1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。45函数的应用(二)45.1函数的零点与方程的解路边有一条河，小明从A点走到了B点观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？【问题1】如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？【问题2】小明过河点位置在数学上是怎样定义的？【问题3】如何用数学方法判断小明是否一定过河？1函数的零点(1)概念：使f(x)0的实数x(2)零点、图象与x轴交点、方程实数
2、解的关系：本质：函数yf(x)的零点、方程f(x)0的根、函数yf(x)的图象与x轴的公共点的横坐标是同一个概念，是分别从数和形的角度诠释同一个数学量函数的零点是点吗？提示：不是，是使f(x)0的实数x，是方程f(x)0的根2函数的零点存在定理(1)条件：函数yf(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0；(2)结论：函数yf(x)在区间内至少有一个零点，即存在c，使f0，这个c也就是f(x)0的解本质：(1)函数零点存在定理也可以理解为：函数yf(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，当f(a)f(b)0时函数的图象至少穿过区间一次；(2)函数零点存在定理只能判断零点
3、是否存在，而不能确定零点的个数当函数是单调函数，且在区间上f(a)f(b)0，则函数的零点是唯一的函数yf(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，则f(a)f(b)0是函数在区间有零点的什么条件？提示：当f(a)f(b)0时，函数在区间上有零点；函数在区间上有零点，f(a)f(b)0不一定成立，也可能f(a)f(b)0.故是充分不必要条件1函数yf(x)在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内是不是一定没有零点？3函数f(x)x2x1有零点吗？提示：1.不是；2.不一定；3.没有阅读教材P143例1，你还有没有别的方法判断方程ln x2x60的实数解的
4、个数？提示：作出函数yln x，y2x6的图象，利用两个函数交点的个数判断1下列各图象表示的函数中没有零点的是()【解析】选D.结合函数零点的定义可知选项D没有零点2函数yx24的零点是_【解析】令x240，解得x2，所以函数yx24的零点是2.答案：2基础类型一函数零点的概念及求法(数学运算)1函数yx的零点是()A1B1C(1，0)，(1，0)D1，1【解析】选D.由y0，即x0，解得x1或x1，所以函数的零点为1，1.2求下列函数的零点：(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x)【解析】(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6
5、，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点微提醒：函数的零点应符合函数的定义域基础类型二函数零点个数的判断(直观想象)【典例】已知0a1，则函数ya|x|logax|的零点的个数
6、为()A1B2C3D4【解析】选B.函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数画出函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.关于函数零点个数的判断(1)能直接求出零点的直接求零点判断；(2)利用函数的图象判断零点个数：原理：函数的零点个数方程的根的个数移项拆分为两个初等函数
7、，函数交点个数；关键：拆分成的两个函数应方便作图求函数f(x)2xlg (x1)2的零点个数【解析】如图，在同一坐标系中作出h(x)22x和g(x)lg (x1)的图象由图知，g(x)lg (x1)和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg (x1)2有且只有一个零点综合类型零点存在定理的应用(逻辑推理)判断零点所在的区间【典例】函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1，2)B(2，3)C和(3，4) D(e，)【解析】选B.因为f(1)20, f(2)ln 210，所以f(2)f(3)0.所以f(x)在(2，3)内有一个零点判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入
8、：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点【加固训练】函数f(x)=log8x-的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.函数f(x)=log8x-是连续增函数,因为f(1)=0-=-0,可得f(1)f(2)0,所以函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(1,2).求参数的取值范围【典例】函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(1，2)C(
9、0，3) D(0，2)【解析】选C.根据指数函数的性质可知函数f(x)2xa在区间(1，2)内是增函数，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)0，求解可得0a3.若本例变为函数f(x)x22mx2m1在区间(1，0)和(1，2)内各有一个零点，试求实数m的取值范围【解析】函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1，0)和(1，2)内，即函数f(x)x22mx2m1的图象与x轴的交点一个在(1，0)内，一个在(1，2)内，根据图象(图略)列出不等式组解得所以m，所以实数m的取值范围是.关于利用零点存在定理求参数的范围(1)考查函数的单调性或图象，可利用区间端点处函数
10、值的正负列不等式，通过解不等式求参数的范围；(2)若单调性或图象不确定，则直接利用零点存在定理列不等式求参数的范围【加固训练】1.若函数f(x)=x+(aR)在区间(1,2)上有零点,则a的取值可能是()A.-2B.0C.1D.3【解析】选A.f(x)=x+(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,当a=-2时,f(1)=1-2=-10,故f(x)在区间(1,2)上有零点,同理,其他选项不符合.2.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-k有三个零点,则实数k的取值范围为_.【解析】函数y=f(x)-k有三个零点,即y=f(x)与y=k有三个交点,f(x)的图象如图:由图象可得
11、-2k-1.答案:(-2,-11函数yx2bx1有且只有一个零点，则b的值为()A2B2C2D3【解析】选C.因为函数有且只有一个零点，所以b240，b2.2函数f(x)x2log2x，则f(x)的零点所在区间为()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】选B.f(1)1log211，f(2)log221，所以f(1)f(2)1时，由f(x)0，得1log2x0，所以x，不成立，所以函数的零点为0.4函数f(x)的零点是_【解析】令f(x)0，即0，即x20或ln x0，所以x2或1，故函数f(x)的零点为1或2.答案：1或25若一次函数f(x)xb的零点是2，那么函数g(x)bx2x的零点是_【解析】因为f(x)xb的零点是2，所以2b0，所以b2，所以g(x)2x2x，令g(x)0，得x0或x.答案：0或关闭Word文档返回原板块- 11 - 版权所有高考资源网