1、北京市丰台区2003年高三第一次模拟试卷数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共50分） 参考公式： 三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式 其中分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的体积公式 其中R表示球的半径一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）复数z满足，则复数z的模等于（ ） A. B. C. D. （2）直线到直线的角是（ ） A. B. C. D. （3）直线m在平面内，直线n在
2、平面内，下面命题正确的是（ ） A. B. C. D. （4）直线与曲线的公共点的个数是（ ） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个（5）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ） A. 0B. C. 1D. （6）如图所示，图甲是一个实验用的吸管的轴截面图，下端是一个高为1cm的圆锥，中间是一个直径为2cm的圆柱，上端是个半球，当将这个吸管倒置（图乙）时，液体盖住圆柱的高度是2cm，则球的半径是（ ） A. 3cmB. C. 2cmD. （7）在某班学生中，选出3个组长的总方法数与只选出正、副班长的总方法数之比为14:3，则该班学生的人数为（ ） A. 25人B. 30人C.
3、 35人D. 40人（8）四棱锥P-ABCD底面是正方形，且底面ABCD，则异面直线PB与AC所成的角是（ ） A. B. C. D. （9）设是定义在实数集上以4为周期的偶函数，且在区间0，2上是减函数，则在区间上是（ ） A. 增函数B. 减函数 C. 先减后减的函数D. 先减后增的函数 （10）椭圆的左准线为l，左、右焦点分别为，抛物线的准线为l，焦点是，与的交点为P，则等于（ ） A. 1B. C. D. 第II卷（非选择题 共100分）二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。（11）直线与圆（为参数）相切，则_（12）在等比数列中，若，则_（13）直
4、线与曲线在内有两个不同的交点，则实数a的取值范围是_。（14）某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛。顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆（如图所示），若这垛花盆底层最长一排共有13个花盆，底层共有_个花盆。三. 解答题：本大题共6小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分14分） 已知集合，设，求集合M。（16）（本小题满分14分） 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，又，试比较与2c的大小，并说明你的结论。 （17）（本小题满分14分） 在长方体中，点E、F分别在上，且，。 （I）求证平面AEF； （
5、II）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角或直角，则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。试根据上述定理，在时，求平面AEF与平面所成角的大小（用反三角函数值表示） （18）（本小题满分14分） 已知双曲线M的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。 （I）求双曲线M的方程； （II）直线l与双曲线M交于C、D两点，与圆交于A、B两点。若A、B为线段CD的三等分点，求直线l的方程 （19）（本小题满分14分） 下图是树形图形。第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段成角的线段
6、，长度为其一半；第三层按第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作图至第n层。设树的第n层的最高点到水平线的距离为n层的树形图的高度。 （I）求第三层及第四层的树形图的高度； （II）求第n层的树形图的高度； （III）若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”，否则称为“矮小”，试判断该树形图是“高大”还是“矮小”的？ （20）（本小题满分14分） 设函数（且）的反函数为，已知函数的图象与函数的图象关于点（a，0）对称。 （I）求函数的解析式； （II）是否存在实数a，使当时，恒有成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。参考答案一. 选择题（每题5分，共50分）1
7、. A2. C3. D4. B5. D6. C7. B8. C9. A10. A二. 填空题（每题4分，共16分）11. 或912. 4013. 14. 127三. 解答题（共6个小题，共84分）15. （本小题满分14分）解：令原不等式可化为或（舍）7分或7分12分14分16. （本小题满分14分）解：为锐角三角形且3分化简得6分依题意得解得8分由正弦定理有12分14分17. （本小题满分14分）解：（1）平面在平面的射影为由，AE在平面内，得同理可得所以平面AEF6分（2）在平面AC内，过点C作交AB于点P连结，又平面，由（1）知平面AEF，则是平面AEF与平面所成的角10分设，则在中，在
8、中，13分由定理知，平面AEF与平面所成角的大小为14分18. （本小题满分124分）解：（1）双曲线M的离心率为，设所求双曲线方程为双曲线M过点，所求双曲线M的方程为3分（2）当直线l与x轴垂直时，显然不符合题意；设所求直线l的方程为有设又设5分依题意，线段AB与线段CD的中点相同所以得8分若，则，直线方程为，此时，即，解得检验：所求直线方程为11分若且时，直线方程为，显然不合题意。若且时，直线方程为解得，而所求直线方程为综上所述，所求直线方程为和14分19. （本小题满分14分）解：（1）3分（2）当n为偶数时当n为奇数时，9分第n层的树形图的高度为10分（3）由（2）知当，由定义知树形图为“矮小”的14分20. （本小题满分14分）解：（1）设函数上任意一点为关于点（a，0）的对称点是点关于直线的对称点是点在函数图像上代入得5分另解：函数上任意一点（）关于点的对称点在函数图像上，有即（2）假设存在实数a，使当时，恒有成立即且此时则函数在上是增函数函数在上是减函数9分所以函数的最小值是最大值是依题意，得13分故存在实数a，使当时，恒有成立此时，a的取值范围为14分8