1、第二章2.32.3.2基础巩固一、选择题1下列命题中：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()A BC D答案B解析对，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对，因为不垂直于棱，所以是错误的；是正确的，故选B点评根据二面角的相关概念进行分析判定2已知直线l平面
2、，则经过l且和垂直的平面()A有1个 B有2个C有无数个 D不存在答案C解析经过l的平面都与垂直，而经过l的平面有无数个，故选C3以下三个命题中，正确的命题有()一个二面角的平面角只有一个；二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A0个 B1个C2个 D3个答案B解析仅正确4已知，是平面，m、n是直线，给出下列表述：若m，m，则；若m，n，m，n，则；如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交；若m，nm，且n，n，则n且n.其中表述正确的个数是()A1 B2C3 D4答案B解析是平面与平面垂直的判定定理，所以正确；中
3、，m，n不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以不正确；中，还可能n，所以不正确；中，由于nm，n，m，则n，同理n，所以正确5在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，则二面角l的平面角的大小为()A30 B60C30或150 D60或120答案D解析如图，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角，AB6，BC3，BAC30，ADB60，二面角大小为60或120.6(2015福建泉州质量检测)在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDFBDF平
4、面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析可画出对应图形，如图所示，则BCDF，又DF平面PDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A成立；由AEBC，PEBC，BCDF，知DFAE，DFPE，DF平面PAE，故B成立；又DF平面ABC，平面ABC平面PAE，故D成立二、填空题7在三棱锥PABC中，已知PAPB，PBPC，PCPA，如右图所示，则在三棱锥PABC的四个面中，互相垂直的面有_对答案3解析PAPB，PAPC，PBPCP，PA平面PBC，PA平面PAB，PA平面PAC，平面PAB平面PBC，平面PAC平面PBC同理可证：平面PAB平面PAC8如下图所示，在长方体A
5、BCDA1B1C1D1中，BC2，AA11，E，F分别在AD和BC上，且EFAB，若二面角C1EFC等于45，则BF_.答案1解析AB平面BC1，C1F平面BC1，CF平面BC1，ABC1F，ABCF，又EFAB，C1FEF，CFEF，C1FC是二面角C1EFC的平面角，C1FC45，FCC1是等腰直角三角形，CFCC1AA11.又BC2，BFBCCF211.三、解答题9(2013山东)如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点求证：平面EFG平面EMN.分析本题可以根据已知条件证明AB平 EFG，然后利用MNAB得到平面
6、EFG平面EMN.证明因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA又ABPA，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD又ABCD，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PDa，PAPCa，(1)求证：PD平面ABCD；(2)求证：平面PAC平面PBD；(3)求二面角PACD的正切值解析(1)PDa，DCa，PCa，PC2PD2DC2，PDDC同理可证PDAD，又ADDCD，PD平面ABCD
7、(2)由(1)知PD平面ABCD，PDAC，而四边形ABCD是正方形，ACBD，又BDPDD，AC平面PDB同时，AC平面PAC，平面PAC平面PBD(3)设ACBDO，连接PO.由PAPC，知POAC又由DOAC，故POD为二面角PACD的平面角易知ODa.在RtPDO中，tanPOD.能力提升一、选择题1设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中，正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直答案B解析由题意，m与斜交，令其在内的射影为m，则在内可作无数条与m垂直的直线，它们都与m
8、垂直，A错；如图示(1)，在外，可作与内直线l平行的直线，C错；如图(2)，m，.可作的平行平面，则m且，D错2把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则ABC是()A正三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案A解析设正方形边长为1，AC与BD相交于O，则折成直二面角后，ABBC1，AC1，则ABC是正三角形3自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A相等 B互补C互余 D无法确定答案B解析如图，BD、CD为AB、AC所在平面与、的交线，则BDC为二面角l的平面角且ABDACD90，ABDC180.4如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC
9、、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAHEFH所在平面BAGEFH所在平面CHFAEF所在平面DHGAEF所在平面答案A解析由平面图得：AHHE，AHHF，AH平面HEF，选A二、填空题5在三棱锥PABC中，PAPBACBC2，PC1，AB2，则二面角PABC的大小为_.答案60解析取AB中点M，连接PM，MC，则PMAB，CMAB，PMC就是二面角PABC的平面角在PAB中，PM1，同理MC1，则PMC是等边三角形，PMC60.6(1)若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个
10、二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是_.(2)若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角大小关系为_.答案(1)相等或互补(2)不定解析(2)易误答相等或互补，想象门的开关，构造符合题意的模型即可三、解答题7(2015湖南卷)(本小题满分12分)如下图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点()证明：平面AEF平面B1BCC1；()若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积答案()略；()分析()首先证明AEBB1，AEBC，得到AE平面B1BCC1，利用面面垂直的判定与性质定理可得平
11、面AEF平面B1BCC1；()设AB的中点为D，证明角CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知CA1D45，求出棱锥的高与底面积即可求解几何体的面积解析()如图，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AEBB1，又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC，因此AE平面B1BCC1，而AE平面AEF，所以平面AEF平面B1BCC1.()设AB的中点为D，连接A1D，CD，因为ABC是正三角形，所以CDAB，又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1，因此CD平面A1AB1B，于是CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知CA1D45，所以A1D
12、CDAB，在RtAA1D中，AA1，所以FCAA1，故三棱锥FAEC的体积VSAECFC.8如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA.(1)证明：平面PBE平面PAB；(2)求二面角ABEP的大小解析(1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且BCD60知，BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB，又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE.而PAABA，因此BE平面PAB又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB(2)由(1)知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE.又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中，tanPBA，PBA60.故二面角ABEP的大小是60.