1、专题一 函数与导数、不等式第 2 讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用1(2017全国卷)设 x，y，z 为正数，且 2x3y5z，则()A2x3y5z B5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z解析：取对数，xln 2yln 3zln 5；xyln 3ln 232(由 ln 32ln23 可得)，所以 2x3y.xln 2zln 5，则xzln 5ln 252，所以 2x5z，所以 3y2x5z.答案：D规律方法1指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围 2研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件，如
2、求 f(x)ln(x23x2)的单调区间，只考虑 tx23x2 与函数 yln t 的单调性，忽视 t0 的限制条件变式训练(1)(2017菏泽二模)函数 y13|log3x|的图象是()解析：(1)当 x1 时，y13|log3x|13log3x1x.当 0 x1 时，y13|log3x|3log3xx.典例(1)(2015湖南高考)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A奇函数，且在(0,1)上是增函数B奇函数，且在(0,1)上是减函数C偶函数，且在(0,1)上是增函数D偶函数，且在(0,1)上是减函数解析 由1x0，1x0，得1x0，故f(x)在(0,1)上为增函数答案
3、 A1判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法2判断函数奇偶性的三个技巧(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称(2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称(如本例(1)(3)对于偶函数而言，有 f(x)f(x)f(|x|)1下列函数f(x)中，满足“x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)1xx Bf(x)x
4、3Cf(x)ln xDf(x)2x解析：“x1，x2(0，)，且 x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”等价于在(0，)上 f(x)为减函数，易判断 f(x)1xx符合答案：A 2(2015河北五校质检)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，当 x2,1)时，f(x)4x22，2x0，x，0 x0，则函数 f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析 当 x0 时，由 f(x)0，即 x22 014x2 0150，得(x1)(x2 015)0，解得 x1(舍去)或 x2 015；当 x0 时，设 g(x)x2，h(x)ln x，如图，分别作出两个函数的图象，由图可知，两
5、函数图象有两个交点，所以函数 f(x)在 x0 时有两个零点综上，函数 f(x)有 3 个零点，故选 C.答案 C(2)已知函数 f(x)cos2x，g(x)234|x2|，x2,6，则函数 h(x)f(x)g(x)的所有零点之和为()A6 B8C10 D12解析 函数h(x)f(x)g(x)的零点之和可转化为f(x)g(x)的根之和，即转化为y1f(x)和y2g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和又由函数g(x)2 34|x2|与f(x)的图象均关于x2对称，可知函数h(x)的零点之和为12.答案 D(1)函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决此类问题一个有
6、效方法(如本例(2)(2)解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解(如应用2)1已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数当 x0 时，f(x)x24x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_解析：由已知得 f(0)0，当 x0 时，f(x)f(x)x24x，因此 f(x)x24x，x0，x24x，xx 等价于x0，x24xx 或xx，解得 x5 或5x0，则此函数的“和谐点对”有()A0对B1对C2对D3对解析：作出函数f(x)的图象，然后作出f(x)log2x(x0)关于直线yx对称的图象，与函数f(x)x23x2(x0)的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对答案：C