1、北京市东城区2003年高三年级综合练习二数学试题（文）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第卷（选择题共60分）参考公式：正棱台、圆台的侧面积公式其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长台体的体积公式其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高三角函数的和差化积公式 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合A=R，B=R+，f：AB是从A到B的一个映射，若f：x2x1，则B中的元 素3的原象为（ ）A1B1C2D32已知命题甲为；命题乙为，那么（ ）A甲是乙的充分非必要条件B
2、甲是乙的必要非充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件3下列函数中，周期为的奇函数是（ ）ABCD4在复平面中，对应的复数分别为1+2i，23i，则对应的复数为（ ）A15iB1+5iC34iD3+4i5若的值为（ ）A1B2C512D5106在复平面中，已知点A（2，1），B（0，2），C（2，1），O（0，0）.给出下面的结论： 直线OC与直线BA平行； ； ； 其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个7过原点的直线与圆相切,若切点在第二象限，则该直线的方程是（ ）ABCD 8在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为13，则锥体
3、 被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）AB19CD9将4张互不相同的彩色照片与3张互不相同的黑白照片排成一排，任何两张黑白照片都 不相邻的不同排法的种数是（ ）ABCD10已知数列的通项公式是，其中a，b均为正常数，那么an与an+1的大小关系是（ ）ABCD与n的取植相关11双曲线的虚轴长为4，离心率分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于（ ）A8BCD812某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调 查结果如下表：表1 市场供给量 表2 市场需求量单价(元/kg)22
4、.42.83.23.64供给量(1000kg)506070758090单价(元/kg)43.42.92.62.32需求量(1000kg)506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间A（2.3，2.6）内B（2.4，2.6）内C（2.6，2.8）内D（2.8，2.9）内第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上.13的值为 .14已知偶函数的图象与x轴有五个公共点，那么方程 =0的所有实根之和等于 。15已知抛物线上一点A到此抛物线焦点的距离为，那么点A的坐标为 .16将三棱锥PABC（如图
5、甲）沿三条侧棱剪开后，展成如图乙的形状，其中P1，B，P2共线，P2，C，P3共线，且P1P2=P2P3，则在三棱锥PABC中，PA与BC所成的角大小是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知的值.18（本小题满分12分）如图，在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为C1D1与AB的中点. （）求证：四边形A1ECF是菱形； （）求证：EF平面A1B1C； （）求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值.19（本小题满分12分）若是定义在（0，+）上的减函数，且对一切，都有（）求的值；（）若解不等式.20（本
6、小题满分12分）双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且过点（3，2）.过这个双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线的两条准线于M、N两点，以MN为直径的圆过原点，求此双曲线的方程.21（本小题满分12分）某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a个标段（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数.设新建1个标段道路的平均造价为k万元，新建1个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的倍（1）,n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为，它与的关系为=（）写出新建道路交叉口的总造价y（万元）与x的函数关系式；（）
7、若要求路网的堵塞率介于5%与10%之间，而且新增道路标段为原有道路标段数的25%，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比P的取值范围；（）当b=4时，在（）的假设下，要使路网最通畅，且造价比P最高时，问原有道 路标段为多少个？22（本小题满分14分）已知函数其中.对于数列，设它的前n项和为Sn，且. （）求数列的通项公式； （）证明：； （）证明：点都在同一直线上.北京市东城区2003年高三年级综合练习二数学试题（文）参考答案及评分标准一、（1）C （2）A （3）A（4）A（5）D（6）C （7）D （8）D（9）D （10）B（11）A（12）C二、（13）1 （14）0 （
8、15） （16）90三、（17）解：根据倍角公式sin2x=2sinxcosx, cos2x=1sin2x，由原式得 4sin2xcos2x+2sin2xcosx2sin2x=0 2sin2x (2cos2x+cosx1)=03分 2sin2x (2cosx1)(cosx+1)=06分 cosx+1 0, sin2x 0. 2cosx1=0, 即cosx=.10分 x= .11分 tg2x=12分18解：（）取A1B1中点G，连结C1G，GF .EC1A1G .则四边形A1GC1E是平行四边形，A1E/C1G 同理C1GCF . A1EC1F .由勾股定理易算出A1E=A1F=CF= 四边形A
9、1ECF是菱形3分（）连结C1B . 四边形A1ECF为菱形，EFA1C .4分 EC1FB， 四边形EC1BF为平行四边形.EFC1B且EF=C1B= a .C1BB1C，EFB1C6分则有EF平面A1B1C.7分（）由（）知，EF平面A1B1C，又EF平面A1ECF. 平面A1ECF平面A1B1C.8分 B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上. B1A1C为A1B1与截面A1ECF所成的角.9分 A1B1平面B1C1CB. A1B1B1C.10分 在RtA1B1C中，A1B1=a，B1C=. 即A1B1与截面A1ECF所成的角正切值为.12分（19）解：（）令4分 （） 6分 8分 上
10、是减函数， 等价于 10分 即有12分（20）解；设双曲线方程为 点P（3，2）在双曲线上， 2分 设直线l：与双曲线两准线方程联立. 解得M、N坐标为6分 以MN为直径的圆过原点， OMON，从而8分即 解得.10分由，解得 故所求双曲线方程为12分21解：（）依题意得，新建道路交叉口的总造价（单位：万元）为 y=kn=k(ax+b).3分 （）5分 由于5%.7分 . 又由已知所以P的取值范围是（无等号不扣分）.8分（）当b=4时，在（）的条件下，若路网最通畅，则=9. 又造价比最高.10分 当且仅当时取等号.满足（）的条件的原有道路标段是4个.12分22解：（） 当n=1时，1分当时，3分由于n=1时，适合上式，故数列的通项公式为 5分（）， 是以2p为公差的递增的等差数列.7分即8分 所以9分（）要证M1，M2，M3，Mn在同一直线上，只需证明其中任意一点连线的斜率为定值即可.12分Mr，M1的连线的斜率为定值p，即M1，M2，M3，Mn都在过M1且斜率为P的直线上.故M1，M2，Mn都在同一直线上.14分