1、2016-2017学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）ABCD2命题“若x2y2则xy”的逆否命题是（）A若x2y2则xyB若xy则x2y2C若xy则x2y2D若xy则x2y23甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）ABCD4已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是（）A =1BCD5设、为两个不同平面
2、，若直线l在平面内，则“”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A4B8C10D127某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481，720的人数为（）A11B12C13D148一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D189已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A12
3、0B60C45D3010已知双曲线C：的焦点为F1，F2，且C上的点P满足=0，|PF1|=3，|PF2|=4，则双曲线C的离心率为（）ABCD511过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则MON的面积的最小值为（）A2B2C4D812已知动点P（x，y）在椭圆C： =1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|=1且=0，则|的最小值为（）AB3CD1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13从集合1，2，3，4，5任取一元素a，从集合1，2，3任取一元素b，则ba的概率是14如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1
4、所成角的余弦值为15过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=16双曲线（a0，b0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立，命题q：关于x的方程x2x+a=0有实数根，如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围18（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以160，180），180，200），200，220），220，240）240，260），260，280），280，300分组的频率分布直方图
5、如图：（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量240，260），260，280），280，300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？19（12分）已知椭圆C： +=1（ab0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（）求椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值20（12分）如图，ABCD是正方形，DE平面ABCD（1）求证：AC平面BDE；（2）若AFDE，DE=3AF，点M在线段BD上，且BM=BD，求证：AM平面 BEF21（12分
6、）如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BMPD于点M（1）求证：AMPD（2）求点D到平面ACM的距离22（12分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（）过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：y=x2于M、N两点，求|MN|的最小值2016-2017学年内蒙古包头市北重三中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机
7、取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）ABCD【考点】几何概型【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=故选C【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型2命题“若x2y2则xy”的逆否命题是（）A若x2y2则xyB若xy则x2y2C若xy则x2y2D若xy则x2y2【考点】四种命题【分析】根据四种命题的相互关系，将
8、原命题的条件与结论否定，并交换位置即得答案【解答】解：命题“若x2y2则xy”；条件为：“若x2y2”，结论为：“xy”；故其逆否命题为：若xy则x2y2故选C【点评】本题考查逆否命题的形式，解题时要注意分清四种命题的相互关系3甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）ABCD【考点】概率的基本性质【分析】由已知结合互斥事件概率加法公式，可得答案【解答】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，甲不输的概率为+=，故选：A【点评】本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，难度不大，属于基础题4已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则
9、椭圆的标准方程是（）A =1BCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意设出椭圆方程并求得a值，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求【解答】解：由题意可设椭圆方程为（ab0）且2a=4，a=2，又，c=1，则b2=a2c2=3椭圆的标准方程是故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，是基础题5设、为两个不同平面，若直线l在平面内，则“”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的判定定理进行判断即可【解答】解：面面平行的判定定理：一个平
10、面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直因为直线l，且l所以由判断定理得所以直线l，且l若，直线l则直线l，或直线l，或直线l与平面相交，或直线l在平面内所以“”是“l”的必要不充分条件故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用空间面面垂直的判定定理和性质定理是解决本题的关键6执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A4B8C10D12【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：当i=2时，满足进行循环的条件，故S=2，i=4，k=2； 当i=4时，满足进行循环的条件，故S=4，
11、i=6，k=3； 当i=6时，满足进行循环的条件，故S=8，i=8，k=4； 当i=8时，不满足进行循环的条件，故S输出的S值为8，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答7某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481，720的人数为（）A11B12C13D14【考点】系统抽样方法【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人从而得出从编号481720共240人中抽取的人数即可【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽
12、取42人，即从20人抽取1人所以从编号1480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481720共240人中抽取=12人故：B【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题8一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A21+B18+C21D18【考点】由三视图求面积、体积【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体2S棱锥侧+2S棱锥底=21+故选：A【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状9已知三棱柱ABCA1
13、B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A120B60C45D30【考点】直线与平面所成的角【分析】利用三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，APA1为PA与平面A1B1C1所成角利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在RtAA1P中，利用tanAPA1=，可得结论【解答】解：如图所示，AA1底面A1B1C1，APA1为PA与平面A1B1C1所成角，平面ABC平面A1B1C1，APA1为PA与平面ABC所成角=V三棱柱ABCA1B1C1=AA1，解得AA1=又P
14、为底面正三角形A1B1C1的中心，A1P=1，在RtAA1P中，tanAPA1=，APA1=60故选B【点评】本题考查线面角，掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键10已知双曲线C：的焦点为F1，F2，且C上的点P满足=0，|PF1|=3，|PF2|=4，则双曲线C的离心率为（）ABCD5【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义可知|PF2|PF1|=2a=1，根据勾股定理求得4c2=25，则离心率可得【解答】解：C上一点P满足PF1PF2，|PF1|=3，|PF2|=4，|PF2|PF1|=2a=1，|PF2|2+|PF1|2=4c2=25，e=5，故选：D【点评】本题主要考查
15、了双曲线的应用考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握11过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则MON的面积的最小值为（）A2B2C4D8【考点】抛物线的简单性质【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），则S=|OF|x1x2|，直线l方程为y=kx+1代入x2=4y得：x24kx4=0，由此能求出OAB的面积【解答】解：抛物线焦点为（0，1），直线l方程为y=kx+1，代入x2=4y得：x24kx4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2=4k，x1x2=4，|x1x2|=4，S=|OF|x1x2|2，MON的面积的最小值为2故选：A【点评
16、】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求，进而利用弦长公式求得问题的答案12已知动点P（x，y）在椭圆C： =1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|=1且=0，则|的最小值为（）AB3CD1【考点】椭圆的简单性质【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，且=0，即PMMF，|PM|2=|PF|2|MF|2，而|MF|=1，当PF最小时
17、，切线长PM最小由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：53=2此时|PM|=故选：A【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）.13从集合1，2，3，4，5任取一元素a，从集合1，2，3任取一元素b，则ba的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】求出基本事件总数n=53=15，再利用列举法求出ba包含的基本事件（a，b）的个数，由此能求出ba的概率【解答】解：从集合1，2，3，4，5任取一元素a，从集合1，2，3任取一元素b，基本事件总数n=53=15，ba包含的基本
18、事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（2，3），ba的概率p=故答案：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用14如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为【考点】异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求出此角即可得到所求【解答】解如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，A1B=C1B=a，A1C1=a，根据余弦定理可知A1BC1的余弦
19、值为，故答案为：【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题15过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=【考点】抛物线的简单性质【分析】设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案【解答】解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=+x1，|BF|=+x2因为，所以x1+x2=设直线l的方程为y=k（x），联立直线与抛物线的方程可得：k
20、2x2（k2+2）x+=0，所以x1+x2=k2=2424x226x+6=0，|AF|=+x1=故答案为：【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系，并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面16双曲线（a0，b0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为【考点】双曲线的简单性质；基本不等式【分析】由双曲线渐近线的方程可知， =，离心率e=，从而利用基本不等式即可求得的最小值【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线的倾斜角为，=，又离心率e=，e2=1+=4，=+2=2=即的最小值为故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查基本不
21、等式，属于中档题三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（10分）（2009马鞍山学业考试）给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立，命题q：关于x的方程x2x+a=0有实数根，如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题【分析】根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，然后根据pq为真命题，pq为假命题，则命题p，q中一个为真一个为假，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围
22、【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立a=0或0a4；（2分）关于x的方程x2x+a=0有实数根=14a0a；（4分）pq为真命题，pq为假命题，即p真q假，或p假q真，如果p真q假，则有0a4，且aa4；（6分）如果p假q真，则有a0，或a4，且aa0（7分）所以实数a的取值范围为（，0）（，4） （8分）【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键18（12分）（2016湖南模拟）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以160，180），180，200），200，220
23、），220，240）240，260），260，280），280，300分组的频率分布直方图如图：（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量240，260），260，280），280，300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在220，240）内，设中位数为a，解
24、方程（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）20=1，解方程可得x=0.0075，直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，（0.002+0.0095+0.011）20=0.450.5，月平均用电量的中位数在220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）=0.5可得a=22
25、4，月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为220，240）的用户有0.012520100=25，月平均用电量为240，260）的用户有0.007520100=15，月平均用电量为260，280）的用户有0.00520100=10，月平均用电量为280，300）的用户有0.002520100=5，抽取比例为=，月平均用电量在220，240）的用户中应抽取25=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题19（12分）（2012北京）已知椭圆C： +=1（ab0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x1）与椭圆C交于不同的两点M，N，（）求
26、椭圆C的方程；（）当AMN的面积为时，求k的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；（）直线y=k（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x1）的距离，利用AMN的面积为，可求k的值【解答】解：（）椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，b=椭圆C的方程为；（）直线y=k（x1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x24k2x+2k24=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，|MN|=A（2，0）到直
27、线y=k（x1）的距离为AMN的面积S=AMN的面积为，k=1【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|20（12分）（2015烟台一模）如图，ABCD是正方形，DE平面ABCD（1）求证：AC平面BDE；（2）若AFDE，DE=3AF，点M在线段BD上，且BM=BD，求证：AM平面 BEF【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明DEAC，通过直线与平面垂直的判定定理证明AC平面BDE（2）延长EF、DA交于点G，通过AFDE，DE=3AF，推出，证明AMGB利用直线与平面平行的判定定理证明AM平面B
28、EF【解答】证明：（1）因为DE平面ABCD，所以DEAC（2分）因为ABCD是正方形，所以ACBD，又BDDE=D，从而AC平面BDE（2）延长EF、DA交于点G，因为AFDE，DE=3AF，所以，（7分）因为，所以，所以，所以AMGB，（10分）又AM平面BEF，GB平面BEF，所以AM平面BEF（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力21（12分）（2016秋青山区校级期末）如图，在四棱锥PABCD，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BMPD于点M（1）求证：AMPD（2）求点D到
29、平面ACM的距离【考点】点、线、面间的距离计算【分析】（1）推导出ABAD，ABPA，从而AB平面PAD，由BMPD，PD平面ABM，AMPD（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面ACM的距离【解答】证明：（1）在四棱锥PABCD，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，ABAD，ABPA，PAAD=A，AB平面PAD，BMPD于点M，ABBM=B，PD平面ABM，AM平面ABM，AMPD解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，2，0），P（0，0，2），D（0，2，0
30、），M（0，1，1），=（0，2，0），=（1，2，0），=（0，1，1），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，1，1），点D到平面ACM的距离：d=【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养22（12分）（2013浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（）过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：y=x2于M、N两点，求|MN|的最小值【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接
31、求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x24kx4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=4，从而有|x1x2|=4，由解得点M的横坐标为xM=，同理可得点N的横坐标为xN=，所以|MN|=|xMxN|=|=8|=，令4k3=t，t0，则k=，当t0时，|MN|=22，当t0时，|MN|=2=2综上所述，当t=，即k=时，|MN|的最小值是【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用