1、第2课时函数课后训练巩固提升一、A组1.已知幂函数f(x)的图象过点2,22,则f(8)的值为()A.24B.28C.22D.82解析:设f(x)=x.函数f(x)的图象过点2,22,22=2,=-12,f(x)=x-12,f(8)=8-12=24.答案:A2.函数f(x)=1-x+2x的定义域为()A.(-,0)B.(0,1C.(-,1D.(-,0)(0,1解析:要使函数f(x)有意义,需有1-x0,x0,解得x1,且x0,函数f(x)的定义域为(-,0)(0,1,故选D.答案:D3.已知f(x)是一次函数,且f(x-1)=3x-5,则f(x)的解析式为()A.f(x)=3x+2B.f(x)
2、=3x-2C.f(x)=2x+3D.f(x)=2x-3解析:设f(x)=kx+b(k0),则f(x-1)=k(x-1)+b=3x-5,即kx-k+b=3x-5,k=3,b-k=-5,解得k=3,b=-2,f(x)=3x-2.答案:B4.已知函数f(x)=x+1,x1,4x,x1,且f(x)=3,则x的值是()A.2B.23C.2或43D.2或34解析:结合函数的解析式分类讨论:当x1时,f(x)=x+1=3,得x=2,满足题意,当x1时,f(x)=4x=3,得x=34,满足题意.综上可得,x的值是2或34.答案:D5.若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-
3、m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关解析:因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f-a2=b-a24中取,所以最值之差一定与b无关,选B.答案:B6.函数f(x)=x+1x的定义域是.解析:由x+10,x0,得x-1,且x0.函数f(x)=x+1x的定义域为-1,0)(0,+).答案:-1,0)(0,+)7.设函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,则a=.解析:因为函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即(-x+1)(-x+a)-x=(x+1)(x+a)-x,整理,得(a+
4、1)x=0,所以a+1=0,得a=-1.答案:-18.已知函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f(x)在区间(0,+)上的单调性,并证明你的结论.解:(1)因为函数f(x)=(m2-2m+2)x1-3m是幂函数,则m2-2m+2=1,解得m=1,故f(x)=x-2.(2)函数f(x)为偶函数.证明如下:由(1)知f(x)=x-2,其定义域为x|x0,关于原点对称,因为对于定义域内的任意x,都有f(-x)=(-x)-2=1(-x)2=1x2=x-2=f(x),故函数f(x)=x-2为偶函数
5、.(3)f(x)在区间(0,+)上单调递减.证明如下:在(0,+)上任取x1,x2,不妨设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-2-x2-2=1x12-1x22=x22-x12x12x22=(x2-x1)(x2+x1)x12x22,x1,x2(0,+),且x10,x2+x10,x12x220,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在区间(0,+)上单调递减.二、B组1.函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是()解析:由于函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集,即(-,0)(0,+),所
6、以函数y=f(x)g(x)的图象在x=0处是断开的,故可以排除C,D;由于当x为很小的正数时,f(x)0,且g(x)0,则f(x)g(x)0时,f(x)的图象如图所示,则不等式xf(x)-f(-x)0的解集是_.解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),故xf(x)-f(-x)=xf(x)-(-f(x)=2xf(x)0时,若0x3,f(x)3,f(x)0.又因为f(x)为奇函数,所以当x-3时,f(x)0,当-3x0.而不等式2xf(x)0,f(x)0或x0,于是有x0,0x3,或x0,-3x0,即0x3或-3x0,故不等式的解集为(0,3)(-3,0).答案:(0,3)(-3,
7、0)4.已知函数f(x)=axx2-1(a0,x(-1,1).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=1,求f(x)在区间-12,12上的最大值和最小值.解:(1)设-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=ax1x12-1-ax2x22-1=ax1x22-ax1-ax2x12+ax2(x12-1)(x22-1)=a(x2-x1)(x1x2+1)(x12-1)(x22-1).-1x1x20,x1x2+10,(x12-1)(x22-1)0,当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在区间(-1,1)上单调递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)在区间(-1,1)上单调递减;当a0),将点(0,3)的坐标代入,得a=2,所以f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.(2)由(1)知函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以2a1a+1,所以0a0对于任意x-1,1恒成立,所以x2-3x+1m对于任意x-1,1恒成立.令g(x)=x2-3x+1,x-1,1,则g(x)min=g(1)=-1,所以m-1,故实数m的取值范围为(-,-1).4