1、学案2 排列与组合考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3考点4返回目录考 纲 解 读 排列与组合1.理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.2.理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.考 向 预 测 排列与组合的应用是高考考查的重点内容之一，每年高考都有一两个小题出现.主要考查有附加条件的排列与组合的应用题，难度一般不会太大，属于容易或中档题，而且常与概率结合在一起命题.返回目录排列与排列数 组合与组合数 定义 1.排列:一般地,从n个不同元素中取 出m(mn)个元素,叫做从n个 列.特别地,当n=m时
2、,叫做n个不同元素 的一个 .2.排列数:从n个不同元素中取出 m(mn)个元素 的 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数 1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.按照一定的顺序排成一列全排列所有不同排列的个数合成一组所有不同组合的个数返回目录表示法组合数公式排列数公式=或=组合数公式或性质=n!;0!=1备注n,mN+且mnmnAmnCmnAmnAnnA-1mnmnm1n0nm-nnmnCCC1CCC+=+=mmmnmnAAC
3、m)!-(nm!n!Cmn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m)!-(n n!m!1)m-(n2)-1)(n-n(n+返回目录(1)解方程:(2)计算：考点1 有关排列、组合的计算【分析】利用排列数和组合数公式进行解答.;6A2A3A2x21x3x+=+.CC3nn21n-383n+返回目录【解析】（1）由得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),整理得3x2-17x+10=0.解得x=5或(舍去).即原方程的解为x=5.2x21x3x6A2A3A+=+32返回目录38-n03n38-nn+213n38-n,3n,21+nN*.解得n 且nN*,n=10.（2）依题意得2
4、19221466CCCCCC131230303128303nn21n-383n=+=+=+返回目录（1）和中，m,n须满足nm0且m,nN*.（2）在计算组合数、排列数时多用公式的多项式或分式形式，在有关化简或证明题中多用阶乘式.mnAmnC返回目录证明下列恒等式：（1）（2）;AmAAm1n-1mnmn+=+.CCCCC1mnmmm1mm2-nm-1n+=+返回目录证明:（1）证法一：左端=证法二：表示从n+1个元素中取m个元素的排列个数，其中不含某元素a1的有个，含有a1的可这样进行排列：先排a1,有m种排法，再从另外n个元素中取出m-1个元素排在剩下的m-1个位置上，有种排法，故含a1的
5、有种排法.由加法原理知：.Am)!-1(n1)!(n1)!m-(nm)1m-(nn!1)!m-(nmn!m)!-(nn!m1n+=+=+=+m1nA+mnAm1nA+.AmAAm1n-1mnmn+=+-1mnmA返回目录（2）由组合数性质知：左边=右边.CCCCCCCCCCCCCCCCCCC.CCC1mn1m-1nm-1n1m3mm3mm2-nm-1n1m2mm2mm2-nm-1n1m1mm1mm2-nm-1nmmm1mm2-nm-1nr1n-1rnrn+=+=+=+=+=+=+返回目录有3名男生，4名女生，按下述要求，分别求出其不同排列的种数.（1）选其中5人排成一行；（2）全体排成一行，其
6、中甲只能在中间或者两头的位置；（3）全体排成一行，其中甲、乙必须在两头；（4）全体排成一行，其中甲不在首，乙不在尾；（5）全体排成一行，其中男、女生各站在一起；（6）全体排成一行，其中男生、女生都各不相邻；（7）全体排成一行，其中男生不能排在一起；（8）全体排成一行，其中甲、乙、丙按自左至右的顺序保持不变；（9）全体排成一行，甲、乙两人间恰有3人；（10）全体排成前后两排，前排3人，后排4人.考点2 排列问题返回目录【分析】本题包括了有限制条件的排列问题的几种基本类型，注意在处理这类问题时一般应遵循：“先特殊，后一般”的原则，即先考虑特殊的元素或特殊的位置，再考虑一般的元素和位置，对于“必相邻
7、”元素，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻”元素常采用“插空法”的技巧，此外“正难则反”是处理排列问题的一个重要策略，还是检查结果是否正确的重要手段.返回目录【解析】（1）由排列的定义可知不同排列的种数为=2 520.（2）首先在中间或两头之一排甲，共有种方法；其次在所剩的6个位置上对其余6人进行全排列，共有种方法，依分步乘法计数原理，所有不同的排列数为=2 160.（3）仿（2）先排甲、乙共种排法，其余5人尚有种排法，故共有=240种不同排法.（4）当乙排在首位时，共有种排法;当乙不在首位时，先排乙有种方法，再排甲也有种方法，最后其余各元素有种方法，故共有种不同排法.所有不同的排列种数为=
8、3 720.57A13A66A66A13A22A55A22A55A66A15A15A55A551515AAA55151566AAAA+返回目录（5）将男生、女生分别各看成一个元素，其排法有种，又男生的排列有种，女生的排列有种，由分步乘法计数原理，所有不同的排列数为=288.（6）先排男生有种排法，此三人中间及两端恰有4空供女生排列，有种排法，从而共有 =144不同的排列.（7）从7人的全排列中除去男生皆相邻的情况即可，故所求不同排列数为-=4 320.（8）只须在7个位置中选4个位置将女生进行排列，再将3名男生按顺序插入，共有=840种不同排法.22A33A44A44A33A22A33A44A
9、33A44A77A5533AA47A返回目录（9）先选3人排在甲、乙之间，有种排法，又因甲、乙排列有种，再将此5人看作一个元素与其余2人进行全排列有种，故共有=720种不同排法.（10）前后二排形式变化，顺序之实犹存，其排法仍有种.22A77A33A35A35A22A33A本题主要考查解排列、组合的一些基本方法.返回目录给定数字0,1,2,3,5,9，每个数字最多用一次.（1）可以组成多少个四位数？（2）可以组成多少个四位奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？（1）解法一：从“位置”考虑，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字中任取3个排列，所以可以组成
10、=300（个）四位数.解法二：从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字0的有 个，无数字0的有个，所以共组成 +=300（个）四位数.15A15A35A13A35A45A13A35A45A返回目录解法三：间接法，从6个元素中取出4个元素的所有排列中，减去0在首位上的排列数即为所求.所以共有-=300（个）四位数.（2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数有种排法，首位数字不能是0，则在余下的4个非0数字中取1个有种取法，其余两个数位的排法是，所以共有 =192（个）四位奇数.（3）解法一：间接法，由（1），（2）知共有300-192=108（个）四位偶数.解法二：从“位置”考
11、虑，按个位数字是否为0分成两种情况，0在个位时有个四位偶数，2在个位时，有个四位偶数，共有+=108（个）四位偶数.46A3511AA14A14A24A14A24A3511AA14A14A24A11A3511AA14A24A11A返回目录7名男生和5名女生中选取5人,分别求符合下列条件的选法总数有多少种?(1)A,B必须当选;(2)A,B必不当选;(3)A,B不全当选;(4)至少有2名女生当选;(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.【分析】(1)(2)(3)属于组合问题,可用直接法,(4)属于组合问题,可用间接法,(5
12、)属于先选后排问题,应分步完成.考点3 组合问题返回目录【解析】(1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中选取3人即可,=120种.(2)从除去A,B两人的10人中选5人即可,有=252种.(3)全部选法有种,A,B全当选有种,故A,B不全当选有-=672种.(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行.有-=596种选法.310C510C512C310C512C310C512C15C47C57C返回目录(5)分三步进行:第一步:选1男1女分别担任两个职务为 ;第二步:选2男1女补足5人有 种;第三步:为这3人安排工作有.由分步乘法计数原理共有 =12 6
13、00种选法.26C17C15C14C33A17C15C26C14C33A返回目录在解组合问题时,常遇到至多、至少问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量.如果同一个问题涉及排列组合问题应注意先选后排的原则.返回目录某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?(3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?返回目录【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可,共有=816(种).(2)只需从其他18人中选5人即可,共有=8
14、 568(种).(3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有+=6 936(种).(4)解法一(直接法)：至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,所以共有+=14 656(种).解法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得-(+)=14 656(种).318C518C41812CC318C41812CC18412CC38212CC28312CC520C58C512C返回目录从6名短跑运动员中选出4个人参加4100m的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？【分析】此题是有限制条件的
15、排列、组合问题，可从以下三点进行考虑：（1）先考虑特殊元素或先考虑特殊位置；（2）直接解法和间接解法；（3）注意重复与遗漏.考点4 排列组合的综合应用返回目录【解析】解法一（直接法）：把问题分为三类，甲、乙两人均不参赛，参赛方案种数为；甲、乙两人有且只有一人参赛，参赛方案种数为（4！-3！）；甲、乙两人均参赛，参赛方案种数为（4！-23!+2!）.因此，所求的参赛方案种数为+（4！-3！）+（4！-23！+2！）=252.解法二（间接法）：6人中取4人参赛的种数为；去除甲、乙两人至少有1人排在不恰当的位置种数为；因为前面把甲、乙两人都排在不恰当的位置种数减去了两次，因此应加上甲、乙两人都排在不
16、恰当位置的种数为.因此，所求的参赛种数为-+=252.44A3412CC24C44A3412CC24C46A3512AC24A46A3512AC24A返回目录对于较复杂的排列、组合综合题，往往还要根据受限元素或受限位置进行分类或分步处理，但必须层次清楚，不重不漏，也可以先不考虑受限条件，然后扣除不符合条件的种数.返回目录2010年高考天津卷如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A.288种B.264种C.240种D.168种返回目录【解析】分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A,D,E有A3
17、4种方法，再涂点B,C,F有2种方法，故有2=48（种）方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A,D,E有种方法，再涂点B,C,F有种方法，故共有3 =216（种）方法.由分类加法计数原理，共有48+216=264（种）不同的涂法.故应选B.34A133C34A34A13C返回目录1.对有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：(1)有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置.(2)元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看作是一个整体.(3)元素不相邻的排列，可以制造空档插进去.(4)元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，利用规定顺序的实情求结果.返回目录2.解排列、组合混合题一般是先选元素，后排元素；或充分利用元素的性质进行分类、分步；再利用两个基本原理作最后处理.3.对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式.处理这类选择题可采用分析答案形式用排除法，错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误.返回目录