1、2020-2021学年四川省雅安市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知复数，则在复平面内z对应的点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2命题“x00，x020”的否定是（）Ax00，x020Bx0，x20Cx00，x020Dx0，x203我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的
2、概率为（）ABCD4若命题p：a+b3，命题q：a1且b2，则q是p的（）A充分不必要条件B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要条件5若随机变量X的分布列为X234paba则X的数学期望E（X）（）A2a+2bB2a+bCD36展开式中的常数项为（）A60B60C30D307在某项测量中，测得变量N（2，）（0）若在（，3）内取值的概率为0.8，则在（2，3）内的取值的概率为（）A0.1B0.2C0.3D0.48设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则D（X）等于（）ABCD9已知平面的一个法向量，点A（0，1，3）在平面内，则点P（2，3，2）到平面的距离
3、为（）ABCD10若f（x）x2+mlnx在是增函数，则实数m的取值范围为（）A（4，+）B4，+）C（，4D（，4）11甲乙两人独立地从五门选修课中各自选两门进行学习，记两人所选选修课程相同的门数为，则E（）为（）AB1CD12已知函数，若方程f（x）g（x）仅有1个实数解，则实数a的取值范围是（）A（，e）BC（，0）（e，+）D（，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.将答案填在答题卡相应的横线上.13曲线yxcosx在点（0，0）处的切线方程为 14A家庭有一对夫妻和两个女儿，B家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A家庭的
4、两个女儿要相邻，B家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端那么这8人的排座方法种数为 15为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下22列联表：篮球舞蹈合计男13720女2810合计151530根据表中的数据，及观测值K2（其中），参考数据：P（K2k0）0.050.0250.010k03.8415.0246.635则在犯错误的概率不超过 前提下，认为选择舞蹈与性别有关16已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），当x0时，f（x）xf（x）0，若f（1）0，则不等式的解集为 三、解答题（本大题共6小题，共70
5、分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在0，3上的值域18某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生圆锥曲线的选填题的得分率，对学生圆锥曲线的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图（1）求所抽取的样本的众数、中位数、平均数；（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取3名学生，记这3个学生圆锥曲线的选填题的训练的质量指标值位于30，50内的人数为X，求X的分布列和数学期望19如图，面BCC1B1是某圆柱
6、的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面），线段AA1是该圆柱的一条母线，BC2AB，点D为AA1的中点（1）当点E为棱BC的中点时，求证：AE平面BC1D；（2）当轴截面BCC1B1是边长为2的正方形时，求平面BDB1与平面BC1D所成角的正弦值20某5G科技公司对某款5G产品在2021年1月至4月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如表所示：月份1234月销售单价（百元）98.88.68.4月销售量（万件）73798385（1）由散点图可知变量y与x具有线性相关关系，根据1月至4月的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售
7、单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？（注：利润销售收入成本）附参考公式和数据：，21已知命题p：关于x的不等式1的解集为x|x3或x1，命题q：函数f（x）lg（a2x22x+2）的定义域为R，若pq为假命题，pq为真命题，求实数a的取值范围22设函数f（x）lnx（a2）x（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令h（a）f（x）max+ln（a2）+2，g（a）ln（a+1）ma+ea，对于任意a10，+），a2（2，+），总有g（a1）h（a2）成立，求实数m的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题
8、5分，共60分）1已知复数，则在复平面内z对应的点的坐标为（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）解：1i，对应点坐标为（1，1）故选：B2命题“x00，x020”的否定是（）Ax00，x020Bx0，x20Cx00，x020Dx0，x20解：含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题“x00，x020”的否定是“x0，x20”故选：D3我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考
9、书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）ABCD解：我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经有着丰富多彩的内容，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p故选：B4若命题p：a+b3，命题q：a1且b2，则q是p的（）A充分不必要条件B必要不充分C充要条件D既不充分也不必要条件解：由p：a+b3，
10、不能推出q：a1且b2，如a1，b3；反之，由q：a1且b2，能得到p：a+b3即qp，但p不能推出q，故q是p的充分不必要条件，故选：A5若随机变量X的分布列为X234paba则X的数学期望E（X）（）A2a+2bB2a+bCD3解：由题意可得，a+a+b2a+b1，由期望公式，可得E（X）2a+3b+4a6a+3b3（2a+b）3故选：D6展开式中的常数项为（）A60B60C30D30解：，由题得63r0，r2，常数项为，故选：A7在某项测量中，测得变量N（2，）（0）若在（，3）内取值的概率为0.8，则在（2，3）内的取值的概率为（）A0.1B0.2C0.3D0.4解：因为变量N（2，）
11、（0），则P（23）P（3）0.50.80.50.3故选：C8设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则D（X）等于（）ABCD解：解法一：设X的分布列为X 0 1 P p3p即“X0表示试验失败”，“X1表示试验成功”，设失败率为p，则成功率为3p，由p+3p1，即p，E（X），解法二：设失败率为p，则成功率为3p，由p+3p1，即p，X服从两点分布，则D（X）3p（13p）故选：D9已知平面的一个法向量，点A（0，1，3）在平面内，则点P（2，3，2）到平面的距离为（）ABCD解：点A（0，1，3）在内，P（2，3，2），（2，4，1），向量（2，2，1）为
12、平面的法向量，P（2，3，2）到的距离d故选：C10若f（x）x2+mlnx在是增函数，则实数m的取值范围为（）A（4，+）B4，+）C（，4D（，4）解：，由题意可知f（x）0在上恒成立，即2x2+m0在上恒成立，所以m（2x2）max4故选：B11甲乙两人独立地从五门选修课中各自选两门进行学习，记两人所选选修课程相同的门数为，则E（）为（）AB1CD解：甲乙两人独立地从五门选修课中各自选两门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则的可能取值为0，1，2，P（0），P（1），P（2），E（）00.3+10.6+20.10.8故选：D12已知函数，若方程f（x）g（x）仅有1个实数解，则实数a
13、的取值范围是（）A（，e）BC（，0）（e，+）D（，0）解：由f（x）g（x）得a去分母整理得（lnx3x）（lnxax）0有1个实数解，所以lnx3x0或lnxax0，所以3或a，设h（x）（x0且x1），所以h（x），当0xe时，h（x）0，h（x）单调递增，当xe时，h（x）0，h（x）单调递减，所以h（x）maxh（e）3，所以3没有实数解，所以方程a有一个不同的实数解，h（1）0，当x0时，h（x）0；当x+时，h（x）0，要使得方程a有两个不同的实数解，则a0或a，故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.将答案填在答题卡相应的横线上.13曲线yxcosx在点（
14、0，0）处的切线方程为yx解：yxcosx的导数为ycosxxsinx，可得曲线yxcosx在点（0，0）处的切线斜率为k1，则曲线yxcosx在点（0，0）处的切线方程为yx，故答案为：yx14A家庭有一对夫妻和两个女儿，B家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A家庭的两个女儿要相邻，B家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端那么这8人的排座方法种数为 192解：根据题意，分2步进行分析：两位爸爸要坐在两端，则两位爸爸的排法有2种，将A家庭的两个女儿看成一个整体，B家庭的两个儿子也看成一个整体，与两个母亲全排列，有96种排法，则有
15、296192种排法；故答案为：19215为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下22列联表：篮球舞蹈合计男13720女2810合计151530根据表中的数据，及观测值K2（其中），参考数据：P（K2k0）0.050.0250.010k03.8415.0246.635则在犯错误的概率不超过 0.025前提下，认为选择舞蹈与性别有关解：由表中的数据可得，K2，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为选择舞蹈与性别有关故答案为：0.02516已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f（x），当x0时，f（x）xf（x）0，若f（1）
16、0，则不等式的解集为 （，1）（0，1）（2，+）解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）0，构造函数的定义域为x|x0，所以g（x）是偶函数，当x0时，f（x）xf（x）0xf（x）f（x）0g（x）0，所以g（x）在（0，+）上单调递减，又因为，所以g（1）0，作出函数g（x）的草图，当x1或x1时，g（x）0；当1x0或0x1时，g（x）0，当x0时，所以x0不是不等式的解；当x0时， 或 ，解得x1或0x1或 x2，所以不等式 的解集为（，1）（0，1）（2，+）故答案为：（，1）（0，1）（2，+）三、解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算
17、步骤17已知函数（1）求函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）在0，3上的值域解：（1）f（x）x24（x+2）（x2），所以当x2时，f（x）0，f（x）单调递增，当2x2时，f（x）0，f（x）单调递减，当x2时，f（x）0，f（x）单调递增，所以f（x）极大值f（2）（2）34（2）+4，f（x）极小值f（2）（2）342+4（2）由（1）知，在（0，2）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（2，3）上，f（x）0，f（x）单调递增，又f（2），f（0）4，f（3）1，所以f（x）max4，f（x）min，所以函数f（x）的值域为，418某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生圆锥曲线
18、的选填题的得分率，对学生圆锥曲线的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图（1）求所抽取的样本的众数、中位数、平均数；（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取3名学生，记这3个学生圆锥曲线的选填题的训练的质量指标值位于30，50内的人数为X，求X的分布列和数学期望解：（1）从样本数据的频率分布直方图可以估计样本的众数为25，平均数（0.015+0.0215+0.0325+0.02535+0.01545）27.25，设中位数为a，则0.50.0110+0.0210
19、+0.03（a20），解得a，故中位数为（2）圆锥曲线的选填题的训练的质量指标值位于30，50内的概率为，10（0.025+0.015）0.4，由题意可得，X的可能取值为0，1，2，3，故X的分布列为X 0 1 2 3 P（X） 故E（X）19如图，面BCC1B1是某圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面），线段AA1是该圆柱的一条母线，BC2AB，点D为AA1的中点（1）当点E为棱BC的中点时，求证：AE平面BC1D；（2）当轴截面BCC1B1是边长为2的正方形时，求平面BDB1与平面BC1D所成角的正弦值【解答】（1）证明：取BC1的中点F，连接AE，EF，DF，因为E，F分别为BC，B
20、C1的中点，所以EFCC1，EFCC1，ADAA1，ADCC1，所以EFAD，EFAD，故四边形EFDA为平行四边形，所以AEDF，又AE平面BC1D，DF平面BC1D，故AE平面BC1D；（2）解：由圆柱的性质可知，ABAC，AA1AB，AA1AC，故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为轴截面BCC1B1是边长为2的正方形且BC2AB，故AB1，AC，所以，A（0，0，0），故，设平面BC1D的法向量为，则，令z1，则，平面BDB1的一个法向量为，所以，则平面BDB1与平面BC1D所成角的余弦值为，故平面BDB1与平面BC1D所成角的正弦值为20某5G科技公司对某款5G产品在2
21、021年1月至4月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如表所示：月份1234月销售单价（百元）98.88.68.4月销售量（万件）73798385（1）由散点图可知变量y与x具有线性相关关系，根据1月至4月的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？（注：利润销售收入成本）附参考公式和数据：，解：（1）由题意可知，（9+8.8+8.6+8.4）8.7，（73+79+83+85）80，所以，所以80（20）8.725
22、4，故y关于x的回归直线方程；（2）由题意，利润zyx3.5y（x3.5）（20x+254）20x2+324x889，所以当x时，函数z取得最大值，故该产品的月销售单价应定为8.1百元，即810元才能获得最大月利润21已知命题p：关于x的不等式1的解集为x|x3或x1，命题q：函数f（x）lg（a2x22x+2）的定义域为R，若pq为假命题，pq为真命题，求实数a的取值范围解：根据题意，对于命题p：关于x的不等式1的解集为x|x3或x1，当x3或x1时，不等式x22x30，若p是真命题，则必有0a1；对于命题q：函数f（x）lg（a2x22x+2），设ta2x22x+2，当a0时，t2x+2，
23、不满足f（x）的定义域为R，当a0时，ta2x22x+2是二次函数，必有，解可得a或a；若q为真，必有a或a，若pq为假命题，pq为真命题，即p和q一真一假，若p真q假，有0a，若p假q真，有a或a1，综合可得：a的取值范围为a|a或0a或a122设函数f（x）lnx（a2）x（aR）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令h（a）f（x）max+ln（a2）+2，g（a）ln（a+1）ma+ea，对于任意a10，+），a2（2，+），总有g（a1）h（a2）成立，求实数m的取值范围解：（1）函数f（x）lnx（a2）x的定义域为，当a20，即a2时，此时f（x）0在（0，+）上恒成立，所以f（x）在（0，+）上单调递增；当a20，即a2时，令f（x）0，解得，令f（x）0，解得，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减综上所述，当a2时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a2时，f（x）在上单调递增，在上单调递减（2）因为f（x）有是大值，所以，所以h（a）f（x）max+ln（a2）+21ln（a2）+ln（a2）+21，所以题意转化为g（a）1在a0，+）上恒成立，因为g（0）1，所以g（0）2m0，解得m2，当m2时，故g（a）在（0，+）上单调递增，所以g（a）g（0）0，所以g（a）在（0，+）上单调递增，所以g（a）g（0）1，满足题意综上所述，m的取值范围为（，2