1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十二)空间向量的数量积运算 (30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.已知|a|=1,|b|=,且 a-b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为()A.60 B.30 C.135 D.45【解析】选 D.因为 a-b 与 a 垂直,所以(a-b)a=0,所以 aa-ab=|a|2-|a|b|cos=1-1cos=0,所以 cos=.因为 0180,所以=45.2.(2014广州高二检测)若 a,b 均为非零向量,则 a
2、b=|a|b|是 a 与 b 共线的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】选 A.ab=|a|b|cos=1=0,即 a 与 b 共线,反之不成立,因为当 a 与 b 共线反向时,ab=-|a|b|.3.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么|a+3b|等于()A.B.C.D.4【解 析】选 C.|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a b+9b2=1+6 cos60 +9=13.所 以|a+3b|=.4.(2014青岛高二检测)已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为()A
3、.8 B.C.4 D.【解析】选 D.cos=a ba b=,所以 sin=,所以平行四边形的面积 S=|a|b|sin=.5.已知 PA平面 ABC,垂足为 A,ABC=120,PA=AB=BC=6,则 PC 等于()A.6 B.6 C.12 D.144【解析】选 C.因为=+,所以=+2=36+36+36+236cos60=144.所以|=12.6.(2014福州高二检测)若向量 m 垂直于向量 a 和 b,向量 n=a+b(,R,且0),则()A.mn B.mn C.m,n 既不平行也不垂直 D.以上三种情况都可能【解析】选 B.因为 mn=m(a+b)=ma+mb=0,所以 mn.【一
4、题多解】选 B.由向量 n=a+b(,R,且0)知向量 n 与向量 a,b共面,故向量 mn.二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)7.已知 i,j,k 是两两垂直的单位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,则 ab 等于 .【解析】ab=(2i-j+k)(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:-2 8.已知空间向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则 ab+bc+ca 的值为 .【解题指南】本题的关键是利用条件 a+b+c=0,两边平方,再结合模求解.【解析】因为 a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,所以 a2+b2+c2+2(
5、ab+bc+ca)=0,所以 ab+bc+ca=-=-13.答案:-13 9.(2014聊城高二检测)设|m|=1,|n|=2,2m+n与m-3n垂直,a=4m-n,b=7m+2n,则=.【解析】因为(2m+n)(m-3n),所以(2m+n)(m-3n)=0,化简得 mn=-2.又因为|a|=2a=2(4)mn=6,|b|=3,ab=(4m-n)(7m+2n)=28|m|2-2|n|2+mn=18,所以 cos=a ba b=1,得=0.答案:0【变式训练】已知 a+3b 与 7a-5b 垂直,且 a-4b 与 7a-2b 垂直,求.【解析】(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2
6、+16ab=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0,解之得|b|2=2ab=|a|2,所以 cos=a ba b=,所以=60.三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)10.如图所示,已知ADB 和ADC 都是以 D 为直角顶点的直角三角形,且AD=BD=CD,BAC=60.求的值.【解析】不妨设 AD=BD=CD=1,则 AB=AC=.=(-)=-,由于=(+)=1,=|cos60=1.所以=0.11.(2014牡丹江高二检测)如图所示,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形,且C1CB=C1CD=BCD=60.求证:CC1BD.
7、【解题指南】利用已知条件表示所证明的两条直线所在的向量的数量积为 0,即可证明两条直线垂直.【证明】设=a,=b,=c,则|a|=|b|.因为=-=b-a,所以=(b-a)c=bc-ac=|b|c|cos60-|a|c|cos60=0,所以,即 CC1BD.(30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.已知 a,b 是异面直线,ab,e1,e2 分别为取自直线 a,b 上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,则实数 k 的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3【解析】选 B.由 ab,得 ab=0,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0.
8、因为 e1e2=0,所以 2k-12=0,所以 k=6.2.(2014 郑 州 高 二 检 测)设 平 面 上 有 四 个 互 异 的 点 A,B,C,D,已 知(+-2)(-)=0,则ABC 是()A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形【解析】选 B.因为+-2=(-)+(-)=+,所以(+)(-)=|2-|2=0,所以|=|.3.(2014银川高二检测)已知在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,同一顶点为端点的三条棱长都等于 1,且彼此的夹角都是 60,则此平行六面体的对角线 AC1的长为()A.B.2 C.D.【解析】选 D.因为=+,所 以|2=(+)
9、2=+2+2+2=1+1+1+2(cos60+cos60+cos60)=6,所以|=.【拓展延伸】求两点间的距离或某条线段的长度 先将此线段用向量表示,然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量,最后利用|a|2=aa,通过向量运算去求|a|,即得所求距离.4.(2014天津高二检测)如图,正四面体 ABCD 中,E 是 BC 的中点,那么()A.D.与不能比较大小【解析】选 C.因为=(+)(-)=(|2-|2)=0,=(+)=(-)+=|cos120-|cos120+|cos120.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)5.如图,四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2,点 E,F 分别为棱
10、 AB,AD 的中点,则|+|=,|-|=,与所成角为 .【解题指南】可先化简+知其等于,再用表示进而把向量-用向量,表示.【解析】|+|=|=2;=,=22cos60=2,故|-|2=|-|2=-+=4-2+4=3,故|-|=.又因为=(-),故=(-)=(-)=0,因为 0180,所以=90.答案:2 90 6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:(+)2=3;(-)=0;与的夹角为 60;正方体的体积为|.其中正确命题的序号是 .【解 析】如 图 所 示,(+)2=(+)2=3;(-)=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为 60,故与的夹角为 120;正方体的体积为|
11、.综上可知,正确.答案:三、解答题(每小题 12 分,共 24 分)7.已知正四面体 OABC 的棱长为 1,点 E,F 分别是 OA,OC 的中点.求下列向量的数量积:(1).(2)(+)(+).(3)|+|.【解题指南】根据数量积的定义进行计算,求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角,注意充分结合正四面体的特征.【解析】(1)因为 E,F 分别是 OA,OC 的中点,所以 EFAC,且 EF=AC,于是=|cos=|cos=11cos=11cos60=.(2)(+)(+)=(+)(-+-)=(+)(+-2)=+-2+-2=1+-2+1-2=1.(3)|+|=.【拓展延伸】利用图形找关系
12、在几何体中进行向量的数量积运算,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.8.(2014济南高二检测)如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面边长为.(1)设侧棱长为 1,计算.(2)设与的夹角为,求|.【解析】(1)=+,=+.因为 BB1平面 ABC,所以=0,=0.又ABC 为正三角形,所以=-=-=.因为=(+)(+)=+=|cos+=-1+1=0,所以=90.(2)结合(1)知=|cos+=-1.又|=|,所以 cos=,所以|=2.【变式训练】如图所示,已知三棱锥 A-BCD 中,AB=CD,AC=BD,E,F 分别是 AD,BC 的中点,试用向量方法证明 EF 是 AD 与 BC 的公垂线.【解析】因为点 F 是 BC 的中点,所以=(+).所以=-=(+)-=(+-).又|=|=|-|,所以=-2+,同理=-2+.由代入可得=-2+-2+,所以 2-2(+)=0,所以(+-)=0.所以(+-)=0.所以=0,.同理可得,所以 EF 是 AD 与 BC 的公垂线.关闭 Word 文档返回原板块