1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 12集合间的基本关系星座，是指天上一群在天球上投影的位置相近的恒星的组合如北极星在小熊座设小熊座中的星星构成集合A，所有恒星构成集合B.【问题1】集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？【问题2】集合A与集合B存在什么关系？1Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图2子集文字叙述对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.符号表示记作:AB(或BA)读作“A包含于B”(或“B包含A”)Venn图表
2、示3.集合相等文字叙述如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.符号表示若AB且BA,则A=BVenn图表示4.真子集文字叙述如果集合AB,但存在元素xB,且xA,称集合A是集合B的真子集符号表示记作:AB或BAVenn图表示两个集合之间常见的关系若集合M，N是两个至少含有一个元素的集合，则这两个集合之间有以下常见的关系：123455.空集(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集,记为.(2)规定:空集是任何集合的子集.与0，0，有何区别？提示：与0与0与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数不含任何元素；0含
3、一个元素0不含任何元素；含一个元素，该元素是空集关系00或6集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC1.任何一个集合都有子集吗？2任何一个集合都有真子集吗？3xZ|x210是空集吗？提示：1.是2.不是3.是想一想教材旁栏中的思考问题：通过集合间的关系与实数大小关系的比较，你还能得到哪些类似的结论？提示：实数集合定义ab包含两层含义:ab或a=bAB包含两层含义:AB或A=B传递性若ab且bc,则ac若AB且BC,则AC若ab且bc,则ac若AB且BC,则AC1已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx
4、|x是菱形，则()AAB BCBCDC DAD【解析】选B.因为正方形组成的集合是矩形组成集合的子集，所以CB.经验证，A，C，D不正确2已知集合A1，3，m，B3，4，若BA，则实数m_【解析】因为B3，4，A1，3，m，且BA，所以m4.答案：4基础类型一集合的子集、真子集问题(数学抽象)1.(2021中山高一检测)集合(1，2)，(3，4)的子集个数为()A3 B4 C15 D16【解析】选B.集合(1，2)，(3，4)的子集为，(1，2)，(3，4)，(1，2)，(3，4)，共4个2(2021三门峡高一检测)符合条件aPa，b，c的集合P的个数是()A2 B3 C4 D5【解析】选B.
5、满足条件的集合P可以是a，b，a，c，a，b，c，共3个3设Ax|(x216)(x25x4)0，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集【解析】由(x216)(x25x4)0得(x4)(x1)(x4)20，则方程的根为x4或x1或x4.故集合A4，1，4由0个元素构成的子集为：.由1个元素构成的子集为：4，1，4由2个元素构成的子集为：4，1，4，4，1，4由3个元素构成的子集为：4，1，4因此集合A的子集为：，4，1，4，4，1，4，4，1，4，4，1，4真子集为：，4，1，4，4，1，4，4，1，4将题2的条件改为P，求满足条件的集合P的个数【解析】依据题意可得，满足条件的集合P可以是
6、，1，2，1，2，共8个1求集合子集、真子集的步骤2求元素个数有限的集合的子集的两个关注点(1)要注意两个特殊的子集：和自身(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏【结论通通用】与子集、真子集个数有关的三个结论(1)假设集合A中含有n个元素，则有：A的子集的个数为2n个；(2)A的真子集的个数为(2n1)个(3)A的非空真子集的个数为(2n2)个【典例】(2021济宁高一检测)已知集合P，Q，定义PQx|xpq，pP，qQ，则集合PQ的所有真子集的个数为()A32 B31C30 D以上都不对【解析】选B.可知PQ，所以真子集的个数为25131.基础类型二集合间关系的判断
7、(逻辑推理)【典例】1.已知集合Px|y，集合Qy|y，则P与Q的关系是()APQ BPQCPQ DPQ【解析】选C.根据题意，集合Px|y表示函数y的定义域，即Px|x1，集合Qy|y表示函数y的值域，即Qy|y0，分析可得Q是P的子集，即PQ.2(2021石家庄高一检测)指出下列各组集合之间的关系：(1)Ax|1x5，Bx|0x0，B(x，y)|x0，y0或x0，y0得x0，y0或x0，y0，y0或x0，y0，从而AB.方法二：集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而AB.【备选例题】 已知集合Ax|
8、x3a5b，a，bZ，By|y7m10n，m，nZ，试证明：AB.【证明】(1)若xB，则x7m10n34m5(2nm)，4m，2nm均为整数，所以xA，所以B是A的子集；(2)若xA，则x3a5b7(5ba)10(a3b)，5ba，a3b均为整数，所以xB，所以A是B的子集，因为B是A的子集，A也是B的子集，所以AB.【知识拓展】若AB且BA，则AB，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证AB，只需证AB与BA均成立1集合间基本关系判定的两种方法和一个关键2判断两个集合相等的两个原则(1)设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即AB；(2)设两集
9、合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即AB.微提醒：若AB和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系1(2021沙市高一检测)下列关系正确的是()A3y|yx2，xRB(a，b)(b，a)C(x，y)|x2y21(x，y)|(x2y2)21DxR|x220【解析】选C.yx23，所以3y|yx2，xR，A错误；当ab时，(a，b)与(b，a)是两个不同的点，所以B错误；任取(x0，y0)(x，y)|x2y21，则xy1，于是21，所以(x0，y0)(x，y)|(x2y2)21，另外，存在(x1，y1)(x，y)|(x2y2)21，满足
10、xy1，故(x1，y1)(x，y)|x2y21，所以C正确；xR|x220，故D错误2设Mx|xa21，aN*，Py|yb24b5，bN*，则下列关系正确的是()AMP BMPCPM DM与P没有公共元素【解析】选B.Mx|xa21，aN*2，5，10，Py|yb24b5(b2)21，bN*1，2，5，10，所以MP.【加固训练】 设集合Ax|x，kZ，B，则集合A与B的关系是()AAB BBACAB DA与B关系不确定【解析】选B.因为A，B，当kZ时，k2为整数，2k1为奇数，所以BA.综合类型由集合间的关系求参数的值或取值范围(直观想象)【典例】(2021沧州高一检测)若集合AxN|x2
11、24，Ba，BA，则a的最大值为_【解析】因为AxN|x224A0，1，2，3，4，因为BA，Ba，所以a的最大值为4.答案：4已知集合间的关系求参数值的策略(1)分析、简化每个集合(2)用列举法表示的集合，可依据集合间的关系，分析出集合中元素的相等关系，从而转化为解方程(组)求解微提醒：注意集合中元素的互异性已知集合Ax|x4，Bx|2axa3，若BA，求实数a的取值范围【解析】(1)当B时，2aa3，即a3.显然满足题意(2)当B时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得a4或2a3.综上可得，实数a的取值范围为a|a2创新题型涉及集合间关系的新定义问题(数学运算)【典例】(2021邢台高
12、一检测)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合间构成“全食”；当两个集合有公共元素但互不为对方子集时，称两集合间构成“偏食”对于集合A，Bx|ax21，a0，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则实数a的取值集合为_【解析】因为Bx|ax21，a0，若a0，则B，满足BA，此时A与B构成“全食”；若a0，则B，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则1或，解得a1或a4.综上，a1或a4或a0，即实数a的取值集合为0，1，4答案：0，1，4解集合间关系的新定义问题的原则(1)认真审题，将新定义转化为集合之间的关系；(2)依据集合间的关系寻找集合中元素的关系，并建立方程【加固训
13、练】 一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”，求集合A1，2，3，4，5，6的子集中所有“好集”的个数【解析】集合1，2，3，4，5，6的子集中是“好集”的有：单元集：3，6共2个，双元集1，2，1，5，2，4，4，5，3，6共5个，三元集有：1，2，3，1，2，6，1，3，5，1，5，6，4，2，3，4，2，6，4，3，5，4，5，6共8个，四元集有3，4，5，6，2，3，4，6，1，3，5，6，1，2，3，6，1，2，4，5共5个，五元集1，2，4，5，6，1，2，3，4，5共2个，还有一个集合A本身因此，集合A所有“好集”的个数是1(25)2823.创新思维涉及集合
14、间关系的探索问题(逻辑推理)【典例】已知集合Ax|4，集合B1，2，b(1)是否存在实数a，使得对任意实数b都有AB？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由(2)若AB成立，列举出对应的实数对(a，b)构成的集合【解析】(1)不存在满足题意的实数a.理由如下：由|xa|4可得xa4或xa4，所以Aa4，a4又因为B1，2，b，AB，其中b是任意实数，所以或这两个方程组都没有实数解，所以这样的实数a不存在(2)由(1)可知Aa4，a4，要使AB，则满足或或或解得或或或即所有的实数对(a，b)构成的集合为(5，9)，(6，10)，(3，7)，(2，6)化简集合A后，依据题意建立方程组【加固训练
15、】 已知集合A1，3，x3，Bx2，1，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由【解析】因为B是A的子集，所以B中元素必是A中的元素，若x23，则x1，符合题意若x2x3，则x3x20，所以(x1)(x2x2)0.因为x2x20，所以x10，所以x1，此时x21，集合B中的元素不满足互异性综上所述，存在实数x1，使得B是A的子集，此时A1，3，1，B1，31已知集合Ax|x210，则下列式子表示正确的有()1A；1A；A；1，1A.A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选C.Ax|x2101，1，故正确，不正确2下列四个集合中是空集的是()A BxR|x2
16、10Cx|1x2 Dx|x22x10【解析】选B.方程x210无实数解，所以集合xR|x210为空集3下列正确表示集合M1，0，1和Nx|x2x0关系的Venn图是()【解析】选B.由N1，0，知NM.4已知集合Ax|3x4，Bx|1x1，且BA，则实数m的取值范围是_【解析】由于BA，结合数轴分析可知，m4，又m1，所以1m4.故m的取值范围是m|1m4答案：m|1m45已知集合Mx|x2且xN，Nx|2x2且xZ(1)写出集合M的子集；(2)写出集合N的真子集【解析】(1)因为集合Mx|x2且xN0，1，所以集合M的子集有：，0，1，0，1(2)因为Nx|2x2且xZ1，0，1所以集合N的真子集有：，1，0，1，1，0，1，1，0，1关闭Word文档返回原板块