1、4.6 简单的三角恒等变换 考纲要求 掌握两角和、差的正弦、余弦、正切公式，会灵活运用公式的变形解决三角函数的化简、求值等问题【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)y3sin x4cos x 的最大值是 7.()(2)设(，2)，则1cos（）2sin 2.()(3)在非直角三角形中有：tan Atan Btan Ctan Atan Btan C()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(4)设52 3，且|cos|15，那么 sin 2 的值为155.()(5)公式 asin xbcos x a2b2sin(x)中 的取值与 a，b的值无关()1已知 cos 13，
2、(，2)，则 cos2 等于()A.63 B 63C.33D 33【答案】B【解析】2 2，cos2 1cos 223 63.【答案】D 2.2sin2351cos 10 3sin 10的值为()A1B1C.12D12【解析】原式2sin2351212cos 10 32 sin 10 cos 702cos 70 12.3(教材改编)sin 15 3cos 15_【解析】sin 15 3cos 152sin(1560)2sin 45 2.【答案】2【答案】8 4若 f(x)2tan x2sin2x21sinx2cosx2，则 f12 的值为_【解析】f(x)2tan x12sin2x212sin
3、 x 2tan x2cos xsin x 2sin xcos x4sin 2x，f12 4sin68.5已知 cos4 sin4 23，且 0，2，则 cos2 3_【解析】cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 223，又 0，2，2(0，)，sin 2 1cos22 53，cos23 12cos 2 32 sin 21223 32 53 2 156.【答案】2 156题型一 三角函数式的化简与求值【例 1】(1)(2016衡水中学二调)3cos 101sin 170()A4 B2C2 D4(2)(2015河南商丘一模)已知 0，2，且 2sin2 sin cos 3
4、cos2 0，则sin 4sin 2 cos 2 1_【解析】(1)3cos 101sin 1703cos 101sin 103sin 10cos 10sin 10cos 102sin（1030）12sin 202sin 2012sin 204.(2)0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，则(2sin 3cos)(sin cos)0，2sin 3cos，又 sin2cos21，cos 213，sin 313，sin4sin 2cos 21 22（sin cos）（sin cos）2（cos2sin2）268【方法规律】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看
5、式子结构与特征(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点【答案】(1)D(2)268跟踪训练 1(2015广东高考)已知 tan 2.(1)求 tan4 的值；(2)求sin 2sin2 sin cos cos 2 1的值【解析】(1)tan4 tan tan41tan tan4 211213.(2)sin 2sin2sin cos cos 21 2sin cos sin2sin cos 2cos2 2tan tan2tan 2 224221.题型二 三角函数的求角问题【例 2】(1)已知锐角，满足 sin 55，cos 3
6、 1010，则 等于()A.34B.4 或34C.4D2k 4(kZ)(2)(2016菏泽二模)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2_【解析】(1)由 sin 55，cos 3 1010 且，为锐角，可知 cos 2 55，sin 1010，故 cos()cos cos sin sin 2 55 3 1010 55 1010 22，又 0，故 4.(2)因为 tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 121711217131，所以 04，又因为 tan 2 2tan 1tan22131132341，所以 024，所以 tan(2)tan 2tan 1tan 2
7、tan 3417134171.因为 0，所以24，所以 234.【答案】(1)C(2)34【方法规律】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为2，2，则选正弦较好跟踪训练 2(1)已知 sin 55，sin()1010，均为锐角，则角 等于()A.512B.3C.4D.6(2)在ABC 中，tan Atan B 3 3tan Atan B，则 C等于()A.3B.23C.6D.4【解析】(1)、均为锐角，2 2
8、.又 sin()1010，cos()3 1010.又 sin 55，cos 2 55，sin sin()sin cos()cos sin()55 3 1010 2 55 1010 22.4.【答案】(1)C(2)A(2)由已知可得 tan Atan B 3(tan Atan B1)，tan(AB)tan Atan B1tan Atan B 3，又 0AB，AB23，C3.题型三 三角恒等变换的应用【例 3】(2017“六校联盟”第三次联考)已知函数 f(x)cos2x3 2sinx4 sinx4.(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数 f(x)在区间6，2 上的最值
9、【解析】(1)f(x)cos2x3 2sinx4 sinx4 12cos 2x 32 sin 2x(sin xcos x)(sin xcos x)12cos 2x 32 sin 2xsin2xcos2x12cos 2x 32 sin 2xcos 2xsin2x6，周期 T22.由 2x6 2 k，kZ，得 x3 k2，kZ，其图象的对称轴方程为 x3 k2，kZ.(2)x6，2，2x6 2，56.f(x)sin2x6 在区间6，3 上单调递增，在区间3，2 上单调递减，当 x3 时，f(x)max1.又f6 1f2 12，当 x6 时，f(x)min1.【方法规律】三角恒等变换的综合应用主要是
10、将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin(x)k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征 跟踪训练3(1)(2016浙江)设函数f(x)sin2xbsin xc，则f(x)的最小正周期()A与b有关，且与c有关 B与b有关，但与c无关 C与b无关，且与c无关 D与b无关，但与c有关(2)函 数 f(x)sin 2x4 22 sin2x 的 最 小 正 周 期 是_【解析】(1)f(x)sin2xbsin xc，若 b0，则 f(x)sin2xc12(1cos 2x)c，此时 f(x)的周期为；若 b0，则 f(x)的周期为 2，所以选 B.【答案】(1)B(
11、2)(2)f(x)22 sin 2x 22 cos 2x 2(1cos 2x)22 sin 2x 22 cos 2x 2sin2x4 2，T22.思想与方法系列 8化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用【典例】(12 分)(2015重庆)已知函数 f(x)sin2 x sin x 3cos2x.(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在6，23上的单调性【思维点拨】(1)讨论形如 yasin xbcos x 型函数的性质，一律化成 y a2b2sin(x)型的函数(2)研究 yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将 x视为一个整体，换元后结合 ysin x 的图象解决【
12、规范解答】(1)f(x)sin2 x sin x 3cos2x cos xsin x 32(1cos 2x)12sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3 32，(4 分)因此 f(x)的最小正周期为，最大值为2 32.(6 分)(2)当 x6，23时，02x3，(7 分)从而当 02x3 2，即6 x512 时，f(x)单调递增，(9 分)当2 2x3，即512 x23 时，f(x)单调递减(11分)综上可知，f(x)在6，512 上单调递增；在512，23上单调递减(12 分)【温馨提醒】(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成yAsin(x)，的确定一定要准确(2)将x视为一个整体，设xt，可以借助ysin t的图象讨论函数的单调性、最值等.方法与技巧 1三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换 2利用三角函数值求角要考虑角的范围 3与三角函数的图象与性质相结合的综合问题借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象解决 失误与防范 1利用辅助角公式，asin xbcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角 2计算形如ysin(x)，xa，b形式的函数最值时，不要将x的范围和x的范围混淆.