1、 1绝对值的有关概念(2)实数a、x分别对应数轴上的点A，B，原点O，则|a|的几何意义是|ax|的几何意义是点A到原点的距离AB之间的距离 2性质|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件是.|ab|a|b|ab0|ab|a|b|ab0|a|b|ab|(ab)b0|a|b|ab|(ab)b0 3常用结论 1不等式|2x21|1的解集为()Ax|1x1 Bx|2x2 Cx|0 x2 Dx|2x0 答案 A 解析 由|2x21|1得12x211.0 x21，即1x1.2设a、b是满足ab|ab|B|ab|ab|C|ab|a|b|D|ab|a|b|答案 B 3若实数a、b、c满足|ac|b|c|B|
2、a|cbDa|ac|a|c|a|b|c|.考查公式，|ac|a|c|的应用，4不等式|x3|x2|a的解集为，则实数a的取值范围是_ 答案 a5 题型一 含绝对值的不等式 例1 a、bR，求|ab|a|b|成立的充要条件【解析】|ab|a|b|(ab)2(|a|b|)2 a22abb2a22|a|b|b2 ab|a|b|ab0|ab|a|b|成立的充要条件为ab0 探究1 每一个公式都有相应成立的条件，如果不注意往往出现逻辑错误 思考题1(1)|ab|a|b|成立的充要条件为_|ab|a|b|成立的充要条件为_|ab|a|b|成立的充要条件为_【答案】ab0(2)已知实数a(0,1)，则关于x
3、的不等式|xlogax|x|logax|的解集为_【答案】(0,1)【解析】|xlogax|0logax0 0 x2 3 1x22x1 xa恒成立，则a的取值范围为_【答案】a3【解析】xR时|x2|x1|的最小值为3.a3(2)(09重庆)不等式|x3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A(，14，)B(，25，)C1,2 D(，12，)【答案】A【解析】|x3|x1|(x3)(x1)|4，a23a4恒成立a(，14，)(3)已知|x1|1，|y2|3，则|xy|的最大值为_【答案】7【解析】|xy|(x1)(y2)3|x1|y2|31337 题型三 含绝对值不等式的
4、证明【分析】可仿照高中数学第二册(上)P27例3的方法证明例 3()已知|a|1，|b|1；()求实数 的取值范围，使不等式|1abab|1 对满足|a|1，|b|1 的一切实数 a，b 恒成立【解析】()证明|1ab|2|ab|21a2b2a2b2(a21)(b21)|a|1，|b|1，a210，b210，|1ab|ab|.|1abab|1ab|ab|1.()解|1abab|1|1ab|2|ab|2(a221)(b21)0.又b21，a2210 对于任意满足|a|1 的 a 恒成立当 a0 时，a2210 成立；当 a0，要使 21a2对于任意满足|a|1，|1.的取值范围是11.探究3 证
5、明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一是恰当地运用|a|b|ab|a|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法思考题 3 设函数 f(x)在0,1上有意义，f(0)f(1)，对于任意 x1，x20,1，都有：|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|12【证明】不妨设 0 x1x21|f(x1)f(x2)|f(x1)f(0)f(x2)f(1)|f(x1)f(0)|f(x2)f(1)|x11x2又|f(x1)f(x2)|x2x12|f(x1)f(x2)|1|f(x1)f(x2)|m或|xa|xb|m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便 2含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|ab|a|b|及推广形式|a1a2an|a1|a2|an|进行放缩 3应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定注意等号成立的条件