1、学案4 直线与圆、圆与圆的位置关系考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3返回目录考 纲 解 读 直线与圆、圆与圆1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考 向 预 测 从近两年的高考试题来看,直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等是高考的热点，三种题型都有可能出现，难度属中等偏高；客观题主要考查直线与圆的位置关系、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、弦长等问题外，还考查基本运算、等价转化、
2、数形结合思想等.预测2012年高考仍将以直线与圆的位置关系为主要考点,考查运算能力和逻辑推理能力.返回目录返回目录1.直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系可分为三种：、.（2）判定直线与圆的位置关系主要有两种方法：方法一是把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置.相交相离相切0 直线和圆.=0 直线和圆.0 直线和圆.关系：相交相切相离方法二是把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR直线和圆.相交相切相离返回目录 2.圆的切线问题(1)圆x2+y2=r2的斜率为k的切线方程是.(2)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为.(3)若点P
3、(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)上，则过点P的切线方程为.1+krkx=y20FE2yyD2xxyyxx0000=+rb)-b)(y-(ya)-a)(x-(x 200=+返回目录 3.圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种:、.(2)判断圆与圆的位置关系常用几何法:设O1的半径为r1,O2的半径为r2，两圆的圆心距为d,当|r1-r2|dr1+r2时，两圆;当r1+r2=d时，两圆;当|r1-r2|=d时，两圆;当r1+r2d时，两圆;当|r1-r2|d时，两圆.内含外离相交外切内切内含相交外切内切外离返回目录已知圆x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m
4、2-2m-24=0（mR）.(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.考点1 直线与圆的位置关系返回目录【分析】用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的 关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长.【解析】（1）证明：配方得（x-3m）2+y-(m-1)2=25,x=3my=m-1，l：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l：x-3y-3=0上.消去
5、m得设圆心为（x，y），则返回目录（2）设与l平行的直线是l1：x-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=圆的半径为r=5，当dr,即-5 -3b5 -3时，直线与圆相交；当d=r，即b=5 -3时，直线与圆相切；当dr,即b-5 -3或b5 -3时，直线与圆相离.10|b3|10|b)1-3(m-3m|+=+1010101010（3）证明：对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=，弦长=2 且r和d均为常量.任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.返回目录10|b3|+22 d-r 返回目录直线与圆的位置关系有相离（没有公共点）
6、、相切（只有一个公共点）、相交（有两个公共点）三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数.已知圆 x2+y2=8，定点P（4，0），问 过P点直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆（1）相切，（2）相交，（3）相离？并写出过P点的切线方程.解法一:设过P点的直线的斜率为k（由题意知k存在），则其方程为y=k(x-4).y=k(x-4)x2+y2=8 即(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0,=(-8k2)2-4(1+k2)(16k2-8)=32(1-k2).返回目录消去y，得 x2+k2(x-4)2=
7、8,由(1)令=0，即32(1-k2)=0,当k=1时，直线与圆相切，切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.(2)令0，即32(1-k2)0,解得-1k1，当-1k1时，直线与圆相交.(3)令0，即32(1-k2)0,解得k1或k-1,当k-1或k1时，直线与圆相离.返回目录返回目录解法二:设圆心到直线的距离为d，则(1)d=r，即=,k2=1,k=1时直线与圆相切，其切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0.(2)dr,即,k21，即-1k1时直线与圆相交.(3)dr，即,k21,即k-1或k1时直线与圆相离.k1|k|4k1|4k-0-k0|d22+=+=2k1|k|4+2k1|k|4
8、+2k1|k|4+888已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过M点的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.【分析】(1)设出切线方程易求.(2)利用d=r可求.(3)利用=r2-d2求得a.考点2 圆的切线与弦长返回目录22l 3【解析】(1)由题意可知M在圆(x-1)2+(y-2)2=4外,故当x=3时满足与圆相切.当斜率存在时设为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0.由,k=,所求的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)由ax
9、-y+4=0与圆相切知=2,a=0或a=.(3)圆心到直线的距离d=又l=2 ,r=2,由r2=d2+,可得a=-.返回目录21k|k312-k|2431a|42-a|2 341a|2a|2 322l 43返回目录求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上，则该点为切点；若在圆外，切线应有两条.一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线.返回目录已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2,P点为(2,-1)，过点P作圆C的切线，切点为A,B.（1）求直线PA,PB的方程；（2）求切线PA的长；（3）求过两点A,
10、B的直线方程；（4）求弦长|AB|.返回目录（1）由题意可设圆的切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0，由圆心C(1,2)到切线的距离为半径2,即k2-6k+7=0,解之得k=7或k=-1.因而所求切线方程为7x-y-15=0或x+y-1=0.=+21k|3-k|2（2）在RtPCA中，|PA|2=|PC|2-|AC|2=8，|PA|=2 .（3）以P为圆心，|PA|长为半径的圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=8，则线段AB为两圆的公共弦，由圆系知，公共弦所在直线AB的方程为x-3y+3=0.（4）圆心(1,2)到弦AB的距离d=,圆半径的平方r2=2,由平面几何知识得|
11、AB|=返回目录2102(-3)1|36-1|22=+.1054104-22d-r222=返回目录2009年高考四川卷若O:x2+y2=5与O1:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是.考点3 圆与圆的位置关系【分析】结合图形分析可知两切线分别过另一圆的圆心,然后可求解.【解析】由题意O1与O在A处的切线互相垂直,则两切线分别过另一圆的圆心,O1AOA.又|OA|=,|O1A|=2 ,|OO1|=5,而A,B关于OO1轴对称，AB为RtOAO1斜边上高的2倍，即|AB|=2=4.返回目录555525 圆和圆的位置关系,从交点个数也就是
12、方程组解的个数来判断,有时得不到确切的结论.比如两圆只有一个交点时,固然相切.但是内切还是外切呢?就不清了,所以判断两圆的位置关系,通常还是从圆心距d与两圆半径R,r的关系入手.返回目录返回目录已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，m为何值时，（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含？对于圆C1与圆C2的方程，经配方后C1：（x-m）2+（y+2）2=9；C2：（x+1）2+（y-m）2=4.（1）如果C1与C2外切，则有即（m+1）2+（m+2）2=25.m2+3m-10=0，解得m=-5或m=2.2.32)m()1(
13、m22+=+（2）如果C1与C2内含，则有(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,得-2m-1,当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2外切；当-2m-1时，圆C1与圆C2内含.2.-32)m()1(m22+返回目录返回目录1.过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种：（1）用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程.（2）用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式,求出切线的斜率，进而求得直线方程.2.若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.返回目录
