1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估 (三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中不正确的是()A.平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面共面且na,nb,那么n就是平面的一个法向量【解析】选D.只有当a,b不共线且a,b时,D才正确.2.同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的
2、单位向量是()A.B.C.D.或【解析】选D.设所求向量为c=(x,y,z),由ca=0及cb=0及|c|=1得检验知选D.3.(2014金华高二检测)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c共面,则实数等于()A.B.C.D.【解析】选D.易得c=ta+b=(2t-,-t+4,3t-2),所以解得故选D.4.(2014银川高二检测)已知矩形ABCD,PA平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是()A.=0B.=0C.=0D.=0【解析】选B.选项A,DA平面PABDAPB=0;由A可知=0,C正确;选项D,PA平面ABCDPACD=0;选项B,若=0,
3、则BDPC,又BDPA,所以BD平面PAC,故BDAC,但在矩形ABCD中不一定有BDAC,故B不一定成立.5.已知a=(cos,1,sin),b=(sin,1,cos),且ab,则向量a+b与a-b的夹角是()A.90B.60C.30D.0【解析】选A.因为|a|2=2,|b|2=2,(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以(a+b)(a-b),故选A.【变式训练】已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则与的夹角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选C.=(0,3,3),=(-1,1,0).设=,则cos=,所以=60.6.(2014长春高二检测
4、)已知向量e1,e2,e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)等于()A.15B.3C.-3D.5【解析】选B.(6a)=3ab=3(3e1+2e2-e3)(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.7.已知正方体ABCD-ABCD中,点F是侧面CDDC的中心,若=+x+y,则x-y等于()A.0B.1C.D.-【解析】选A.如图所示,=+,所以=x+y,所以=x+y,因为=+,=,所以x=y=,x-y=0.8.(2014安庆高二检测)如图,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则|2的值为()A.B.2C.D.【
5、解析】选D.过点C作CE垂直于BD,垂足为E,连接AE,则得AC=1,故三角形ABC为正三角形.|2=+-+-=1+1+()2-11cosABC=-=.9.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点,且=,则C点的坐标为()A.B.C.D.【解析】选C.由题意知,2=,设C(x,y,z),则2(x-4,y-1,z-3)=(2-x,-5-y,1-z),即解得即C.10.已知ABC的顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD的长等于()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.设D(x,y,z),则=(x-1,y+1,z-2),=(x-5,y+
6、6,z-2), =(0,4,-3),因为,且,所以解得所以|=5.【一题多解】设=,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=(0,4,-3),所以x=1,y=4-1,z=2-3.所以=(-4,4+5,-3),又=(0,4,-3),所以4(4+5)-3(-3)=0,所以=-,所以=,所以|=5.11.( 2014绵阳高二检测)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A.B.C.D.【解析】选C如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1
7、,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).从而=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1),设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),则即得令a=2,则n=(2,1,2).所以点E到平面ACD1的距离为d=.12.(2014荆州高二检测)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中错误的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值【解析】选D.因为AC平面BB1D1D,又BE平面BB1D1D.所以ACBE,故A正确.因为B1D1平面ABCD,又E,F
8、在直线D1B1上运动,所以EF平面ABCD,故B正确.C中由于点B到直线B1D1的距离不变,故BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为,故VA-BEF为定值.当点E在D1处,点F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系,如图所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F,所以=(0,-1,1),=,所以=.又|=,|=,所以cos=.所以此时异面直线AE与BF成30角.当点E为D1B1的中点,点F在B1处时,此时E,F(0,1,1).所以=,=(0,0,1),所以=1,|=,所以cos=,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线
9、上)13.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a,则=.【解析】=,因为ABD为正三角形,所以=120,即=120.答案:12014.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上底面A1B1C1D1边长为1,下底面ABCD边长为2,侧棱与底面所成的角为60,则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.【解析】设上、下底面中心分别为O1,O,则OO1平面ABCD,以O为原点,直线BD,AC,OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,A1B1=1,所以AC=BD=2,A1C1=B1D1=,因为平面BDD1B1平面ABCD,所以B1BO为侧棱与底面所成的角,所以B1BO=60,设棱
10、台高为h,则tan60=,所以h=,所以A(0,-,0),D1,B1,C(0,0),所以=,=,所以cos=,故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.答案:【变式训练】如图所示,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱CC1的中点,则异面直线D1E与AC所成角的余弦值是.【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,4),E(0,4,2),=(-4,4,0),=(0,4,-2).cos=.所以异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.答案:15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为棱长为1的正三角形,侧棱AA1底面ABC,点D在棱BB1上
11、,且BD=1,若AD与平面AA1C1C所成的角为,则sin的值是.【解题指南】建立空间直角坐标系,求出平面AA1C1C的一个法向量n和,计算cos即可求解sin.【解析】如图,建立空间直角坐标系,易求点D,平面AA1C1C的一个法向量n=(1,0,0),所以cos=,即sin=.答案:16.给出命题:在ABCD中,+=;在ABC中,若0,则ABC是锐角三角形;在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,则=(+);在空间四边形ABCD中,E,F分别是边BC,DA的中点,则=(+).以上命题中,正确命题的序号是.【解析】满足向量运算的平行四边形法则,正确;=|cosA0A90,但B,C无
12、法确定,所以ABC是否是锐角三角形无法确定,错误;符合梯形中位线的性质,正确;如图,=+, +=+=+2=2(+)=2,则=(+),正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,正方体ABCD-ABCD中,点E是上底面ABCD的中心,用向量,表示向量,.【解析】=-=-+.=+=+=+=+(-)=-+.18.(12分)(2014福州高二检测)如图所示,已知PA平面ABCD,ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.求证:(1)MN平面PAD.(2)平面PMC平面PDC.【证明】如图所示,以A为坐标原点,A
13、B,AD,AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz.设PA=AD=a,AB=b.(1)P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).因为M, N分别为AB,PC的中点,所以M,N.所以=,=(0,0,a),=(0,a,0),所以=+.又因为MN平面PAD,所以MN平面PAD.(2)由(1)可知:P(0,0,a),C(b,a,0),M,D(0,a,0).所以=(b,a,-a),=,=(0,a,-a).设平面PMC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则所以令z1=b,则n1=(2a,-b,b).设平面PDC的一个法向量为n2=(x2,
14、y2,z2),则所以令z2=1,则n2=(0,1,1).因为n1n2=0-b+b=0,所以n1n2.所以平面PMC平面PDC.【知识拓展】用向量证明线面平行的主要方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量.(3)利用共面向量定理,在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来.19.(12分)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且C1CB=C1CD=BCD=60.当的值等于多少时,能使A1C平面C1BD?【解析】不妨设=x,CC1=1,A1C平面C1BD,则A1CC1B,A1CC1D,而=+,=+=
15、+,由=0,得(+)(+)=-+=0,注意到+=-,可得方程1-x2+=0,解得x=1或x=-(舍).因此,当=1时,能使A1C平面C1BD.20.(12分)(2013上海高考)如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,AD=1,AA=1,证明直线BC平行于平面DAC,并求直线BC到平面DAC的距离.【解析】如图,建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1), C(0,2,1),C(0,2,0),D(0,0,0).则=(1,0,1),=(0,2,1),设平面DAC的法向量n=(u,v,w),由n,n,所以n=0,n=0,即解得u=2v,w=-2v,取v=1,得平
16、面DAC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),所以n=0,所以n.又BC不在平面DAC内,所以直线BC与平面DAC平行.由=(1,0,0),得点B到平面DAC的距离d=,所以直线BC到平面DAC的距离为.21.(12分)(2014广东高考)四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC=30,AFPC于点F,FECD,交PD于点E.(1)证明:CF平面ADF.(2)求二面角D-AF-E的余弦值.【解题指南】(1)采用几何法较为方便,证AD平面PCDCFAD,又CFAFCF平面ADF.(2)采用向量法较为方便,以D为原点建立空间直角坐标系,设DC=2,计算出DE,EF的值
17、,得到A,C,E,F的坐标,注意到为平面ADF的一个法向量.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以ADDC.又PD平面ABCD,AD平面ABCD,所以PDAD,DCPD=D,所以AD平面PCD.又CF平面PCD,所以CFAD,而AFPC,即AFFC,又ADAF=A,所以CF平面ADF.(2)以D为原点,DP,DC,DA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,由(1)知PCDF,即CDF=DPC=30,有FC=DC=1,DF=FC=,DE=DF=,EF=DE=,则D(0,0,0),E,F,A(0,0,2),C(0,2,0),=,=,=,设平面AEF的法向量为n=(x,y, z)
18、,由得取x=4,有y=0,z=,n=(4,0,),又平面ADF的一个法向量=,所以cos= =-,所以二面角D-AF-E的余弦值为.【变式训练】(2014北京高二检测)如图,四边形ABCD是正方形,EA平面ABCD,EAPD,AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.(1)求证:FG平面PED.(2)求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.(3)在线段PC上是否存在一点M,使直线FM与直线PA所成的角为60?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为F,G分别为PB,BE的中点,所以FGPE.又FG平面PED,PE平面PED,所以FG平面PED
19、.(2)因为EA平面ABCD,EAPD,所以PD平面ABCD,所以PDAD,PDCD.又因为四边形ABCD是正方形,所以ADCD.如图,建立空间直角坐标系,因为AD=PD=2EA=2,所以D,P,A,C,B,E(2,0,1).因为F,G,H分别为PB,EB,PC的中点,所以F,G,H(0,1,1).所以=,=.设n1=(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量,则即再令y1=1,得n1=(0,1,0).=(2,2,-2),=(0,2,-2).设n2=(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则即令z2=1,得n2=(0,1,1).所以 所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为.(3
20、)假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60.依题意可设=,其中01.由=(0,2,-2),则=(0,2,-2).又因为=+,=(-1,-1,1),所以=(-1, 2-1,1-2).因为直线FM与直线PA所成角为60,=(2,0,-2),所以=,即=,解得=.所以=,=.所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60,此时PM的长度为.22.(12分)四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,PA底面ABCD,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x
21、2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算:(ab)c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.试计算()的绝对值的值;说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算()的绝对值的几何意义.【解析】(1)设=,则cos=.所以sin=.所以V=SABCD|=|sin|=16.(2)=|-4-32+0-0-4-8|=48,它是四棱锥P-ABCD体积的3倍.猜想:在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积(或以AB,AD,AP为棱的直四棱柱的体积).【技法点拨】向量法在数形结合思想中的应用向量是有效沟通“数”与“形”的桥梁.在学习中我们一定要充分理解向量概念及向量运算的几何意义,从而有效利用向量工具解决实际问题.如对空间直线的向量表示,应明确空间直线是由空间一点及直线的方向向量惟一确定.关闭Word文档返回原板块