1、6.3 等比数列及其前n项和考纲要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系 1等比数列的有关概念(1)等比数列的有关概念 一般地，如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比等于_，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示 第2项同一常数公比q2等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，q0，则它的通项公式an_ a1qn1(4)公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3n
2、S2n仍成等比数列，其公比为_ qn(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，anbn，anbn 仍是等比数列【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna（1an）1a.()(6)数列an为等比数列，则
3、 S4，S8S4，S12S8 成等比数列()1(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于()A21 B42 C63D84【解析】设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选B.【答案】B【答案】A 2(2016临沂模拟)已知等比数列an的前 n 项和为 Sna2n116，则 a 的值为()A13B.13C12D.12【解析】当 n2 时，anSnSn1a2n1a2n2a2n2，当 n1 时，a1S1a16，a16a2，a13.3等比数列an
4、中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6B5 C4D3【解析】数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lga8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4 lg(a4a5)4lg(25)44.【答案】C 4(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_ 【答案】2n1【解析】由等比数列性质知 a2a3a1a4，又 a2a38，a1a49，所以联立方程a1a48，a1a49，解得a11，a48或a18，a41，又数列an为递增数列，a11，a48，从而 a1q38，q2.数列an的前 n 项和为 Sn12n12 2n1.5(2
5、016开封模拟)正项等比数列an中，a24，a416，则数列an的前9项和等于_【答案】1 022【解析】an为正项等比数列，q2a4a2164 4，q2，S9a1（1q9）1q2（129）1221021 022.题型一 等比数列基本量的运算【例1】(1)(2016天津河西模拟)在等比数列an中，若公比q4，S321，则该数列的通项公式an()A4n1 B4n C3nD3n1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_【解析】(1)设等比数列an的首项为 a1，由公比 q4，S321，得a1（143）1421，解得 a11，所以 an4n1.故选 A.(2)设等比数列an的公比
6、为 q(q0)，则a1q3a1q6，a1q4a115，两式相除，得q1q225，即 2q25q20，解得 q2 或 q12.所以a11，q2，或a116，q12.故 a34 或 a34.【答案】(1)A(2)4或4【方法规律】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解 跟踪训练 1(1)在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则a5a7等于()A.56B.65C.23D.32(2)(2015湖南)设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，若 a11，且 3S1，2S2，S3 成等差数列
7、，则 an_【答案】(1)D(2)3n1【解析】(1)设公比为 q，则由题意知 0q1，由a2a8a4a66，a4a65，得 a43，a62，所以a5a7a4a632.(2)由 3S1，2S2，S3 成等差数列知，4S23S1S3，可得 a33a2，所以公比 q3，故等比数列通项 ana1qn13n1.题型二 等比数列的判定与证明【例2】设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式【解析】(1)证明 由 a11 及 Sn14an2，有 a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又Sn14an2，Sn
8、4an12（n2），得 an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 bnan12an32n1，an12n1an2n34，故an2n 是首项为12，公差为34的等差数列 an2n12(n1)343n14，故 an(3n1)2n2.【引申探究】例2中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变探求数列an的通项公式【解析】由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，又a11，当n1时上式也成立，故an1是以2
9、为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.【方法规律】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证 跟踪训练 2(2016课标全国)已知数列an的前 n 项和 Sn1 an，其中 0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S53132，求.【解析】(1)证明 由题意得 a1S11a1，故 1，a111，a10.由 Sn1an，Sn11an1，两式相减得 an1an1an，即(1)an1an.由 a10，0
10、，得 an0，所以an1an 1.因此an是首项为11，公比为 1的等比数列，于是 an111n1.(2)由(1)得 Sn11n.由 S53132，得 1153132，即15 132.解得 1.题型三 等比数列的性质及应用【例 3】(1)在等比数列an中，各项均为正值，且 a6a10a3a541，a4a85，则 a4a8_(2)(2016石家庄模拟)在等比数列an中，若 a7a8a9a10158，a8a998，则 1a7 1a8 1a9 1a10_【解析】(1)由 a6a10a3a541 及 a6a10a28，a3a5a24，得 a24a2841.因为 a4a85，所以(a4a8)2a242a
11、4a8a28412551.又 an0，所以 a4a8 51.(2)因为 1a7 1a10a7a10a7a10，1a8 1a9a8a9a8a9，由等比数列的性质知 a7a10a8a9，所以 1a7 1a8 1a9 1a10a7a8a9a10a8a9158 98 53.【答案】(1)51(2)53【方法规律】(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若mnpq，则有amanapaq”，可以减少运算量(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，公比为qk(
12、q1)跟踪训练3(1)(2016衡水模拟)已知正数组成的等比数列an，若a1a20100，那么a7a14的最小值为()A20B25 C50D不存在(2)(2016珠海质量监测)等比数列an共有奇数项，所有奇数项和S奇255，所有偶数项和S偶126，末项是192，则首项a1等于()A1B2 C3D4【答案】(1)A(2)C【解析】(1)(a7a14)2a27a2142a7a144a7a144a1a21400.a7a1420.(2)设等比数列an共有 2k1(kN*)项，则 a2k1192，则S奇a1a3a2k1a2k11q(a2a4a2k)a2k11qS偶a2k1126q 192255，解得 q
13、2，而 S 奇a1a2k1q21q2a1192（2）21（2）2255，解得 a13，故选 C.思想与方法系列 12分类讨论思想在等比数列中的应用【典例】(12 分)已知首项为32的等比数列an的前 n 项和为Sn(nN*)，且2S2，S3，4S4 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn 1Sn136(nN*)【思路点拨】(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明【规范解答】(1)设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3，4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得 2a4a3，于是 qa4a31
14、2.(2 分)又 a132，所以等比数列an的通项公式为 an3212n1(1)n1 32n.(3 分)(2)证明 由(1)知，Sn112n，Sn 1Sn112n1112n 212n（2n1），n为奇数，212n（2n1），n为偶数.(6 分)当 n 为奇数时，Sn 1Sn随 n 的增大而减小，所以 Sn 1SnS1 1S1136.(8 分)当 n 为偶数时，Sn 1Sn随 n 的增大而减小，所以 Sn 1SnS2 1S22512.(10 分)故对于 nN*，有 Sn 1Sn136.(12 分)【温馨提醒】(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 已知Sn与an的关系，要分n1
15、，n2两种情况 等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论 项数的奇、偶数讨论 等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.方法与技巧1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，a2n，1an 也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：an1an q(q 是不等于 0 的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用 anan1q(q 是不等于 0 的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n的初始值不同(2)等比中项法：a2n1anan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列失误与防范 1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况 2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误 4等比数列性质中：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，不能忽略条件q1.
