1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)凡是到过海边的人们，都会看到海水有一种周期性的涨落现象：到了一定时间，海水迅猛上涨，达到高潮；过后一些时间，上涨的海水又自行退去，留下一片沙滩，出现低潮如此循环，永不停息海水的这种运动现象就是潮汐法国文学称之为“大海的呼吸”【问题1】你是怎样理解文中叙述潮汐现象所说的“如此循环，永不停息”？【问题2】正弦曲线与余弦曲线是否具有类似的特征？【问题3】怎样定义函数的这种特征？1函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存
2、在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且_f(xT)f(x)_，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最小的正数_，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期【解透教材】理解周期性1本质：随着自变量的不同取值，函数值按照一定规律不断重复取得2混淆：(1)周期函数是对定义域中的每一个x值来说的，只要有个别的x值不满足f(xT)f(x)，就不能说T是f(x)的周期(2)应注意是自变量x本身加的常数才是周期，如f(2xT)f(2x)，T不是周期，而应写成f(2xT)ff(2x)，则是f(2x)的周期3(1)并不是所有周期
3、函数都存在最小正周期(2)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(kN*)一定也是周期(3)在周期函数yf(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则xkT(kZ，且k0)也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集【思考与交流】周期函数的周期是否唯一？提示：不唯一，若T是周期，则kT(kN*)一定也是周期2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x图象定义域RR周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数函数ycos x，x是偶函数吗？提示：不是，偶函数的图象关于y轴对称1只有三角函数才是周期函数吗？2ysin 2x的最小正周期为2
4、吗？3函数ysin x，x(，是奇函数吗？4周期函数f(x)C(C为常数)没有最小正周期，是吗？提示：1.不是；2.不是；3.不是；4.是分析教材P201例2及其解析，你能说出形如yA sin (x)(A0)或yA cos (x)(A0)的周期与哪些量有关吗？提示：周期与自变量x的系数有关，具体而言，函数yA sin (x)或yA cos (x)(A0)的最小正周期为.1函数f(x)sin (x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数【解析】选A.由于xR，且f(x)sin xsin (x)f(x)，所以f(x)为奇函数2函数y2cos x5的最小正周期是_【解析】
5、函数y2cos x5的最小正周期为T2.答案：2基础类型一求三角函数的周期(数学运算)1已知函数f(x)sin (0)的最小正周期为2，则f的值为()A B C D【解析】选D.函数f(x)sin (0)的最小正周期为2，则2，解得；所以fsin sin sin .2函数ysin 的最小正周期为_【解析】方法一：定义法ysin sin sin ，所以最小正周期为.方法二：公式法因为函数ysin 中2，所以其最小正周期T.答案：3函数f(x)|sin x|的最小正周期为_【解析】方法一：定义法因为f(x)|sin x|，所以f(x)|sin (x)|sin x|f(x)，所以f(x)的最小正周期
6、为.方法二：图象法作出函数y|sin x|的图象如图所示由图象可知T.答案：求三角函数周期的方法(1)定义法：即利用周期函数的定义求解(2)公式法：对形如yA sin (x)或yA cos (x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期【结论通通用】周期函数的一些常用结论：(1)若f(xa)f(x)或f(xa)，则f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期(2)若函数f(x)(xR)满足f(ax)f(bx)(ab)，则函数f(x)是周期函数且周期T|ba|.(3)若函数f(x)(xR)满足f(ax)f(bx)(ab)，则函数f(x)是周期函数，且周期T2|ba
7、|.(4)若函数f(x)(xR)的图象有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且周期T2|ba|.(5)若函数f(x)的图象存在对称中心A(a，0)，B(b，0)(ab)，则函数f(x)为周期函数，且2|ab|为它的一个周期(6)若函数f(x)的图象存在对称轴l：xa，对称中心B(b，0)(ab)，则函数f(x)为周期函数，且4|ab|为它的一个周期【典例】已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)1，则f(x)的周期为()A2 B4 C6 D1【解析】选B.因为f(x2)f(x)1，所以f(x2)，所以f(x4)f(x)，所以函数f(x)是周期函数，4是一个周期基础
8、类型二三角函数奇偶性的判断(逻辑推理)【典例】函数f(x)sin x cos x是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【解析】选A.函数的定义域为R，关于原点对称因为f(x)sin (x)cos (x)sin x cos xf(x)，所以f(x)sin x cos x为奇函数函数奇偶性的判断方法(1)判断函数奇偶性应把握两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(x)的关系(2)对于三角函数奇偶性的判断，可根据诱导公式先将函数式化简后再判断已知函数f(x)sin ，则函数f(x)为()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数【解析】选B.函数的
9、定义域为R，关于原点对称因为f(x)sin cos x，所以f(x)cos cos xf(x)，所以f(x)是偶函数【加固训练】函数f(x)是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数【解析】选C.由2sin x10，即sin x，得函数定义域为(kZ)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数 综合类型三角函数周期性、奇偶性的应用(逻辑推理、数学运算)三角函数奇偶性的应用(1)已知函数f(x)sin 是奇函数，则时，的值为_【解析】由已知k(kZ)，所以k(kZ)，又因为，所以k0时，符合条件答案：(2)已知函数f(x)cos 是奇函数，则
10、时，的值为_【解析】由已知k(kZ)，所以k(kZ)，又因为，所以k0时符合条件答案：点拨：题(1)已知f(x)A sin (x)为奇函数求参数，题(2)已知f(x)A cos (x)为奇函数求参数，函数名不同，结果也不同已知三角函数的奇偶性求参数的关注点：(1)本质：利用诱导公式把函数yA sin (x)或yA cos (x)转化为yA sin x(A0，0)或yA cos x(A0，0).(2)注意：所给的函数名及参数的范围利用奇偶性与周期性求函数值【典例】定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x时f(x)sin x，则f等于()A B C D【解
11、析】选D.ffffffsin .(1)在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他不变，则f的值为_【解析】ffffffsin .答案：(2)若本例中条件变为定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，ff(x)，f1，则f的值为_【解析】因为ff(x)，所以f(x)f(f(x)f(x)，所以T，所以ffff1.答案：1利用周期性、奇偶性求函数值利用周期函数的性质求函数值时，先把函数加减正数个周期，把函数化简，再结合函数的奇偶性求解创新思维三角函数的周期性在求和中的应用(逻辑推理)【典例】已知函数f(n)sin ，nZ.求f(1)f(2)f(3)f(2 020)的值【解析】因为f(x)
12、sin ，所以T8，又f(1)sin ，f(2)sin 1，f(3)sin ，f(4)sin 0，f(5)sin ，f(6)sin 1，f(7)sin ，f(8)sin 20，所以f(1)f(2)f(8)0，又2 02025284，所以f(1)f(2)f(3)f(2 020)252f(1)f(2)f(8)f(1)f(2)f(3)f(4)101.(1)求三角函数的周期；(2)导出每个周期内函数值的和为定值【加固训练】设函数f(x)sin x，则f(1)f(2)f(3)f(2 019)f(2 020)()A B C D0【解析】选A.因为f(x)sin x的周期T6，所以f(1)f(2)f(3)f
13、(2 019)f(2 020)336f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(2 017)f(2 018)f(2 019)f(2 020)336(sin sin sin sin sin sin 2)f(33661)f(33662)f(33663)f(33664)3360f(1)f(2)f(3)f(4)sin sin sin sin .1函数ysin (x)(0)是R上的偶函数，则的值为()A0 B C D【解析】选C.当时，ysin cos x是偶函数2函数f(x)2cos 的最小正周期是()A B C2 D4【解析】选D.函数f(x)2cos 的最小正周期T4.3对于函数ysin ，下列判断正确的是()A图象关于y轴对称B是非奇非偶函数C是奇函数D图象与ysin 的图象重合【解析】选A.由诱导公式得ycos x，由于cos (x)cos x，故ysin 为偶函数，其图象关于y轴对称4函数f(x)sin ，xR的最小正周期为_.【解析】由已知得f(x)的最小正周期T4.答案：45函数y4sin (2x)的图象关于_对称【解析】y4sin (2x)4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称答案：原点关闭Word文档返回原板块