1、第八章 立体几何 第34节 空间几何体的结构及三视图、直观图考纲呈现 1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2能画出简单空间几何体的三视图，并能根据三视图识别几何体，会用斜二测画法画出它们的直观图.诊断型微题组 课前预习诊断双基1多面体的结构特征 2旋转体的形成 几何体旋转图形旋转轴 圆柱矩形任一边所在的直线 圆锥直角三角形任一直角边所在的直线 圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线 球半圆直径所在的直线 3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称 几何体的三视图包括：(2)三视图的画法 在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线 三视
2、图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的方、方、方观察到的几何体的正投影图 正视图、侧视图、俯视图正前正左正上4空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用来画，其规则是(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为 45或 135，z轴与 x轴和 y轴所在平面(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍；平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度；平行于 y 轴的线段在直观图中 斜二测画法垂直平行于坐标轴不变长度变为原来的一半 1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点 2空间几何体不同放置时其三视图不一定相同 3对于简单组
3、合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱()(6)菱形的直观图仍是菱形()2如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱【答案】
4、B【解析】由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选 B.3(2015 北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1B 2C 3D2【答案】C【解析】由题中三视图知，此四棱锥的直观图如图所示，其中PC平面 ABCD，PC1，底面四边形 ABCD 为正方形且边长为 1，最长棱长 PA 121212 3.故选 C.4(教材习题改编)等边三角形 AOB 的边长为 a，建立如图所示的直角坐标系 xOy，则它的直观图的面积是_【答案】616a2【解 析】画 出 坐 标 系 xOy，作 出 OAB 的 直 观 图OAB(如图)D为 OA的中点
5、易知 DB12DB(D 为 OA 的中点)，SOAB12 22 SOAB 24 34 a2 616a2.形成型微题组 归纳演绎形成方法 空间几何体的结构特征 1(2018 河北正定中学期末)以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为()A0B1C2D3【答案】B【解析】命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题对；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选 B.2(2018
6、 山东烟台期末)给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为_(填序号)【答案】【解析】对于，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故错；对于，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故错；对于，若底面不是矩形，则错；由线面垂直的判定，侧棱垂直于底面，故正确 综上，命题不正确 微技探究 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一反例即可 2圆柱、圆锥、圆台的
7、有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系 3既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略 1.(2018 安徽合肥一中模拟)下列结论中正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C当正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等时该棱锥可能是六棱锥 D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【答案】D【解析】正八面体的各个面都是三角形，但不是三棱锥，故 A 错误；以锐角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥形成的组
8、合体，故 B 错误；正六棱锥的侧棱长一定大于底面多边形的边长，故 C 错误；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线，故 D 正确故选 D.2.(2018 山西吕梁汾阳四中月考)如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A是棱台B是圆台C是棱锥D不是棱柱【答案】C【解析】图不是由棱锥截来的，所以不是棱台；图上、下两个面不平行，所以不是圆台；图是棱锥；图前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以是棱柱故选 C.简单几何体的三视图命题角度 1 已知几何体识别三视图 (2018 济南模拟)如图，多面体 ABCDEFG 的底面 ABCD 为正方形，FCGD2EA
9、，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是()【答案】D【解析】正视图的轮廓线是矩形 DCFG，点 E 在平面 DCFG 上的投影为 DG 的中点，且边界 BE，BG 可视，故正视图为选项 B 或 D中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形 ADGE，且边界 BF 不可视，故侧视图为选项 D 中的侧视图，故选 D.命题角度 2 已知三视图还原几何体 (2016 全国，7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是()A17B18C20D28【答案】A【解析】由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的18得到的(如图所示
10、)设该球的半径为 R，则7843R3283，得 R2，所以它的表面积为 422184223142217.故选A.命题角度 3 已知两个视图判断第三个视图 (2019 河北石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为()【答案】D【解析】由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面 BCD，故选 D.微技探究 三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意观察方向，注意看到的部分用实线表示，看不到的部分用虚线表示(2)由几何体的三视图还原几何体的形状，要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图(3
11、)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分三视图的可能形状当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合 1.(2018 山西吕梁模拟)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()A B C D【答案】B【解析】由于三视图可见部分用实线画出，不可见部分用虚线画出故选 B.2.(2018 河北名师俱乐部模拟)某几何体的三视图如图所示，记 A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()A3AB5AC2 6AD4 3A【答案】D【解析】由三视图可得该几何体的直观图如下：其中底面 ABCD
12、是边长为 4 的正方形，AF平面 ABCD.AFDE，AF2，DE4.可求得 BE4 3，BFEF2 5，EC4 2.故选 D.3.(2018 河南南阳高三检测)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，则该几何体的侧视图为()【答案】B【解析】由直观图、正视图和俯视图可知，该几何体的侧视图应为面 PAD，且 EC(可见)投影在面 PAD 上，故 B 正确 空间几何体的直观图(2018 湖南师大附中月考)如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6 cm，OC2 cm，则原图形是()A正方形B矩形C菱形D一般的平行四边形【答案】C【解析】如图，在原图形 OABC 中，应有
13、OD2OD22 24 2(cm)，CDCD2 cm，OC OD2CD2 4 22226(cm)OAOC.故四边形OABC 是菱形 微技探究 用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与 x轴或y轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出 (2017 江西南昌期末)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴已知四边形 ABCD的面积为 2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A4 cm2B4 2 cm2C
14、8 cm2D8 2 cm2【答案】C【解析】依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上、下底面的长与 BC，AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 2倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018 全国，3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【答案】A【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A.2(2018 北京，6)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的
15、侧面中，直角三角形的个数为()A1B2C3D4【答案】C【解析】由三视图得到空间几何体，如图所示，则 PA平面ABCD，平面 ABCD 为直角梯形，PAABAD2，BC1，所以 PAAD，PAAB，PABC.又 BCAB，ABPAA，所以 BC平面 PAB.所以 BCPB.在PCD 中，PD2 2，PC3，CD 5，所以PCD 为锐角三角形 所以侧面中的直角三角形为PAB，PAD，PBC，共 3 个 故选 C.3(2017 全国，6)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90B63C42D36【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆柱，故其体积为 V1232632463，故选 B.4(2017 北京，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60B30C20D10【答案】D【解析】由三视图画出如图所示的三棱锥 P-ACD，过点 P 作 PB平面 ACD 于点 B，连接 BA，BD，BC，根据三视图可知底面 ABCD是矩形，AD5，CD3，PB4，所以 V 三棱锥 P-ACD131235410.故选 D.