1、2021年中考数学压轴题专项训练一次函数1甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为y60x，根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）求乙离开A城的距离y与x的关系式；（2）求乙出发后几小时追上甲车？解：（1）设乙对应的函数关系式为ykx+b将点（4，300），（1，0）代入ykx+b得：解得：，乙对应的函数关系式y100x100；（2）易得甲车对应的函数解析式为y60x，联立，解得：，2.511.5（小时），乙车出发后1.5小时追上甲车2如图所示，甲、乙两车从A地出发，沿相同路线
2、前往同一目的地，途中经过B地甲车先出发，当甲车到达B地时，乙车开始出发当乙车到达B地时，甲车与B地相距km设甲、乙两车与B地之间的距离为，y1（km），y2（km），乙车行驶的时间为x（h），y1，y2与x的函数关系如图所示（1）A，B两地之间的距离为20km；（2）当x为何值时，甲、乙两车相距5km？解：（1）A，B两地之间的距离为20km故答案为：20；（2）乙车的速度为：20120（km/h），甲车的速度为：100（km/h），甲比乙早出发的时间为：201000.2（h），相遇前：（20+100x）120x5，解得x0.75；相遇后：120x（20+100x）5，解得x1.25；答：当x
3、为0.75或1.25时，甲、乙两车相距5km3在平面直角坐标系中，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点D的坐标为（0，3），点E是线段AB上的一点，以DE为腰在第二象限内作等腰直角DEF，EDF90（1）请直接写出点A，B的坐标：A（2，0），B（0，2）；（2）设点F的坐标为（a，b），连接FB并延长交x轴于点G，求点G的坐标解：（1）直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点A（2，0），点B（0，2）故答案为：（2，0），（0，2）（2）如图，过点F作FMy轴，过点E作ENy轴，FMDEDF90FDM+DFM90，FDM+EDN90，DFMEDN，且FDDE，FMDEND90，
4、DFMEDN（AAS）ENDM，FMBN，点F的坐标为（a，b），FMDNa，DMb3，点E坐标（b+3，3+a），点E是线段AB上的一点，3+ab+3+2a+b2，点F（a，2a）设直线BF的解析式为ykx+2，2aka+2k1，直线BF的解析式为yx+2，点G（2，0）4某学校甲、乙两名同学去爱国主义教育基地参观，该基地与学校相距2400米甲从学校步行去基地，出发5分钟后乙再出发，乙从学校骑自行车到基地乙骑行到一半时，发现有东西忘带，立即返回，拿好东西之后再从学校出发在骑行过程中，乙的速度保持不变，最后甲、乙两人同时到达基地已知，乙骑行的总时间是甲步行时间的设甲步行的时间为x（分），图中线
5、段OA表示甲离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象图中折线BCD和线段EA表示乙离开学校的路程y（米）与x（分）的函数关系的图象根据图中所给的信息，解答下列问题：（1）甲步行的速度和乙骑行的速度；（2）甲出发多少时间后，甲、乙两人第二次相遇？（3）若s（米）表示甲、乙两人之间的距离，当15x30时，求s（米）关于x（分）的函数关系式解：（1）由题意得：（米/分），240（米/分）；（2）由题意可得：C（10，1200），D（15，0），A（30，2400），设线段CD的解析式为：ykx+b，则，解得线段CD的解析式为：y240x+3600，易知线段OA的解析式为：y80x，根据题意得
6、240x+360080x，解得：x，甲出发分后，甲、乙两人第二次相遇；（3）E（20，0），A（30，2400），设线段EA的解析式为：ymx+n，解得，线段EA的解析式为：y240x4800，当15x20时，syOA080x，当20x30时，syOAyEA80x（240x4800）160x+4800，5对于给定的ABC，我们给出如下定义：若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于ABC的最大内半圆若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于ABC的最大
7、内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于ABC的内半圆（1）在RtABC中，BAC90，ABAC2，如图1，点D在边BC上，且CD1，直接写出点D关于ABC的最大内半圆的半径长；如图2，画出BC关于ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；（2）在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（3，0），点P在直线yx上运动（P不与O重合），将OE关于OEP的内半圆半径记为R，当R1时，求点P的横坐标t的取值范围解：（1）如图1，过D作DEAC于E，RtABC中，BAC90，ABAC2，CB45，CD1，BD21CD，D到AC的距离小于到AB的距离，DEC是等腰直角三角形，DE，即点D关于ABC的最大内半圆
8、的半径长是；当D为BC的中点时，BC关于ABC的内半圆为D，如图2，BDBC，同理可得：BC关于ABC的内半圆半径DE1（2）过点E作EFOE，与直线yx交于点F，设点M是OE上的动点，i）当点P在线段OF上运动时（P不与O重合），OE关于OEP的内半圆是以M为圆心，分别与OP，PE相切的半圆，如图3，连接PM，直线OF：yxFOE30由（1）可知：当M为线段中点时，存在OE关于OEP的内半圆，当R时，如图3，DM，此时PMx轴，P的横坐标tOM；如图4，当P与F重合时，M在EFO的角平分线上，M分别与OF，FE相切，此时R1，P的横坐标tOE3；当R1时，t的取值范围是t3ii）当点P在OF
9、的延长线上运动时，OE关于OEP的内半圆是以M为圆心，经过点E且与OP相切的半圆，如图5当 R1 时，t的取值范围是t3iii）当点P 在OF的反向延长上运动时（P不与O重合），OE关于OEP的内半圆是以M为圆心，经过点O且与EP相切的半圆，如图6FOEOPE+OEP30，OEP30，OM1，当R时，如图6，过P作PAx轴于A，N是切点，连接MN，MNPE，此时OMMN，ME3，EN，RtOPA中，POA30，OAt，PAt，ENMEAP90，MENAEP，EMNEPA，即解得：t，当R1时，t的取值范围是t综上，点P在直线yx上运动时（P不与O重合），当R1时，t的取值范围是t或t6已知，一
10、次函数yx+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线yx相交于点C过点B作x轴的平行线l点P是直线l上的一个动点（1）求点A，点B的坐标（2）若SAOCSBCP，求点P的坐标（3）若点E是直线yx上的一个动点，当APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标解：（1）一次函数yx+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）联立yx+6、yx并解得：x3，故点C（3，），SAOC815SBCPBP（yPyC）BP（6），解得：BP，故点P（，6）或（，6）（3）设点E（m， m）、点P（n，6）；当EPA90时，如左图，MEP+M
11、PE90，MPE+NPA90，MEPNPA，APPE，EMPPNA（AAS），则MEPN6，MPAN，即|mn|6， m68n，解得：m或16，故点E（，）或（14，）；当EAP90时，如右图，同理可得：AMPANE（AAS），故MPEN，AMAN6，即mn8，|8m|6，解得：m2或14，故点E（2，）或（16，20）；上，E（，）或（14，）或；（2，）或（16，20）7如图，A，B是直线yx+4与坐标轴的交点，直线y2x+b过点B，与x轴交于点C（1）求A，B，C三点的坐标；（2）当点D是AB的中点时，在x轴上找一点E，使ED+EB的和最小，画出点E的位置，并求E点的坐标（3）若点D是折
12、线ABC上一动点，是否存在点D，使AACD为直角三角形，若存在，直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）在yx+4中，令x0，得y4，令y0，得x4，A（4，0），B（0，4）把B（0，4）代入，y2x+b，得b4直线BC为：y2x+4在y2x+4中，令y0，得x2，C点的坐标为（2，0）；（2）如图点E为所求点D是AB的中点，A（4，0），B（0，4）D（2，2）点B关于x轴的对称点B1的坐标为（0，4）设直线DB1的解析式为ykx+b把D（2，2），B1（0，4）代入一次函数表达式并解得：故该直线方程为：y3x4令y0，得E点的坐标为（3）存在，D点的坐标为（1，3）或当点D在A
13、B上时，由OAOB4得到：BAC45，由等腰直角三角形求得D点的坐标为（1，3）；当点D在BC上时，如图，设AD交y轴于点F在AOF与BOC中，FAOCBO，AOFBOD，AOBO，AOFBOC（ASA）OFOC2，点F的坐标为（0，2），易得直线AD的解析式为，与y2x+4组成方程组并解得：x，交点D的坐标为8（1）模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于D，过B作BEED于E求证：BECCDA；（2）模型应用：如图2，一次函数y2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为腰在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则C点的坐标
14、为C（4，6）或C（6，2）（直接写出结果）如图3，在ABC和DCE中，CACB，CDCE，CABCED45，连接BD、AE，作CMAE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点解：（1）ADED，BEED，DE90，ACDCAD90，ACB90，ACDBCE90，BCECAD，在BEC和CDA中，BECCDA（AAS）；（2）根据题意可得点C的坐标为C（4，6）或C（6，2）；故答案为： C（4，6）或C（6，2）；如图，作BPMN交MN的延长线于P，作DQMN于QBCP+BCACAM+AMC，BCAAMC，BCPCAM，在CBP与ACM中，CBPACM（AAS），MCBP，同理，
15、CMDQ，DQBP在BPN与DQN中，BPNDQN（AAS），BNND，N是BD的中点9如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）连接OC分别交DE、DF于点M、N，连接FM（1）求tanABO的值；（2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明；（3）若MDMN，求点D的坐标解：（1）直线l：yx+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（3，0）；tanABOtan；（2）DE与FM的位置关系为相
16、互垂直，理由：点C是AB的中点，则COBCBOEDF，ONFDNM，DMNDFO，O、F、M、D四点共圆，DMF+DOF180，DOF90，即：DEFM；（3）MDMN，MDNMND，而COB，DNMONF，即OCF为以ON为底，底角为的等腰三角形，则tanNFOtan，则cos（证明见备注）；设OFm，则DFFB3m，cosDFOcos，解得：m，OD2DF2OF2（3m）2m2；则OD，故点D（0，）备注：如下图，过点N作HNOF于点H，tan，则sin，作FMON于点M，设FNOF5a，则FN4a，则ON6a，同理可得：NH，tanNFOtan，则cos10如图，直线l1：yx+与y轴的
17、交点为A，直线l1与直线l2：ykx的交点M的坐标为M（3，a）（1）求a和k的值；（2）直接写出关于x的不等式x+kx的解集；（3）若点B在x轴上，MBMA，直接写出点B的坐标解：（1）直线l1与直线l2的交点为M（3，a），M（3，a）在直线yx+上，也在直线ykx上，a3+3，M（3，3），33k，解得k1；（2）不等式x+kx的解集为x3；（3）作MNx轴于N，直线l1：yx+与y轴的交点为A，A（0，），M（3，3），AM2（30）2+（3）2，MN3，MBMA，BN，B（，0）或B（，0）11如图，长方形OBCD的OB边在x轴上，OD在y轴上，把OBC沿OC折叠得到OCE，OE与C
18、D交于点F（1）求证：OFCF；（2）若OD4，OB8，写出OE所在直线的解析式解：（1）四边形OBCD为矩形，DOBC，OBCODC由翻折的性质可知EOBC，CEBC，ODCE，EODC在ODF和CEF中，ODFCEF（AAS），OFCF（2）OFCF设DFx，则OFCF8x在RtODF中，OD4，根据勾股定理得，OD2+DF2OF2，42+x2（8x）2，解得x3，F（3，4），设直线OE的解析式为ykx，把F（3，4）代入得43k，解得k，OE所在直线的解析式yx12如图，在平面直角坐标系中，直线yx+m过点A（5，2）且分别与x轴、y轴交于点B、C，过点A画ADx轴，交y轴于点D（1）
19、求点B、C的坐标；（2）在线段AD上存在点P，使BP+CP最小，求点P的坐标解：（1）yx+m过点A（5，2），25+m，m3，yx+3，令y0，x3，B（3，0），令x0，y3，C（0，3）；（2）过C作直线AD对称点Q，可得Q（0，7），连结BQ，交AD与点P可得直线BQ：，令y2，13如图，直线l1的函数表达式为y3x2，且直线l1与x轴交于点D直线l2与x轴交于点A，且经过点B（4，1），直线l1与l2交于点C（m，3）（1）求点D和点C的坐标；（2）求直线l2的函数表达式；（3）利用函数图象写出关于x，y的二元一次方程组的解解：（1）在y3x2中令y0，即3x20 解得x，D（，0）
20、，点C（m，3）在直线y3x2上，3m23，m，C（，3）；（2）设直线l2的函数表达式为YKX+B（K0），由题意得：，解得：，yx+；（3）由图可知，二元一次方程组的解为14如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykx+b的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数yx的图象交点为C（m，4）（1）求一次函数ykx+b的解析式；（2）求BOC的面积；（3）若点D在第二象限，DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为（2，5）或（5，3）或（，）解：（1）点C在正比例函数图象上，m4，解得：m3，点C（3，4）、A（3，0）在一次函数图象上，代入一次函数解析式可得，解这个方程组得，
21、一次函数的解析式为yx+2；（2）在中，令x0，解得y2，B（0，2）SBOC233；（3）过点D1作D1Ey轴于点E，过点D2作D2Fx轴于点F，如图，点D在第二象限，DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，ABBD2，D1BE+ABO90，ABO+BAO90，BAOEBD1，在BED1和AOB中，BED1AOB（AAS），BEAO3，D1EBO2，即可得出点D的坐标为（2，5）；同理可得出：AFD2AOB，FABO2，D2FAO3，点D的坐标为（5，3），D1ABD2BA45，AD3B90，D3（，），综上可知点D的坐标为（2，5）或（5，3）或（，）故答案为：（2，5）或（5，3）或（，
22、）15如图1中的三种情况所示，对于平面内的点M，点N，点P，如果将线段PM绕点P顺时针旋转90能得到线段PN，就称点N是点M关于点P的“正矩点”（1）在如图2所示的平面直角坐标系xOy中，已知S（3，1），P（1，3），Q（1，3），M（2，4）在点P，点Q中，点P是点S关于原点O的“正矩点”；在S，P，Q，M这四点中选择合适的三点，使得这三点满足：点S是点P关于点M的“正矩点”，写出一种情况即可；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+3（k0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，点A关于点B的“正矩点”记为点C，坐标为C（xc，yc）当点A在x轴的正半轴上且OA小于3时，求点C的横坐标xc的值；若点C的纵坐标yc满足1yc2，直接写出相应的k的取值范围解：（1）在点P，点Q中，点S绕点O顺时针旋转90能得到线段OP，故S关于点O的“正矩点”为点P，故答案为点P；点S是点P关于点M的“正矩点”（答案不唯一）；故答案为：S，P，M；（2）如图1，作CEx轴于点E，作CFy轴于点F，BFCAOB90，点B（0，3），点A（，0），ABO+CBO90，CBO+BCF90，BCFABO，BCBA，BCFAOB（AAS），FCOB3，故点C的坐标为：（3，3+），即点C的横坐标xc的值为3；点C（3，3+），如图2，1yc2，即：13+2，则3k