1、第32节 二元一次不等式(组)和简单线性规划考纲呈现 1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3会从实际情境中抽象出一些简单的二元一次线性规划问题，并能加以解决.诊断型微题组 课前预习诊断双基1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的我们把直线画成虚线，以表示区域边界直线当我们在坐标系中画不等式 AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成 平面区域不包括包括实线(2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点，把它的坐标
2、(x，y)代入 AxByC，所得的符号都，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0 C 的即可断定 AxByC0 表示的是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域 相同符号2线性规划相关概念 3.重要结论(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线(2)特殊点定域：若直线不过原点特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证 1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为 axbyc0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也
3、可能没有 3在通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b0 时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b0 时，截距zb取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值 1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式 AxByC0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(4)在目标函数 zaxby(b0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截距()(5)不等式 x2y20)的最大
4、值为 1，则 m 的值是()A209B1C2D5【答案】B【解析】作出可行域，如图所示的阴影部分 m0，当 zymx 经过点 A 时，z 取最大值，由x1，xy3，解得x1，y2，即 A(1,2)，2m1，解得 m1.微技探究 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 2当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义有(1)x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率 3当目标函数中含
5、有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件 1.(2017 山东，3)已知 x，y 满足约束条件x2y50，x30，y2，则 zx2y 的最大值是()A3B1C1D3【答案】D【解析】由x2y50，x30，y2画出可行域及直线 x2y0，如图所示 平移 x2y0 发现，当其经过直线 x2y50 与 y2 的交点(1,2)时，zx2y 最大为 z1223，故选 D.2.(2018 合肥质检)已知实数 x，y 满足xy10，x3y10，x1，若 zkxy 的最小值为5，则实数 k 的值为()A3B3 或5C3 或5D3【答案】D【解析】不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(2，1
6、)为顶点的三角形及其内部，当 z 取得最小值时，直线 ykxz 在 y轴上的截距最大，当 k1 时，目标函数直线经过点(1,2)时，zmink25，k3 适合；当 k1 时，目标函数直线经过点(2，1)时，zmin2k15，k3 适合，故 k3，选项 D 正确 3.(2016 江苏，12)已知实数 x，y 满足x2y40，2xy20，3xy30，则 x2y2的取值范围是_【答案】45，13 【解析】根据已知的不等式组画出可行域，如图中阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点d x2y2可以看作坐标原点 O 与可行域内的点(x，y)之间的距离数形结合，知 d 的最大值是 OA 的长，d 的最
7、小值是点 O 到直线 2xy20 的距离由x2y40，3xy30可得 A(2,3)，所以 dmax 2232 13，dmin|2|2212 25.所以 d2 的最小值为45，最大值为 13.所以 x2y2 的取值范围是45，13.线性规划的实际应用问题(2016 全国，16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900元该企业现有甲材料 150
8、 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元【解】(1)设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元，由题意，得xN*，yN*1.5x0.5y150 x0.3y905x3y600，z2 100 x900y.不等式组表示的可行域如图：由题意可得x0.3y905x3y600，解得x60，y100，A(60,100)，目标函数 z2 100 x900y.经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值 2 10060900100216 000 元 故答案为 216 000.微技探究 解线性规划应用问题的一般步骤(1)
9、审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈 (2016 天津，16)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲
10、种肥料，产生的利润为 2万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润【解】(1)由题知 x，y 满足的数学关系式为4x5y200，8x5y360，3x10y300，x0，y0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分(2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z2x3y.考虑 z2x3y，将它变形为 y23xz3，它的图象是斜率为23，随 z 变化的一组平行直线，z3为直线在 y 轴上
11、的截距，当z3取最大值时，z 的值最大根据 x，y 满足的约束条件，由图可知，当直线 z2x3y 经过可行域上的点 M 时，截距z3最大，即 z 最大解方程组4x5y200，3x10y300，得点 M 的坐标为(20,24)，所以 zmax220324112.答：生产甲种肥料 20 车皮，乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元 目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018 天津，2)设变量 x，y 满足约束条件xy5，2xy4，xy1，y0，则目标函数 z3x5y 的最大值为()A6B19C21D45【答案】C【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由 z3x5y 得 y35x
12、z5.设直线 l0 为 y35x，平移直线 l0，当直线 y35xz5过点 P(2,3)时，z 取得最大值，zmax325321.故选 C.2(2018 全国，14)若 x，y 满足约束条件x2y20，xy10，y0，则 z3x2y 的最大值为_【答案】6【解析】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示 由 z3x2y 得 y32xz2.作直线 l0：y32x，平移直线 l0，当直线 y32xz2，过点(2,0)时，z 取最大值，zmax32206.3(2018 全国，14)若 x，y 满足约束条件x2y50，x2y30，x50，则 zxy 的最大值为_【答案】9【解析】由不等式组画出可行域，
13、如图(阴影部分)xy 取得最大值斜率为1 的直线 xyz(z 看作常数)的横截距最大，由图可得直线 xyz 过点 C 时 z 取得最大值 由x5，x2y30 得点 C(5,4)，zmax549.4(2018 全国，15)若变量 x，y 满足约束条件2xy30，x2y40，x20，则 zx13y 的最大值是_【答案】3【解析】画出可行域如图所示阴影部分，由 zx13y 得 y3x3z，作出直线 y3x，并平移该直线，当直线 y3x3z 过点A(2,3)时，目标函数 zx13y 取得最大值为 21333.5(2018 浙江，12)若 x，y 满足约束条件xy0，2xy6，xy2，则 zx3y的最小值是_，最大值是_【答案】2 8【解析】由xy0，2xy6，xy2，画出可行域如图 由2xy6，xy2，解得 A(4，2)，由xy0，2xy6，解得 B(2,2)，将目标函数 y13x 的图象平移可知，当目标函数的图象经过 A(4，2)时，zmin43(2)2；当目标函数的图象经过 B(2,2)时，zmax2328.