.因此，cosA6 cos Acos6 sin Asin 6 210 32 7 210 12
6、7 2 620.解三角形与平面 向量结合 题型(二)主要考查以平面向量的线性运算和数量积为背景的解三角形问题.典例感悟 例 2(2018盐城模拟)设ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且ABC 面积的大小为 S，3 AB AC2S.(1)求 sin A 的值；(2)若 C4，AB AC16，求 b.解(1)由 3 AB AC2S，得 3bccos A212bcsin A，即 sin A3cos A.整理化简得 sin2A9cos2A9(1sin2A)，所以 sin2A 910.又 A(0，)，所以 sin A0，故 sin A3 1010.(2)由 sin A3cos A 和
7、 sin A3 1010，得 cos A 1010，又 AB AC16，所以 bccos A16，得 bc16 10.又 C4，所以 sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C3 1010 22 1010 22 2 55.在ABC 中，由正弦定理bsin Bcsin C，得 b2 55 c22，即 c 104 b.联立得 b8.方法技巧 解三角形与平面向量综合问题的求解策略(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响演练冲关 1(2018南
8、通三调)已知ABC 是锐角三角形，向量 m cosA3，sinA3，n(cos B，sin B)，且 m n.(1)求 AB 的值；(2)若 cos B35，AC8，求 BC 的长解：(1)因为 m n，所以 m ncosA3 cos BsinA3 sin BcosA3 B 0，又 A，B0，2，所以 A3 B6，56，所以 A3 B2，即 AB6.(2)因为 cos B35，B0，2，所以 sin B45.所以 sin AsinB6 sin Bcos6 cos Bsin6 45 32 35124 3310.由正弦定理，得 BCsin Asin BAC4 33104584 33.2(2019南
9、京盐城一模)在ABC 中，设 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，记ABC 的面积为 S，且 2S AB AC.(1)求角 A 的大小；(2)若 c7，cos B45，求 a 的值解：(1)由 2S AB AC，得 bcsin Abccos A，因为 A(0，)，所以 tan A1，A4.(2)在ABC 中，cos B45，所以 sin B35，所以 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B7 210.由正弦定理asin Acsin C，得 a22 77 210，解得 a5.以平面图形为背景 的解三角形问题 题型(三)此类问题的本质还是主要考查利用正、余弦定理求解
10、三角形或多边形的边长、角度和面积的问题.典例感悟 例 3(2018南通调研)如图，在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ab(sin Ccos C)(1)求ABC；(2)若A2，D 为ABC 外一点，DB2，DC1，求四边形 ABDC 面积的最大值解(1)在ABC 中，因为 ab(sin Ccos C)，所以 sin Asin B(sin Ccos C)，所以 sin(BC)sin B(sin Ccos C)，所以 sin Bcos Ccos Bsin Csin Bsin Csin Bcos C,所以 cos Bsin Csin Bsin C，又因为 C(0，)，故 sin C
11、0，所以 cos Bsin B，即 tan B1.又 B(0，)，所以 B4，即ABC4.(2)在BCD 中，DB2，DC1，BC21222212cos D54cos D.又 A2，由(1)可知ABC4，所以ABC 为等腰直角三角形，SABC12BC12BC14BC254cos D，又 SBDC12BDDCsin Dsin D,所以 S 四边形 ABDC54cos Dsin D54 2sinD4.所以当 D34 时，四边形 ABDC 的面积有最大值，最大值为54 2.方法技巧 以平面图形为背景的解三角形问题的求解思路建联系在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公
12、共条件，通过公共条件形成等式，常常将所涉及的已知几何量与所求几何量集中到某一个三角形用定理“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理演练冲关 1(2019姜堰中学模拟)如图，在梯形 ABCD中，ABCD，BCD2BAD，BD2，AB 6，cosBCD13.(1)求 AD 的长；(2)求 cosCBD.解：(1)因为BCD2BAD，所以 cosBCD2cos2BAD113，得 cos2BAD13.因为BAD0，2，所以 cosBAD 33.在ABD 中，由余弦定理得 BD2AD2AB22ADABcosBAD，即
13、4AD262AD 6 33，得 AD 2.(2)由(1)可得 AD2BD2AB2，所以ADB2，所以 sinABD 33，cosABD 63.因为 ABCD，所以BDCABD，所以 sinBDC 33，cosBDC 63，所以 cosCBDcos(BCDBDC)sinBCDsinBDCcosBCDcosBDC2 23 33 13 63 63.2(2018盐城中学调研)如图，在ABC 中，B3，BC2，点 D 在边 AB 上，ADDC，DEAC，E 为垂足(1)若BCD 的面积为 33，求 CD 的长；(2)若 ED 62，求 A 的大小解：(1)由已知得 SBCD12BCBDsin B 33，又 BC2，B3，BD23，在BCD 中，由余弦定理得 CD2BC2BD22BCBDcos B289，CD2 73.(2)在 RtCDE 中，CDDEsin DCE.ADDC，ADCE，CD DEsin A62sin A.在BCD 中，由正弦定理，得BCsinBDC CDsin B，又BDC2A，得2sin 2A CDsin3，CD3sin 2A，CD62sin A3sin 2A，解得 cos A 22，A4.
