1、山东师大附中2015级高三第三次模拟考试数学（理科）试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分考试用时120分钟。注意事项：1答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠
2、、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液，修正带、刮纸刀。第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3.设随机变量服从正态分布，若，则=（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数 的图象，需要把函数 的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位6.右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是
3、（ ） A. 51 B. 58 C. 61 D. 62 7. 将编号的小球放入编号为盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编 号不能相同，则不同的放球方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. ( ) A. B. C. D. 9.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的 区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为（ ） A. B. C. D. 10. “ ”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11. 若点是所在平面内的任意一点，满足 ，则与 的面积之比为（ ） A. B. C. D. 12.设
4、是定义在上的偶函数，满足，当时，. 方程在区间内实根的个数为（ ） A. B. C. D. 第卷二、 填空题：本题共4小题，每小题5分13. 若，则向量在向量方向上的投影为 . 14.为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算回归直线方程为，由以上信息可得表中的值为 .天数繁殖数量（千个）15.已知 的展开式中第五项与第七项的系数之和为 ,其中为虚数单位，则展开式中常数项为 . 16.已知是上的连续可导函数，满足. 若，则不等式的解集为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本题满分10分）在中，角的对边分别是，已知，（I）求的值；（
5、） 若角为锐角，求的值及的面积18. （本题满分12分）已知函数.（I）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（） 当时，讨论函数的单调性.19. （本题满分12分）学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数，成绩分记为优秀）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；（）为参加市里举办的安全知识竞赛，学校举办预选赛.已知在学校安全知识竞赛中优秀的同学通过预选赛的概率为，现在从学校安全知识竞赛中优秀的同学中选3人参加预选赛，若
6、随机变量表示这3人中通过预选赛的人数，求的分布列与数学期望.20. （本题满分12分）已知.（）求函数最小正周期及其图象的对称轴方程；（）已知锐角的内角的对边分别为，且，求周长的最大值21.（本题满分12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.统计情况如下表：（单位：人）几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（）经过多次测试发现：女生甲解答一道几何题所用的时间在57分钟，女生乙
7、解答一道几何题所用的时间在68分钟，现甲、乙两人独立解答同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；（III）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 22.（本题满分12分）已知（）证明：图象恒在直线的上方；（）若在恒成立，求的最小值.参考答案一、选择题题号123456789101112答案DABBCDCCBDAD 二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17. 解
8、：（I） 因为，且 ，所以 因为，由正弦定理，得（） 由得 由余弦定理，得解得或（舍负） 所以 18. 解：函数定义域，求导得（I）由已知得，得；（II）记（1）当即时，函数在上单调递增；（2）当即时，令，解得.又，故.当时，函数单调递增，当时，函数单调递减.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，函数在单调递减. 19. 解：（）设分数在70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，则有（0.01+0.0152+0.025+0.005）10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示 （）平均分为：（）的可能取值为0,1,2,3 故所求分布列为 X0123P 20.解
9、：（），令，解得，函数图象的对称轴方程为.（）由（）可得，即，由余弦定理可知当且仅当时等号成立.于是.故周长的最大值为. 21. 解：（）由表中数据得的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为由几何概型即乙比甲先解答完的概率（III）由题可知可能取值为0，1，2，故的分布列为：012 22. 解（）由题意只需证 即证明在上恒成立。令， 即单调递增。又，所以在唯一的解，记为，且 可得当所以只需最小值 易得，所以.所以结论得证。 （）令，则， 所以，当时，要使，只需 要使成立，只需恒成立。令则，由当时， 此时有成立。 所以满足条件。当时， 此时有 不符合题意，舍去。当时，令得可得当时，。即时，不符合题意舍去。综上， 又 所以的最小值为。
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