1、第23课二倍角的正弦、余弦与正切【自主学习】第23课 二倍角的正弦、余弦与正切(本课时对应学生用书第6061页)自主学习回归教材1. (必修4P119例1改编)已知cos =，那么sin 2=.【答案】【解析】由题意得sin =，所以sin 2=2sin cos =2=.2. (必修4P120练习2改编)已知sin =，那么cos 2=.【答案】【解析】cos 2=1-2sin2=.3. (必修4P123习题5改编)已知为第二象限角，且sin +cos =，则cos 2=.【答案】-【解析】因为sin +cos =，则(sin +cos )2=，所以2sin cos =-，即sin 2=-.因
2、为为第二象限角，且sin +cos =0，所以2k+2k+(kZ)，所以4k+24k+(kZ)，所以2为第三象限角，所以cos 2=-=-.4. (必修4P123习题3改编)若sin=，则cos 2=.【答案】-【解析】因为sin=，所以cos =，所以cos 2=2cos2-1=-.5. (必修4P122练习5改编)化简：-=.【答案】-tan 2【解析】-=-=-tan 2.1. 二倍角公式(1)二倍角的正弦：sin 2=2sin cos .(2)二倍角的余弦：cos 2=cos2-sin2.(3)二倍角的正切：tan 2=.注意：在二倍角的正切公式中，角是有限制条件的，即k+，且+(kZ
3、).“倍角”的意义是相对的，如4是2的二倍角，是的二倍角.2. 二倍角的余弦公式的几个变形公式(1)升幂公式：1+cos 2=2cos2，1-cos 2=2sin2.(2)降幂公式：cos2=，sin2=.【要点导学】要点导学各个击破二倍角的三角函数公式的简单应用例1已知sin =，且，求sin 2，cos 2，tan 2的值.【思维引导】直接使用二倍角公式即可.【解答】因为，sin =，所以cos =-，所以sin 2=2sin cos =-，cos 2=cos2-sin2=-，tan 2=.【精要点评】求cos 的值时，要注意正负的判断.变式(1)已知sin=，那么cos=.(2)设为第二
4、象限角，sin=，则sin2=.【答案】(1)(2)-【解析】(1)cos=1-2sin2=.(2)直接求得cos =-，代入正弦的二倍角公式即可.二倍角的化简与求值例2化简：，其中0.【思维引导】考虑通过把角统一化为，同时去掉根号.【解答】因为0，所以00，原式=sin2-cos2=-cos.变式(1)化简：=.(2)求证：=.(1)【答案】2【解析】=2(2)【思维引导】等式的证明一般是从左边化简到右边或从右边化简到左边，也可以两边同时化简到同一个等式.本题要注意4是2的二倍角，2是的二倍角，因此本题要两次使用二倍角公式.【解答】原式等价于1+sin 4-cos 4=(1+sin 4+co
5、s 4)，即1+sin 4-cos 4=tan 2(1+sin 4+cos 4).(*)而(*)式右边=tan 2(1+sin 4+cos 4)=(2cos22+2sin 2cos 2)=2sin 2cos 2+2sin22=sin 4+1-cos 4=左边，所以(*)式成立，即原式得证.【精要点评】(1)注意倍角公式cos 2=2cos2-1，cos 2=1-2sin2的变形公式(降幂公式)：cos2=，sin2=.(2)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.二倍角公式的简单应用例3(2015北京卷)已知函数f(x)=sin cos -sin2.(1
6、)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间-，0上的最小值.【解答】(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0，所以-x+.当x+=-，即x=-时，f(x)取得最小值，所以f(x)在区间-，0上的最小值为f=-1-.变式(2015天津卷)已知函数f(x)=sin2x-sin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【解答】(1)由题意得f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin，所以f(x)的最小正周期T=.(2)当2k-2x-2k+，kZ，即k-xk+(kZ)
7、时，f(x)单调递增；当2k+2x-2k+，kZ，即k+x0)的最小正周期为2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设，且f()=+，求cos 的值.【解答】(1)f(x)=2cos =2cos2 -2cos sin =(1+cos x)-sin x=-2sin.因为函数f(x)的最小正周期为2，所以=2，=1，所以f(x)=-2sin.(2)由f()=+，得sin=-，又，所以，所以cos=，所以cos =cos=coscos -sinsin =-=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第4546页.【检测与评估】第23课二倍角的正弦、余弦与正切一、 填空题 1计算
8、：sin 15cos 15=. 2(2015陕西卷)“sin =cos ”是“cos 2=0”的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件. 3已知sin =，cos =-，那么角在第象限. 4已知为锐角，且cos =，则tan=. 5计算：sin 15sin 30sin 75= . 6已知sin +2cos =0，则sin 2+cos 2=. 7已知sin2=，那么cos2=. 8已知sin=，那么cos =.二、 解答题 9设为锐角，若cos=，求sin的值.10已知sin =，tan =.(1)求tan 的值；(2)求tan(+2)的值.11设函数f(
9、x)=Acos，xR，且f=.(1)求A的值；(2)已知，且f=-，f=，求cos(+)的值.三、 选做题12求证：-sin 10=.【检测与评估答案】第23课二倍角的正弦、余弦与正切1 2充分不必要【解析】cos 2=0cos2-sin2=0(cos -sin )(cos +sin )=0，所以sin =cos 或sin =-cos .3 三【解析】sin =2sin cos =-0，cos =cos2 -sin2 =-0，为锐角，所以2+，所以sin=，所以sin=sin=sincos-cossin =.10 (1)因为sin =，所以cos =，所以tan =.(2)因为tan =，所以tan 2=，所以tan(+2)=211 (1)f=Acos=Acos =A=，解得A=2(2)f=2cos=2cos=-2sin =-，即sin =.f=2cos=2cos =，即cos =.因为，所以cos =，sin =，所以cos(+)=cos cos -sin sin =-=-.12左边=-sin 10=-sin 10=-=右边.