1、第11课对数的运算【自主学习】第11课 对数的运算(本课时对应学生用书第2728页)自主学习回归教材1. (必修1P58习题5改编)计算：lo(2-)=.【答案】-1【解析】方法一：利用对数定义求值.设lo(2-)=x，则(2+)x=2-=(2+)-1，所以x=-1.方法二：利用对数的运算性质求解.lo(2-)=lo=lo(2+)-1=-1.2. (必修1P80习题6改编)计算：(lg 5)2+lg 2lg 50=.【答案】1【解析】原式=(lg 5)2+lg 2(1+lg 5)=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2=1.3. (必修1P80习题12改编)已知lg 6=a，lg 12=b，
2、则用a，b表示lg 24=.【答案】2b-a【解析】lg 24=lg =2lg 12-lg 6=2b-a.4. (必修1P63习题5改编)若log34log48log8m=log416，则m=.【答案】9【解析】由已知有=2lg m=2lg 3m=9.5. (必修1P63练习8改编)方程lg x+lg(x+3)=1的解x=.【答案】2【解析】原方程等价于解得x=2.1. 对数的相关概念(1) 对数的定义：如果ab=N(a0，a1)，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaN=b.(2)常用对数和自然对数常用对数：以10为底N的对数，简记为lg N；自然对数：以e为底N的对数，简记为ln N.(
3、3)指数式与对数式的相互转化ab=NlogaN=b(a0，a1，N0)，两个式子表示的a，b，N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.2. 对数运算的性质(M0，N0，a0，a1)(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)loga=logaM-logaN；(3)logaMn=nlogaM.3. 对数换底公式(N0，a0，a1，b0，b1)logbN=.由换底公式可以得到：logab=，lobm=logab，logablogbc=logac.4. 几个常用的结论(N0，a0，a1)(1)logaa=1，loga1=0；(2)logaaN=N，=N.【要点导学】要点导学各个击破对数式
4、的计算例1计算：(1)lg 14-2lg+lg 7-lg 18；(2)2log32-log3+log38-；(3)lg -lg +lg.【思维引导】本题直接利用对数的运算性质进行计算.【解答】(1)原式=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.(2)原式=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.(3)原式=(lg 32-lg 49)-lg +lg 245=(5lg 2-2lg 7)-lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=.【精要点评】对数的运算主要是要熟练掌
5、握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：尽量把每一个真数分解成最简因式的乘积形式，巧妙利用关系lg 2+lg 5=1.变式(2015涟水中学模拟)计算：(1)lg +lg 70-lg 3-；(2)-452-11.【解答】(1)原式=lg -=lg 10-=1-|lg 3-1|=lg 3.(2)原式=-2102-11=-2-1=-.【精要点评】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算过程中要注意化同底或指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三条运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算
6、、化简、证明常用的技巧.指数式与对数式的相互转化例2已知实数x，y，z满足3x=4y=6z1.(1)求证：+=；(2)试比较3x，4y，6z的大小.【思维引导】设法将x，y，z从已知条件中解出，即令k=3x=4y=6z1，将指数式化成对数式，再证明与比较.【解答】(1)令k=3x=4y=6z1，则x=log3k，y=log4k，z=log6k，于是=logk3，=logk4，=logk6，从而+=2logk3+logk4=logk32+logk4=logk36=2logk6=，等式成立.(2)由于k1，故x，y，z0.=1；=1.所以3x4y0且a1，且logam+loga+loga+loga
7、=logam+logan，求m，n的值.【检测与评估答案】第11课对数的运算12【解析】原式=lg 52+lg 2(lg 10+lg 5)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2+lg 2lg 5+(lg 2)2=2lg 5+lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)=2lg 5+2lg 2=22 2【解析】由f(ab)=1，得ab=10，于是f(a2)+f(b2)=lg a2+lg b2=lg(a2b2)=2lg(ab)=2lg 10=23 lg 3【解析】令3=10x，则x=lg 341【解析】因为a2a5=a3a4=10，所以lg a3+lg a4=lg(a3a4)=lg10=15 1【解析
8、】f(4)=log2 4=2，f(2)=16-4【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0，所以m=-1，所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-(5-1)=-47 100【解析】原式=1+4=(42+(72=36+64=100.8610 000【解析】由M=lg A-lg A0，知M=lg 1 000-lg 0.001=6，所以此次地震的震级为6级.设9级地震的最大振幅为A1，5级地震的最大振幅为A2，则lg=lg A1-lg A2=(lg A1-lg A0)-(lg A2-lg A0)=9-5=4，所以=104=10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的10
9、000 倍.9(1)原式=log535+log550-log514+2lo=log5+lo2=log553-1=2(2)原式=(log66-log63)2+log62log6(232)log64=log622=(log62)2+(log62)2+2log62log63(2log62)=log62+log63=log6(23)=110原方程可化为2(lg x)2-4lg x+1=0，设t=lg x，则原方程可化为2t2-4t+1=0，所以t1+t2=2，t1t2=.已知a，b是原方程的两个根，则t1=lg a，t2=lg b，所以lg a+lg b=2，lg alg b=，所以lg(ab)(logab+logba)=(lg a+lg b)=2=12.11由已知得 lg=lg(xy)，故=xy，即x2-6xy+y2=0，所以-6+1=0，所以=32.又因为0及x，y0，所以xy0，即1，从而=3+2，故=1+.12左边=logam+loga+loga+loga=loga=loga(m+n)，所以已知等式可化为loga(m+n)=logam+logan=loga(mn).比较真数得m+n=mn，即(m-1)(n-1)=1因为m，n为正整数，所以 解得