1、专题二 三角函数与平面向量第 1 讲 三角函数的图象与性质【命题透视】1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性 2考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点高考命题以中低档题为主，题型全面热点 1 三角函数的图象(多维探究)1“五点法”作图(作 yAsin(x)的简图)设 zx，令 z0，2，32，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得解析 因为 ycos 3xsin3x2 sin 3x6，且 ysin3x4 sin 3x 12，6 12 4，所以应将 ycos 3x 的图象向右平移4个单位长度，即可得到
2、函数 ysin3x4 的图象.故选 A.规律方法1在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 2已知函数 yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置 变式训练(2017 韶关调研)已知函数 f(x)Asinx）（A0，0，|2 的部分图象如图所示(1)求函数 f(x)的解析式；(2)将函数 y
3、f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移6个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)在区间0，8 上的最小值解：(1)设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可知 A1，T223 62，即 T，所以 2，解得 2，故 f(x)sin(2x)由 0sin26 可得3k，kZ，则 k3，kZ，因为|2，所以 3，故函数 f(x)的解析式为 f(x)sin2x3.(2)根据条件得 g(x)sin4x3，当 x0，8 时，4x33，56，所以当 x8时，g(x)取得最小值，且 g(x)min12.热点 2 三角函数的性质1三角函数的单调
4、性y sin x 的 单 调 递 增 区 间 是2k2，2k2(kZ)，单调递减区间是2k2，2k32(kZ)；ycos x 的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x 的递增区间是k2，k2(kZ)2三角函数奇偶性规律yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数，当 k2(kZ)时为偶函数yAcos(x)，当 k2(kZ)时为奇函数，当 k(kZ)时为偶函数yAtan(x)，当 k2(kZ)时为奇函数例2(2017浙江卷)已知函数f(x)sin2 xcos2 x2 3sin xcos x(xR)(1)求 f23 的值；(2)求 f(x)的最小正周期及单调
5、递增区间解：(1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos xcos 2x 3sin 2x2sin2x6，则 f23 2sin43 6 2.(2)f(x)的最小正周期为.由正弦函数的性质得 令 2k22x62k32，kZ，得 k6xk23，kZ.所以函数 f(x)的单调递增区间为k6，k23，kZ.规律方法1讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数 2求 yAsin(x)的单调区间时，要注意，A的符号0 时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加 2k 时，不
6、要忘掉 kZ，所求区间一般为闭区间(2)若函数 yf(x)02 是奇函数，求函数 g(x)cos(2x)在0,2上的单调递减区间.热点 3 三角函数图象与性质的综合应用例 3 已知函数 f(x)2sin xcos x2 3sin2x 3(0)的最小正周期为.(1)求函数 f(x)的单调增区间；(2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1 个单位，得到函数 yg(x)的图象，若 yg(x)在0，b(b0)上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值解：(1)f(x)2sin xcos x 3(2sin2x1)sin 2x 3cos 2x2sin2x3.由最小正周期为，得 1，所以 f
7、(x)2sin2x3.由 2k22x32k2，kZ，整理得 k 12xk512，kZ，所以函数 f(x)的单调增区间是k 12，k512，kZ.(2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1 个单位，得到 y2sin 2x1 的图象，所以 g(x)2sin 2x1.令 g(x)0，得 xk712或 xk1112(kZ)，所以 g(x)在0，上恰好有两个零点，若 yg(x)在0，b上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可 所以 b 的最小值为 41112 5912.规律方法1研究三角函数的图象性质、关键是将函数化为 yAsin(x)B(或 yAcos(x)B)的
8、形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解 变式训练(2017山东卷)设函数f(x)sin x6sin x2，其中 03，已知 f6 0.(1)求；(2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在4，34 上的最小值解：(1)因为 f(x)sinx6 sinx2，所以 f(x)32 sin x12cos xcos x 32 sin x32cos x 312sin x 32 cos x 3sin x3.由题设知 f6 0，所以6 3k，kZ，所以 6k2，kZ.又 03，所以 2.(2)由(1)得 f(x)3sin 2x3，所以 g(x)3sinx43 3sinx 12.因为 x4，34，所以 x 123，23.当 x 123，即 x4时，g(x)取得最小值32.