1、防城港市2021届高三模拟考试数学（理）一、单选题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先求出集合，再求交集即可.【详解】由已知，又，则.故选：D.【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.2. 已知，则复数（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知，则cos 2（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得的值，
2、然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合诱导公式可得：，.故选：B4. 某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为的三棱锥三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.5. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为圆与圆的位置关系，据此求解实数a的取值范围即可，据此确定a的最大
3、值即可.【详解】若点P满足，则点P在以AB为直径的圆上，据此可知，满足题意时，圆与圆有公共点，两圆的圆心距：，两圆的半径，满足题意时应有：，即：，求解关于实数a的不等式可得：，则的最大值为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可.【详解】展开式二项式系数和为，则：，故.则各项系数和为，据此可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查二项式系数与各项系数和的含义与应用等
4、知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，则，当时，单调递减，当时，单调递增，即函数在区间内先单调递减，再单调递增，据此可排除B选项，本题选择A选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(
5、4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项8. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【详解】随机变量服从正态分布，则正态分布图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.9. 已知的三边满足条件，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后确定的大小即可.【详解】由可得：，
6、则，据此可得.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 已知为的一个对称中心，则的对称轴可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定的值，然后求解函数的对称轴即可.【详解】由题意可知，当时，据此可得：，令可得，则函数的解析式为，函数的对称轴满足：，解得：，令可知函数一条对称轴为，且很明显选项ACD不是函数的对称轴.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则
7、的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率【详解】解：双曲线的左右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则：为等腰直角三角形由于通径，则：，解得：，所以：，解得：；由于e1，所以：，故选：C【点睛】本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用属于基础题型12. 已知函数在恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先分析0不是函数的零点然后利用导数求出时函数有零点的的范围，然后对分类并分析即可求得在恰有两个零点的实数的取值范围【详解】
8、解：当时，故0不是函数的零点；当时，等价于令，则当时，当时，当时，即，当时，在上有两个零点，则在无零点，则，；当或时，在上有一个零点，故在上需要有一个零点，此时不合题意；当时，在上无零点，故在上需要有两个零点，则综上，实数的取值范围是故选：【点睛】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，属于难题二、填空题13. 已知向量，若与垂直，则实数_【答案】-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程即可求得实数k的值.【详解】由平面向量的坐标运算可得：，与垂直，则，即：，解得：.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，
9、意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 若变量、满足约束条件，则的最大值为_【答案】8【解析】【分析】首先画出可行域，然后确定目标函数的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，其最大值为：.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15. 在三棱锥中，两两相互垂直，则此三棱锥内切球的半径为_【答案】或【解析】【分析】首先求得棱锥的表面积，然后利用等体积
10、法求解三棱锥的内切球半径即可.【详解】由题意可知，三棱锥的三个面是直角边长为1的等腰直角三角形，一个面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为：，设三棱锥的内切球半径为，利用等体积法可知：，即：，解得：，即.【点睛】本题主要考查三棱锥的空间结构特征，棱锥内切球半径的计算，等体积法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 已知抛物线C：y2x，过C的焦点的直线与C交于A，B两点弦AB长为2，则线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为_【答案】【解析】【分析】先设出直线，再联立抛物线方程，由抛物线定义表示出焦点弦的弦长，列方程求出斜率，求解出中点坐标，写出AB的中垂线方程，即可得结果
11、.【详解】抛物线的焦点为，则可设直线为：，联立，消得，设，,得，当时，得，所以中点坐标为，则AB的中垂线方程为，则与轴的交点的横坐标为；同理，当时，线段AB的中垂线与x轴交点的横坐标为.故答案为：三、解答题17. 已知数列an的前n项和为Sn，且Sn+22an（1）求数列an的通项公式；（2）若bnnan，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）an2n；（2）Tn(n-1)2n+1+2【解析】【分析】（1）由的关系可得，由等比定义求得an的通项公式；（2）bnn2n，由错位相减法可求得bn的前n项和Tn【详解】（1）Sn+22anSn-1+22an-1，(n2)-得Sn-Sn-12an-2an
12、-1an，则，在式中，令n1，得a12数列an是首项为2，公比为2的等比数列，an2n；（2）bnn2n所以Tn121+222+323+(n-1)2n-1+n2n则2Tn122+223+(n-2)2n-1+(n-1)2n+n2n+1-得，Tn(n-1)2n+1+218. 在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，E，F分别为AD，PC的中点求证：平面BEF；若，求二面角的余弦值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】【分析】（1）连接交于，并连接，由空间几何关系可证得，利用线面平行的判断定理可得平面.（2）（法一）取中点，连，由二面角的定义结合几何体的特征可知为二面角的平面角,计算
13、可得二面角的余弦值为.（法二）以为原点，、分别为、建立直角坐标系，则平面法向量可取：,平面的法向量,由空间向量的结论计算可得二面角的余弦值为.【详解】（1）连接交于，并连接，为中点， ，且，四边形为平行四边形， 为中点，又为中点， ， 平面，平面，平面.（2）（法一）由为正方形可得， .取中点，连，侧面 底面，且交于， ，面，又，为二面角的平面角,又，所以二面角的余弦值为.（法二）由题意可知 面， ，如图所示，以为原点，、分别为、建立直角坐标系，则，.平面法向量可取：,平面中，设法向量为，则 ,取,，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判断定理，二面角的定义与求解，空间向量的应
14、用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中5个红球，10个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客
15、均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得240元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券？【答案】（1）；（2）120元，100元；选择第一种抽奖方案.【解析】【分析】（1）根据方案一，求得每一次摸到红球的概率为，再结合独立事件的概率，即可求解；（2）根据方案一，得出随机变量的取值，求得相应的概率，得到该顾客获得返金劵金额的数学期望，再由方案二，结合二项分布，求得该顾客获得返金劵金额的数学期望，即可得到答案.【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为.设“每位顾客获得240
16、元返金券”为事件A，则.所以两位顾客均获得240元返金券的概率.（2）若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为X元，则X可能的取值为60，120，180，240.则；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则，故.所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）即，所以应选择第一种抽奖方案.【点睛】本题主要考查了独立事件概率的计算，以及二项分布和离散型随机变量的分布列与期望的求解及应用，其中解答中正确理解题意，准确求得随机变量的数学期
17、望是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，当直线的斜率为0时，.（1）求椭圆的方程；（2）求由，四点构成的四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系和弦长AB，CD，解方程可得c，进而得到椭圆方程；（2）讨论当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，当两弦斜率均存在且不为0时，设，设出直线AB的方程，可得CD的方程，分别代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由四边形的面积公式，结合基本不等式即可得到取值范围【详解】（1）由题
18、意知，则，.所以，所以椭圆的方程为；（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知.当两弦斜率均存在且不为0时，设，且设直线的方程为，则直线的方程为.将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，则所以，同理，所以，由，当且仅当时取等号.，综合与可知，.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，运用基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】【分析】（1）函数的定义域为，且，分类讨论可得当时，在上单调递增；当时
19、，在上单调递减，在，上单调递增.（2）分类讨论：（I）当时，在上单调递增，易知成立；（II）当时，在上单调递减，整理计算可知，不合题意，舍去.则的取值范围为.【详解】（1）. ， ，（I）当时，在上单调递增；（II）当时，在上单调递减；在，上单调递增.（2）（I）当时，由（1）知在上单调递增；， 即有：，从而可得：， ；（II）当时，由（1）知在上单调递减；，即有：，从而可得：，不合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角
20、度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用选做题：22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点.若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为;(2) .【解析】【分析】（1）消去参数可得直线的普
21、通方程为，极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为.（2）联立直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程，结合参数的几何意义可得【详解】（1）由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为，又将曲线的极坐标方程化为，曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入中，得，得此方程的两根为直线与曲线的交点，对应的参数，得，由直线参数的几何意义，知【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）利用绝对值的几何意义求出最小值为，由的解集不是空集，可得.详解：（1），当时，不等式可化为，解得，所以；当，不等式可化为，解得，无解；当时，不等式可化为，解得，所以综上所述，（2）因为且的解集不是空集，所以，即的取值范围是点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想