1、2015-2016学年内蒙古包头市北重五中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1命题“R，x20”的否定是（）AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x202“x1”是“x23x+20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，B=60，C=75，则b等于（）A4B4C4D4双曲线的渐近线方程为（）ABCD5对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A若ab，c0，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ac2bc2，则abD若ab，则6已知F
2、1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A椭圆B直线C线段D圆7已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A24B20C16D128设a1b1，则下列不等式中恒成立的是（）ABCab2Da22b9Sn是等差数列an的前n项和，如果S10=120，那么a3+a8的值是（）A12B24C36D4810二次不等式ax2+bx+10的解集为x|1x，则ab的值为（）A5B5C6D611设F1和F2为双曲线=1（a0，b0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）AB2CD312已知直线l过抛物线C
3、的焦点，且与C的对称轴垂直l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（）A18B24C36D48二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=14已知椭圆x2+ky2=3k（k0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是15若n0，则的最小值为16设a=+2，b=2+，则a，b的大小关系为三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17不等式|x1|+|x+2|5的解集为18已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根
4、；命题q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围19在ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求ABC的面积20已知数列an满足递推式an=2an1+1（n2），其中a4=15（1）求证：数列an+1为等比数列； （2）求数列an的前n项和Sn21设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0b1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（）求ABF2的周长；（）求|AB|的长；（）若直线的斜率为1，求b的值22已知椭圆C： =1
5、（ab0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6（）求椭圆C的方程；（）设直线l：y=kx2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程2015-2016学年内蒙古包头市北重五中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1命题“R，x20”的否定是（）AxR，x20BxR，x20CxR，x20DxR，x20【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“R，x20”的否定是xR，x20故选：D【点
6、评】本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题2“x1”是“x23x+20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题【分析】由x23x+20，推出x1且x2，因此前者是后者的必要不充分条件【解答】解：由x23x+20，得x1且x2，能够推出x1，而由x1，不能推出x1且x2；因此前者是后者的必要不充分条件故答案为：B【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次方程的解法，属于基础题型3在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=8，B=60，C=75，则b等于（）A4
7、B4C4D【考点】正弦定理【专题】计算题【分析】先根据三角形内角和求得A，进而利用正弦定理以及a，sinA和sinB求得b【解答】解：A=1806075=45由正弦定理可知，b=4故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用属基础题4双曲线的渐近线方程为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】先由解析式求出a=4，b=3；再代入焦点在x轴上的渐近线方程的公式即可找到答案【解答】解：由题得，a=4，b=3，且焦点在x轴上；所以渐近线方程为y=x=故选 C【点评】本题考查双曲线的渐近线方程在求双曲线的渐近线方程时，一定要先判断焦点所在位置，再代入公式，避免出错5对于任意实数a，b，
8、c，d，下列命题中正确的是（）A若ab，c0，则acbcB若ab，则ac2bc2C若ac2bc2，则abD若ab，则【考点】不等关系与不等式【专题】阅读型【分析】对于A、当c0时，不成立；对于B、当c=0时，不成立；D、当a0b0时，不成立，从而得出正确选项【解答】解：A、当c0时，不成立；B、当c=0时，不成立C、ac2bc2，c0，c20一定有ab故C成立；D、当a0b0时，不成立；故选C【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等式的性质等基础知识，属于基础题6已知F1，F2是距离为6的两个定点，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹是（）A椭圆B直线C线段D圆【考点】轨迹方
9、程【专题】动点型【分析】可以画出线段F1F2，根据图形即可找到满足条件的点M的分布情况，从而得出M点的轨迹【解答】解：M一定在线段F1F2上，如果点M不在该线段上，如图所示：若M不在直线F1F2上时，根据两边之和大于第三边知：|MF1|+|MF2|F1F2|=6；即这种情况不符合条件；M在F1F2的延长线或其反向延长线上时，显然也不符合条件；只有M在线段F1F2上符合条件；M点的轨迹是线段故选：C【点评】考查点的轨迹的概念，以及两边之和大于第三边定理，可画出图形，也可想象图形7已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为（）A24B20C16D12【考点】简单线性规划【分析】画可行域
10、z为目标函数纵截距四倍画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故选B【点评】本题考查线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解8设a1b1，则下列不等式中恒成立的是（）ABCab2Da22b【考点】不等关系与不等式【专题】计算题【分析】通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a1b1但故
11、A错对于B，例如a=2，b=此时满足a1b1但故B错对于C，1b10b21a1ab2故C正确对于D，例如a=此时满足a1b1，a22b故D错故选C【点评】想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证9Sn是等差数列an的前n项和，如果S10=120，那么a3+a8的值是（）A12B24C36D48【考点】等差数列的通项公式【专题】对应思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】根据等差数列的前n项和公式与通项公式，即可求出a3+a8的值【解答】解：Sn是等差数列an的前n项和，S10=120，a1+a10=24a3+a8=a1+a10=24故选：B【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式与通项
12、公式的应用问题，是基础题目10二次不等式ax2+bx+10的解集为x|1x，则ab的值为（）A5B5C6D6【考点】一元二次不等式的解法；基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】先对原不等式进行等价变形，进而利用韦达定理求得和的值，进而求得a和b，则ab的值可求得【解答】解：不等式ax2+bx+10的解集为x|1x，a0，原不等式等价于ax2bx10，由韦达定理知1+=，13=，a=3，b=2，ab=6故选D【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法注意和一元二次方程的相关问题解决11设F1和F2为双曲线=1（a0，b0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲
13、线的离心率为（）AB2CD3【考点】双曲线的简单性质【分析】=tan60=4b2=3c24（c2a2）=3c2c2=4a2=4e=2【解答】解：如图，=tan60，=，4b2=3c2，4（c2a2）=3c2，c2=4a2，=4，e=2故选B【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用12已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为（）A18B24C36D48【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】数形结合法【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后
14、根据通径|AB|=2p，求出p，ABP的面积是|AB|与DP乘积一半【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又ABx轴|AB|=2p=12p=6又点P在准线上DP=（+|）=p=6SABP=（DPAB）=612=36故选C【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：2【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】由三角形的内角和
15、以及三个角的比例关系，求出三个角，利用正弦定理即可求出比值【解答】解：A：B：C=1：2：3，A+B+C=180A=30，B=60，C=90，由正弦定理，得：a：b：c=1：2故答案为：1：2【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键14已知椭圆x2+ky2=3k（k0）的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合”得到焦点的x轴上，从而确定a2，b2，再由“c2=a2b2”建立k的方程求解，最后求得该椭圆的离
16、心率【解答】解：抛物线y2=12x的焦点（3，0）方程可化为焦点（3，0）在x轴上，a2=3k，b2=3，又c2=a2b2=9，a2=12，解得：k=4=故答案为：【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及性质，在研究和应用性质时必须将方程转化为标准方程再解题15若n0，则的最小值为6【考点】基本不等式【专题】转化思想；不等式【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：n0，则=+3=6，当且仅当n=2时取等号故答案为：6【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16设a=+2，b=2+，则a，b的大小关系为ab【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解
17、法及应用【分析】先分别将a，b平方，再进行大小比较即可【解答】解：a=+2，b=2+，a、b的大小关系为ab；故答案为 ab【点评】此题主要考查了无理数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较平方法等三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17不等式|x1|+|x+2|5的解集为（，32，+）【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求【解答】解：由不等式|x1|+|x+2|5，可得，或
18、 ，或 解求得x3，解求得 x，解求得x2综上，不等式的解集为（，32，+），故答案为：（，32，+）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题18已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】通过p为真，求出实数m的取值范围；通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围，通过p或q为真，p且q为假，分类讨论求出求实数m的取值范围【解答】解：p：方程有负根m=（x+）2；q：方程无实数根，即=
19、16（m2）2160，解得1m3，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m3，当p为假q为真时，解得1m2，1m2或m3，所以实数m的取值范围为1m2或m3【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力19在ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形【分析】（1）运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到；（2）运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到【解答】解：（1）由cosA=，得
20、sinA=，即有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=；（2）由正弦定理可得，a=，则ABC的面积为S=absinC=【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和的正弦公式和同角的平方关系的运用，属于基础题20已知数列an满足递推式an=2an1+1（n2），其中a4=15（1）求证：数列an+1为等比数列； （2）求数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】（1）由an=2an1+1变形为：an+1=2（an1+1），利用等比数列的通项公式即可得出（2）由，利用等比数列的前n项和公式
21、即可得出【解答】（1）证明：由an=2an1+1变形为：an+1=2an1+2，即an+1=2（an1+1），an+1是以a1+1=2为首项以2为公比的等比数列；（2）解：，Sn=a1+a2+a3+an=（211）+（221）+（231）+（2n1）=（21+22+23+2n）n=2n+12n【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0b1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（）求ABF2的周长；（）求|AB|的长；（）若直线的斜率为1，求b的
22、值【考点】椭圆的定义；等差数列的通项公式；直线的斜率【专题】计算题【分析】（）F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0b1）的左、右焦点，可以推出a=1，推出|AF2|+|A B|+|BF2|=4a，从而求出ABF2的周长；（）因为|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，可得|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|A B|+|BF2|=4，求出|AB|的长；（）已知L的方程式为y=x+c，其中c=，联立直线和椭圆的方程，设出A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，求出b的值【解答】解：（）因为椭圆E：x2+=1（0b1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，由
23、椭圆定义知|AF2|+|A B|+|BF2|=4a已知a=1ABF2的周长为43分（） 由已知|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列|AF2|+|BF2|=2|AB|，又|AF2|+|A B|+|BF2|=4故3|AB|=4，解得|AB|=.6分（）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程，化简得，（1+b2）x2+2cx+12b2=0，则x1+x2=，x1x2=，因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=|x2x1|，即=|x2x1|，则=（x1+x2）24x1x2=，解得b=；12分【点评】此题主要考查椭圆的定义及其应用，把等差数列作为载体进行出题，考查圆锥曲线，是一
24、种创新，此题是一道综合题；22已知椭圆C： =1（ab0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6（）求椭圆C的方程；（）设直线l：y=kx2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（）直线l：y=kx2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程【解答】解：（）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2，解得a=3，c=，所以b2=a2c2=3，所以椭圆C的方程为+=1 （）由得（1+3k2）x212kx+3=0，由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以=144k212（1+3k2）0解得设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以，A，B中点坐标E（，），因为|PA|=|PB|，所以PEAB，即kPEkAB=1，所以k=1解得k=1，经检验，符合题意，所以直线l的方程为xy2=0或x+y+2=0【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题