1、学案6 椭圆考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3考点4考点5返回目录考 纲 解 读 椭圆1.了解椭圆的实际背景.2.掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质及简单应用.考 向 预 测 返回目录从近两年的高考试题来看，椭圆的定义、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、求椭圆的标准方程是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中等偏高，但试题难度较前几年大大降低，不再作为“压轴”题目；客观题主要考查对椭圆的基本概念与性质的理解及应用；主观题考查较为全面，在考查对椭圆基本概念与性质的理解及应用的同时，又考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问
2、题、解决问题的能力、运算能力以及数形结合思想.预测2012年高考仍将以椭圆的定义、性质和直线与椭圆的位置关系为主要考点，重点考查运算能力与逻辑推理能力.返回目录 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的.两个定点焦距返回目录 2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程 图形 性 质 范围 x y x y 对称性 对称轴：对称中心：0)b1(abyax2222=+0)b1(abxay2222=+-a a -b b-b b-a a x轴,y轴原点性 质 顶点 A1 ,A2 B1 ,B2 A1 ,A2 B1
3、 ,B2 轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 焦距|F1F2|=2c(c=)离心率 e=,其中c=c返回目录(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a 2b 22 b-a(0,1)22 b-a返回目录一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切，与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.【分析】两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.考点1 椭圆的定义返回目录【解析】两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R
4、，则由题设条件可得|MO1|=1+R，|MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知，M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为.116y25x22=+返回目录平面内一动点与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a，当2a|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在.已知ABC中，A（-1，0），C（1，0），且边a，b，c成等差数列，求顶点B的轨迹方程.返回目录设B（x，y），a+c=2b，|BC|+|BA|=4.又A，C为定点，由椭圆定义
5、知，动点B的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，设其方程为，c=1，a=2，b2=3，椭圆方程为.又A，B，C不共线，y0,即x2.所求B点的轨迹方程为(x2).返回目录1byax2222=+13y4x22=+13y4x22=+返回目录【分析】利用待定系数法求椭圆方程.考点2 椭圆的标准方程（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点p(3,0),求椭圆的方程.（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1）P2（-,-）,求椭圆的方程.632【解析】（1）若焦点在x轴上，设方程为（ab0）.椭圆过P（3，0），.又2a=32b,a=3,b=1,方程为.若焦点在y轴
6、上，设方程为（ab0）.椭圆过点P（3，0），又2a=32b,a=9,b=3.方程为.所求椭圆的方程为或.返回目录1byax2222=+1b0a32222=+1y9x22=+1bxay2222=+1.b3a02222=+19x81y22=+1y9x22=+19x81y22=+返回目录（2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m0,n0且mn）.椭圆经过P1，P2点，P1，P2点坐标适合椭圆方程，6m+n=1，3m+2n=1，m=,n=.所求椭圆方程为则 两式联立，解得91311.3y9x22=+返回目录运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑
7、是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m0,n0,mn），由题目所给条件求出m，n即可.返回目录（1）已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程；（2）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为8.21返回目录【解析】（1）设所求的椭圆方程为(ab0)或(ab0),由已知条件得2a=5+3(2c)2=52-32，解得a=4,c=2,b2=12,故所求方程为或.(2)由已知得=a=42a=8c=2,b2=16-4=12.焦点可在x轴上,也可在y轴上,所求椭圆方程为或.1byax22221b
8、xay2222112y16x22112x16y2221ac112y16x22112x16y22返回目录考点3 椭圆的几何性质已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为.1byax22221221FPFsincFPFsina返回目录【分析】利用正弦定理得|PF1|，|PF2|的关系，结合定义可得|PF2|，再根据焦点弦长的最大、最小值建立不等关系.【解析】在PF1F2中，由正弦定理知,即|PF1|=e|PF2|又P在椭圆上，|PF1|+|PF2|=2a，将代入得|PF2|=(a-c,a+c),同除以a得1-e1+e,得-
9、1e1.,|PF|PF|FPFsinFPFsin1212211221FPFsincFPFsinae1ca|PF|PF|121e2a1e22返回目录(1)求椭圆离心率的题目大致分为两类：一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率e的式子（或与椭圆的统一定义有关）；另一类利用条件（题设条件）获得关于a,b,c的关系式，最后化归为关于a,c（或e）的关系式（关于a,c的齐次方程），再依e=化成关于e的方程，利用方程思想求离心率.(2)椭圆性质的挖掘设椭圆=1(ab0)上任意一点P(x,y),则当x=0时,|OP|有最小值b,这时,P在短轴端点处;当x=a时,|OP|有最大值a,这时P在长轴端点处.2222
10、byax ac返回目录椭圆上任意一点P(x,y)(y0)与两焦点F1(-c,0),F2(c,0)构成的PF1F2称为焦点三角形,其周长为2(a+c).椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2=b2+c2.过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.(3)离心率e=，在求法中要有整体求值思想或变形为ac2)ab(-1e 返回目录已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.设椭圆方程为（ab0）,|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2
11、+n2-2mncos60.m+n=2a,m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.又mn =a2(当且仅当m=n时取等号),4a2-4c23a2,即e .e的取值范围是 ,1）.返回目录1byax2222=+2)2nm(+41ac222121【解析】返回目录(2)证明:由(1)知mn=b2,=mnsin60=b2,即PF1F2的面积只与短轴长有关.34 S21FPF2133返回目录考点4 直线与椭圆关系的应用2010年高考课标全国卷设F1,F2分别是椭圆E:工程(0bb0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜
12、角为60，AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|=，求椭圆C的方程.1byax2222415返回目录【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l的倾斜角为60及AF=2FB知y10.(1)直线l的方程为y=3(x-c),其中.联立y=(x-c)得(3a2+b2)y2+2 b2cy-3b4=0.解得22 b-ac 31,byax22223.b3a2a)-(cb3-y,b3a2a)(cb3-y22222221返回目录因为AF=2FB,所以-y1=2y2,即得离心率e=.(2)因为|AB|=|y2-y1|,所以.由得b=a.所以a=,得a=3,b=.所以椭圆C的方程为.b
13、3a2a)-(cb3-2b3a2a)(cb322222232ac 311415b3aab343222232ac 3545415515y9x22返回目录考点5 椭圆方程与性质的综合应用2009年高考广东卷已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(kR)的圆心为点Ak.（1）求椭圆G的方程；（2）求AkF1F2的面积；（3）问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由.23返回目录【分析】由e=，2a=12，求a,b，方程可求；AkF1F2的面积代入S=ah;只要椭圆的长轴端点在圆C
14、k内，则圆Ck包围椭圆G.【解析】（1）设椭圆G的方程为(ab0)，半焦距为c,则2a=12，解得c=3 ,所以b2=a2-c2=36-27=9.所以所求椭圆G的方程为.23211byax2222a=623ac 319y36x22返回目录(2)点Ak的坐标为(-k,2).=|F1F2|2=6 2=.(3)若k0，由62+02+12k-0-21=15+12k0，可知右端点（6，0）在圆Ck外;若k0,可知左端(-6,0)在圆Ck外.所以不论k为何值,圆Ck都不能包围椭圆G.2133621kFFAS21返回目录探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数
15、学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识的方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神，因此越来越受到高考命题者的青睐.返回目录已知F1，F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，P是椭圆上一点，且F1PF2=90,求椭圆离心率的最小值.1byax2222返回目录【解析】解法一：如图所示，F1PF2=90,F1BF290,OBF245.e=sinOBF2sin45=,椭圆离心率的最小值为.22BFOFac 2222返回目录解法二：利用余弦定理.F1BF290,cosF1BF2=0,即a22c2,e=，则椭圆离心率的最小值为.解法三：利用基本不等
16、式.设|PF1|=m，|PF2|=n，m2+n2=4c2.又2a=m+n，4a2=m2+n2+2mn2(m2+n2)=8c2,即a22c2,e=.则椭圆离心率的最小值为.22222a4c-aa ac2222ac2222返回目录1.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c.2.过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通径.3.求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e（0e1）.22ba4.求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：（1）中心是否在原点，（2）对称轴是否为坐标轴.5.注意椭圆的范围，在设椭圆（ab0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|a,这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.2222xy+=1ab返回目录