1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第五章三 角 函 数5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角在初中我们曾经学习过角,角是由两条射线围成的图形,角的范围是0360,但是在实际生活中,我们还会遇到比如在用扳手拧螺丝的时候,既可以顺时针旋转,也可以逆时针旋转;又比如在跳水比赛中,有向后转体720的动作.【问题1】怎样用角区分扳手顺时针旋转、逆时针旋转?【问题2】720的角与我们初中所学的角有何区别?【问题3】如何定义生活中的这些角?1.任意角角的分类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转
2、形成的角零角一条射线没有做任何旋转,称它形成了一个零角(1)本质:将初中的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广的任意角.(2)混淆:实际问题中容易混淆正角和负角.正角、负角、零角是根据什么区分的?提示:角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的,逆时针旋转时为正角,顺时针旋转时为负角,不做任何旋转时记为零角.2.象限角如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|=+k360,kZ,即任一与角终边相
3、同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.本质:相差360的整数倍的角,终边相同.1.一个小时过去了,时针转过的角度是30吗?2.第一象限的角一定是锐角吗? 3.始边与终边相同的角一定是0角吗?提示:1.不是;2.不一定;3.不一定.观察教材图5.1-5,你能分别表示出终边在两条射线上的角的集合吗?提示:终边分别在两条射线上的角的集合为,.1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是()A.120B.-120C.240D.-240【解析】选D.按顺时针方向旋转形成的角是负角,排除A,C;又由题意知旋转的角度是240,排除B.2.下列说法正确的是()A.第一象限的角一定是正角B.三角形
4、的内角不是锐角就是钝角C.锐角小于90D.终边相同的角相等【解析】选C.-355是第一象限的角,但不是正角,所以A错误;三角形的内角可能是90,所以B错误;锐角小于90,C正确;45角与405角的终边相同,但不相等,所以D错误.基础类型一任意角的相关概念及应用(直观想象)1下列说法中正确的是()A120角与420角的终边相同B若是锐角，则2是第二象限的角C240角与480角都是第三象限的角D60角与420角的终边关于x轴对称【解析】选D.对于A，42036060，所以60角与420角的终边相同，所以A不正确；对于B，30是锐角，而260也是锐角，所以B不正确；对于C，480360120，所以4
5、80角是第二象限角，所以C不正确；对于D，42036060，又60角与60角的终边关于x轴对称，所以D正确2下列与420角终边相同的角是()A120 B420 C660 D280【解析】选C.与420角终边相同的角为n360420(nZ)，当n3时，n360420660.3下列角的终边位于第二象限的是()A420 B860 C1 060 D1 260【解析】选B.42036060，终边位于第一象限；8602360140，终边位于第二象限；1 0602360340，终边位于第四象限；1 2603360180，终边位于x轴非正半轴角所在象限的判断(1)在0360范围内的角可以直接判断；(2)不在0
6、360范围内的角，找到与它终边相同的角，根据在0360范围内的角判断微提醒：终边在坐标轴上的角不在任何象限基础类型二终边在射线(直线)上角的表示(数学运算)【典例】写出终边在直线yx上的角的集合【解析】终边在射线yx(x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ；终边在射线yx(x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ因此，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ故终边在直线yx上的角的集合是S|120n180，nZ【备选例题】终边在直线y=x上的角的集合S=_.【解析
7、】在0360范围内,终边在直线y=x上的角有两个:30,210(如图),所以终边在y=x上的角的集合是S=|=30+k360,kZ|=210+k360,kZ=|=30+2k180,kZ|=30+180+2k180,kZ=|=30+2k180,kZ|=30+(2k+1)180,kZ=|=30+n180,nZ.答案:|=30+n180,nZ终边在一条直线上的角的表示找出终边在这条直线上的任意一个角，则终边在这条直线上的角为k180，kZ.微提醒：终边相同的角之间相差k180，kZ，而不是k360，kZ.终边落在直线yx上的角的集合为_【解析】终边落在直线yx上的角的集合为.答案：综合类型终边相同角
8、的应用(数学运算、空间想象)区域角的表示(1)如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合为_【解析】终边落在阴影部分的角的集合为|k36030k360105，kZ答案：|30k360105k360，kZ(2)如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合为_【解析】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ所以角的集合应当是集合与的并集，即S|k36030k360105，kZ|k360210k360285，kZ|2k180302k180105，kZ|(2k1)18030(2k1)180105，kZ|n18030n180105，n
9、Z 答案：|30n180105n180，nZ关于区域角的表示(1)射线围成的区域：先表示出终边在两条射线上的角，按照逆时针方向，经过阴影区域，一条射线旋转到另一条射线的顺序，写出角的范围及集合；(2)直线围成的区域：先表示出终边在两条直线上的角，按照逆时针方向，经过阴影区域，一条直线旋转到另一条直线的顺序，写出角的范围及集合【加固训练】如图所示,终边落在阴影部分的角的集合是()A.|-45120B.|120315C.|k360-45k360+120,kZD.|k360+120k360+315,kZ【解析】选C.在-360360范围内,阴影部分表示为-45120,所以所求角的集合为|k360-4
10、5k360+120,kZ.求终边相同的角【典例】已知角的终边在直线yx上(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360720的元素【解析】(1)如图，直线yx过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线OA上的角是60，终边落在射线OB上的角是240，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ(2)由于360720，即36060n180720，nZ，解得n，nZ，所以n2，1，0，1，2，3.
11、所以S中适合不等式360720的元素为：602180300；601180120；60018060；601180240；602180420；603180600.求一定范围内的终边相同的角首先表示符合条件的终边相同的任意角，再根据范围求出k的范围或逐一验证k值，求出所求角【加固训练】已知=-1 910.(1)把写成+k360(kZ,0360)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求,使与的终边相同,且-7200.【解析】(1)设=+k360(kZ),则=-1 910-k360(kZ).令-1 910-k3600,解得k-=-5.k的最大整数解为k=-6,求出相应的=250,于是=250-6360,它
12、是第三象限角.(2)令=250+n360(nZ),取n=-1,-2就得到符合-7200的角.250-360=-110,250-720=-470.故=-110或=-470.创新拓展象限角及其应用(数学运算)【典例】若是第二象限角，则2，分别是第几象限的角？【解析】(1)因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)，所以180k7202360k720，所以2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上(2) 因为是第二象限角，所以90k360180k360(kZ)，所以45k18090k180(kZ).当k2n(nZ)时，45n36090n360(nZ)，即是第一象限角；当k2n
13、1(nZ)时，225n360270n360(nZ)，即是第三象限角故是第一或第三象限角角与所在象限的关系已知范围，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可1下列各角中与225角终边相同的是()A585 B315 C135 D45【解析】选A.与225角终边相同的角为225k360，kZ，取k1，得585，所以585角与225角终边相同2将885化为k360(0360，kZ)的形式是()A165(2)360 B195(3)360C195(2)360 D165(3)360【解析】选B.885195(3)360.3在0360内与35终边相同的角是
14、()A325 B125 C35 D235【解析】选A.因为35(1)360325，所以0360内与35终边相同的角是325.42 022是第_象限角【解析】因为2 0225360222，又222在第三象限，故2 022是第三象限角答案：三5已知角的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么_【解析】在0360范围内，终边落在阴影内的角满足30150或210330，所以所有满足题意的角的集合为|k36030k360150，kZ|k360210k360330，kZ|2k180302k180150，kZ|(2k1)18030(2k1)180150，kZ|n18030n180150，nZ答案：|30n180150n180，nZ关闭Word文档返回原板块