1、3.3 定积分与微积分基本定理考纲要求 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义 1定积分的定义 4定积分的几何意义 如图：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)设函数 yf(x)在区间a，b上连续，则abf(x)dxabf(t)dt.()(2)若函数 yf(x)在区间a，b上连续且恒正，则abf(x)dx0.()(3)若abf(x)dx0，那么由 yf(x)，xa，xb 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(4)若 f(x)是偶函数，则aa f(x)dx20a
2、f(x)dx.()(5)若 f(x)是奇函数，则aa f(x)dx0.()(6)曲线 yx2 与 yx 所围成的面积是01(x2x)dx.()【答案】C 2直线 y4x 与曲线 yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 2B4 2C2D4【答案】D【答案】A【解析】因为 f(1)lg 10，f(0)0a3t2dtt3a0a3，所以由 f(f(1)1 得 a31，所以 a1.【答案】0 4(2015湖南)02(x1)dx_【答案】3【答案】(1)C(2)C【方法规律】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定
3、积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分 跟踪训练 1(1)若2 0(sin xacos x)dx2，则实数 a 等于()A1 B1C 3D.3(2)定积分02|x1|dx_【答案】(1)A(2)1 命题点 2 利用定积分求平面图形面积【例 3】(1)(2017河北唐山二模)曲线 x y1 与两坐标轴所围成图形的面积是_(2)(2017山东潍坊中学开学考试)已知函数 f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与直线 y0 在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，则 a 的值为_【答案】(1)(2
4、)3【方法规律】(1)根据定积分的几何意义可计算定积分；(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案【答案】(1)C(2)e12题型三 定积分在物理中的应用【例 4】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln 113C425ln 5 D450ln 2【答案】C【方法规律】
5、定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 sabv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 WabF(x)dx.跟踪训练3 设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21(力的单位：N，位移的单位：m)且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_【解析】变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为【答案】342 J【典例】已知函数 yF(x)的图
6、象是折线段 ABC，其中 A(0，0)，B12，5，C(1，0)，则函数 yxF(x)(0 x1)的图象与 x 轴围成的图形的面积为_【易错分析】本题在根据函数图象写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错【答案】54【温馨提醒】(1)利用定积分求图形的面积要根据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积；(2)注意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正.方法与技巧 1求定积分的基本方法：(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(2)利用定积分的几何意义求定积分 2对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间 失误与防范 1若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和 2定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限 3定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.